第06讲：空间立体几何高频题型归纳（10大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲：空间立体几何高频题型归纳 【考点归纳】 · 考点一：空间几何体的结构 · 考点二：直观图 · 考点三：空间几何体的表面积和体积 · 考点四：内接球和外接球表面积和体积 · 考点五：组合体的表面积和体积 · 考点六：点线面的位置关系 · 考点七：线面的平行和性质 · 考点八：线面的垂直和性质 · 考点九：点面距离问题 · 考点十：线面角和二面角问题 【知识归纳】 知识点一：空间几何体结构 （1）多面体 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥S－ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 记作：棱台ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 （3）圆柱、 圆锥、 圆台、 球 旋转体 结构特征 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置， 平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示， 如图中的圆柱记作圆柱 O′O 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示， 如图中的圆锥记作圆锥 SO 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴 的字母表示， 如图中的圆台记作圆台 O′O 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴， 旋转一周形成的曲面叫做球面， 球面所围成的旋转体叫做球体， 简称球.半圆的圆心叫做球的球心， 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用表示球心的字母来表示， 左图可表示为球 O 知识点二：空间几何体的直观图 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、斜二测画法的步骤：①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变 3、原图与直观图的关系：S直=S原；S原=S直 知识点三：简单几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 （2）圆柱的表面积 （3）圆锥的表面积 （4）圆台的表面积 （5）球的表面积 2、空间几何体的体积 （1）柱体的体积 （2）锥体的体积 （3）台体的体积 （4）球体的体积 3、球的组合体 （1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. （2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长（a）. （3）球与正四面体的组合体：棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球的半径为. 知识点四：空间直线、平面的平行 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 2．面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 知识点五．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【题型归纳】 题型一：空间几何体的结构 1．（23-24高一下·安徽）下列说法正确的是（    ） A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆台的所有母线延长不一定交于一点 D．一个多面体至少有3个面 2．（23-24高一下·河北·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．直棱柱的侧面是矩形 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ）． A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 题型二：直观图 4．（23-24高一下·福建福州·期中）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知是斜边的中点，轴，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖南·期中）用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，四边形的面积为，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中AC的长为（    ） A． B．3 C． D． 题型三：空间几何体的表面积和体积 7．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（    ） A． B．2 C． D． 8．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，体积为，则此正四棱台的高为 9．（2024·山东·模拟预测）陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性，如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面下底为10cm，上底为6cm，面积为，则该茶壶的容积约为 L（结果精确到0.1，参考数据：；）．    题型四：内接球和外接球表面积和体积 10．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）在三棱锥中，平面平面是边长为4的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 11．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，，，现将沿着CH折起，使得点B到达点，且平面平面ACH，则三棱锥的外接球的表面积为 . 12．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的体积与表面积之比是 . 题型五：组合体的表面积和体积 13．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·湖北武汉·二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（    ）    A．cm3 B．33664 cm3 C．33792 cm3 D．35456 cm3 15．（23-24高一下·河南郑州·期中）西流湖公园今年春天成为了网红打卡地，公园里不仅有美丽的景色，各种亭台楼阁也是各有特色.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2）．这两个直三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，，则该几何体的体积为（    ） A．88 B． C．64 D． 题型六：点线面的位置关系 16．（23-24高三上·河北·期末）已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 17．（23-24高一下·浙江湖州·期末）设，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 18．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 题型七：线面的平行和性质 19．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点. (1)求证：∥平面； (2)已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点. 20．（23-24高一下·北京·期中）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：    (1)； (2)平面平面. 21．（23-24高一下·山东济南·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 题型八：线面的垂直和性质 22．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 23．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知直三棱柱中，，. (1)求证：平面平面； (2)若，求四棱锥的体积. 24．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知为圆O的直径，D为线段上一点，且，为圆O上一点，且，平面，． (1)求； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 题型九：点面距离问题 25．（22-23高二上·北京丰台·期中）如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面的距离. 26．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 27．（23-24高一下·云南丽江·期中）在三棱锥中，，. (1)求证：； (2)若，，求点到平面的距离. 题型十：线面角和二面角问题 28．（23-24高一下·河北衡水·期末）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 29．（23-24高一下·浙江温州·期末）如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥． (1)证明：平面ACD； (2)若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值． 30．（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【专题突破】 一、单选题 31．（23-24高一下·安徽）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·四川·期末）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知在四棱锥中，底面为矩形，，则四棱锥的体积为（    ） A．8 B． C． D． 34．（23-24高一下·河北衡水·期末）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面（   ） （1） （2） （3） （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 35．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（    ）    A．22 B．44 C． D． 36．（23-24高一下·江苏盐城·期末）《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，现将沿AC折起，并连接BD，使得平面平面ABC，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图，矩形ABCD中，．面积为的平行四边形ACEF绕AC旋转，且平面ABCD，则（    ） A．平面平面EFD B．平面平面ABC C．平面平面BCF D．平面平面ADF 二、多选题 39．（23-24高一下·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．棱台的侧面是等腰梯形 40．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中.则以下正确的有（   ） A． B．是等腰直角三角形 C． D．的面积为8 41．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（    ） A．侧面积为 B．体积为 C．侧面与底面所成角的正切值为 D．外接球的表面积为 42．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在棱长为的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（   ） A．M，N，B，四点共面 B．若，则异面直线与MN所成角的正弦值为 C．平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形 D．若，则三棱锥的体积为 三、填空题 43．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为 . 44．（23-24高一下·湖北武汉·期末）某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为 ． 45．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为 ． 46．（23-24高一下·山西阳泉·期末）在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 47．（23-24高一下·上海松江·期末）已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为 . 四、解答题 48．（23-24高一下·河南郑州·期末）在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 49．（23-24高一下·四川·期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，分别为的中点，且. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 50．（23-24高一下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 51．（2024·全国·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 52．（23-24高一下·河南南阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为棱的中点，且. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 53．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线到平面的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲：空间立体几何高频题型归纳 【考点归纳】 · 考点一：空间几何体的结构 · 考点二：直观图 · 考点三：空间几何体的表面积和体积 · 考点四：内接球和外接球表面积和体积 · 考点五：组合体的表面积和体积 · 考点六：点线面的位置关系 · 考点七：线面的平行和性质 · 考点八：线面的垂直和性质 · 考点九：点面距离问题 · 考点十：线面角和二面角问题 【知识归纳】 知识点一：空间几何体结构 （1）多面体 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥S－ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 记作：棱台ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 （3）圆柱、 圆锥、 圆台、 球 旋转体 结构特征 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置， 平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示， 如图中的圆柱记作圆柱 O′O 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示， 如图中的圆锥记作圆锥 SO 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴 的字母表示， 如图中的圆台记作圆台 O′O 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴， 旋转一周形成的曲面叫做球面， 球面所围成的旋转体叫做球体， 简称球.半圆的圆心叫做球的球心， 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用表示球心的字母来表示， 左图可表示为球 O 知识点二：空间几何体的直观图 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、斜二测画法的步骤：①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变 3、原图与直观图的关系：S直=S原；S原=S直 知识点三：简单几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 （2）圆柱的表面积 （3）圆锥的表面积 （4）圆台的表面积 （5）球的表面积 2、空间几何体的体积 （1）柱体的体积 （2）锥体的体积 （3）台体的体积 （4）球体的体积 3、球的组合体 （1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. （2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长（a）. （3）球与正四面体的组合体：棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球的半径为. 知识点四：空间直线、平面的平行 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 2．面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 知识点五．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【题型归纳】 题型一：空间几何体的结构 1．（23-24高一下·安徽）下列说法正确的是（    ） A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆台的所有母线延长不一定交于一点 D．一个多面体至少有3个面 【答案】A 【分析】根据圆锥、棱柱以及圆台和多面体的定义，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A项，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，原圆锥一定被分为一个小圆锥和一个圆台，故A正确； 对于B项，满足条件的几何体可能是组合体，如图，故B错误； 对于C项，圆台的所有母线延长一定交于一点，故C错误； 对于D项，多面体至少有4个面，所以D错误. 故选：A. 2．（23-24高一下·河北·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．直棱柱的侧面是矩形 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 【答案】A 【分析】根据棱柱、直棱柱、正棱锥的定义一一判断即可. 【详解】对于A，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面是矩形，故A正确； 对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，故B错误； 对于C，经过不共线的三个点的平面有且只有一个，经过不共线的三个点的球有无数个，故C错误； 对于D，四棱锥的底面是四边形，侧面是有公共顶点的三角形， 而四棱柱上下底面是两个全等且平行的四边形，侧面是平行四边形， 若两个四棱锥要拼成一个四棱柱，首先需两个棱锥的底面是全等的四边形， 此时只能某两个侧面重合，显然这两个侧面三角形不可能完全重合（一个顶点向上，另一个顶点向下）， 事实上一个四棱柱不可能分割成两个四棱锥， 故两个四棱锥一定不能拼成一个四棱柱，故D错误． 故选：A． 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ）． A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【答案】D 【分析】根据圆锥、圆台、圆锥的结构特征逐一判断即可. 【详解】对于A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A错误； 对于B，当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，B错误； 对于C，圆锥只有一个底面，C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D正确. 故选：D 题型二：直观图 4．（23-24高一下·福建福州·期中）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知是斜边的中点，轴，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的性质可得，，且为直角三角形，即可由面积公式求解. 【详解】因为为等腰直角三角形且，所以，， 由斜二测画法可知，，且为直角三角形， 所以的面积为． 故选：B． 5．（23-24高一下·湖南·期中）用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，四边形的面积为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则还原四边形，然后根据各边关系列方程，解方程即可. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原四边形， 设，则，则， ，且为原图形中梯形的高， 故，解得，故. 故选：D. 6．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中AC的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法规则确定点的位置，再作出，进行计算即可. 【详解】在直观图中，，，取中点，连接， 则，而，于是， 则，，， 由斜二测画法规则作出，如图， 则，所以. 故选：C 题型三：空间几何体的表面积和体积 7．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，根据棱台的体积公式结合条件即得. 【详解】如图，在正四棱台中，，，连接，， 则，， 设侧棱长为，则棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为， 解得． 故选：B． 8．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，体积为，则此正四棱台的高为 【答案】 【分析】设此正四棱台的高为，根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】设此正四棱台的高为，又正四棱台的上、下底面的边长分别为和， 由正四棱台的体积，解得. 故答案为： 9．（2024·山东·模拟预测）陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性，如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面下底为10cm，上底为6cm，面积为，则该茶壶的容积约为 L（结果精确到0.1，参考数据：；）．    【答案】/ 【分析】设圆台的高为，根据轴截面为等腰梯形求出，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】圆台型容器的轴截面为等腰梯形，设高为，则，解得， 所以圆台型容器的容积. 故答案为： 题型四：内接球和外接球表面积和体积 10．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）在三棱锥中，平面平面是边长为4的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】/ 【分析】在中利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得，取的中点，连接，记的外接圆的圆心为，则证得，从而可得外接球的半径为，进而可求出球的表面积. 【详解】在中，，由余弦定理得， 即，解得， 所以，所以， 取的中点，连接，则. 记的外接圆的圆心为，又是等边三角形， 所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以， 所以为三棱锥的外接球的球心，为三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥的外接球问题，考查球的表面积公式的应用，解题的关键是根据题意找出外接球的球心，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 11．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，，，现将沿着CH折起，使得点B到达点，且平面平面ACH，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】证明两两垂直，由的边长，求出外接球半径，求表面积即可. 【详解】直角三角形ABC中，，，则斜边，， CH为斜边AB上的高，则，，， 平面平面，平面平面， ，平面，则平面， 又，所以两两垂直， ，，， 则三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球表面积为. 故答案为：. 12．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的体积与表面积之比是 . 【答案】/ 【分析】由条件得球心到平面ABC的距离，再结合直角三角形ABC的外接圆半径求得外接球半径，进而由外接球体积和表面积公式即可计算得解. 【详解】显然阳马的外接球与直三棱柱的外接球为同一个球， 则外接球球心到平面ABC的距离为， 由，，，得三角形ABC的外接圆半径， 因此外接球半径，而外接球体积，表面积， 所以阳马的外接球的体积与表面积之比. 故答案为： 题型五：组合体的表面积和体积 13．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处， 设球O与母线切于M点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理，所以， 过A作，垂足为G，则，， 所以，所以，所以，所以， 所以该圆台的体积为. 故选：C 14．（2024·湖北武汉·二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（    ）    A．cm3 B．33664 cm3 C．33792 cm3 D．35456 cm3 【答案】B 【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得.. 【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为cm，则cm， 由圆柱的底面圆直径为24 cm，则有， 即，可得，则， . 故选：B. 15．（23-24高一下·河南郑州·期中）西流湖公园今年春天成为了网红打卡地，公园里不仅有美丽的景色，各种亭台楼阁也是各有特色.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2）．这两个直三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，，则该几何体的体积为（    ） A．88 B． C．64 D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到几何体为直三棱柱和两个三棱锥，结合柱体和锥体的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】如图所示，几何体为直三棱柱和两个三棱锥构成的几何体， 设直三棱柱的底面的面积为，高为， 因为，可得， 且， 所以几何体的体积为 . 故选：C. 题型六：点线面的位置关系 16．（23-24高三上·河北·期末）已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】对于A，先判断，然后由线面平行判定定理可判断；对于BCD，通过正方体模型举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以， 又，，所以，A正确； 对于B，在正方体中， 记平面为，平面为，为，为， 则，，，但与不平行，B错误； 对于C，记平面为，平面为，为，为， 由正方体性质可知，平面，平面，所以， 则，，，但不垂直，C错误； 对于D，记为，为，平面为， 则，，但与不垂直，D错误. 故选：A 17．（23-24高一下·浙江湖州·期末）设，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据题意，对ABD找到反例即可，对C由线面平行的性质分析即可判断正确. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对A，若，，，直线可能平行、相交或异面，故错误； 对B，若，，，平面可能相交或平行，故错误； 对C：如图，若，，，过直线作两个平面，，根据线面平行的性质可得可得，则， 因为，，则，又因为，，则，则，故C正确； 对D，若，，，则，故D错误. 故选：C. 18．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【分析】根据线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则或，故A错误； B：若，则或，故B错误； C：若，则，故C正确； D：若，且，则，故D错误. 故选：C 题型七：线面的平行和性质 19．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点. (1)求证：∥平面； (2)已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，再证明∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可证平面∥平面，结合面面平行的性质定理分析证明. 【详解】（1）设，连接， 因为是平行四边形，可知为的中点， 又因为为侧棱的中点，则∥， 且平面，平面，故∥平面. （2）由（1）可知：∥，且平面，平面， 所以∥平面， 又因为∥平面，且，平面， 所以平面∥平面， 且平面平面，平面平面，可得∥， 又因为为的中点，所以为的中点. 20．（23-24高一下·北京·期中）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：    (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【分析】（1）由线面平行的性质即可证明； （2）由（1）得为的中点，再证明，最后根据面面平行的判断定理即可证明. 【详解】（1）由题意，因为平面， 且平面 又因为平面平面， 所以由线面平行的性质得. （2）由（1）可知， 又因为点为的中点， 所以为的中位线， 所以为的中点，即， 因为为的中点，即， 又因为, 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面， 所以平面， 又平面，，平面,平面， 所以平面平面. 21．（23-24高一下·山东济南·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)上的中点即满足平面平面，理由见解析 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明； （2）上的中点即满足平面平面．由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得结论． 【详解】（1）证明：连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 题型八：线面的垂直和性质 22．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）由面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）证法一：由平面得，结合，由线线垂直即可证明平面；证法二：由平面可得平面平面，由面面垂直的性质定理即可证明平面； （3）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）在正方形中，，                                 又侧面底面，侧面底面， 底面， 所以平面； （2）证法一：因为平面，平面， 所以，    因为是正三角形，是的中点，所以， 又，，平面， 所以平面；            证法二：因为平面，又平面， 故平面平面， 因为是正三角形，是的中点，所以，    又平面平面，平面， 故平面； （3）取，的中点分别为，，连接，，，    则，， 因为，所以， 又在正中，， 因为，，平面， 所以平面， 正方形中，，平面， 又，平面，                            所以，，                                               所以是侧面与底面所成二面角的平面角，                 因为平面，， 所以平面， 因为平面，所以，                                    . 设正方形的边长，则，， 所以，所以，                即侧面与底面所成二面角的余弦值为. 23．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知直三棱柱中，，. (1)求证：平面平面； (2)若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先说明，再由得到，即可证明平面，从而得证； （2）首先证明平面，利用勾股定理求出，再证明平面，最后由锥体的体积公式计算可得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，所以矩形为正方形， 所以，又，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）由（1）可知，又，， 平面，所以平面， 又平面，所以，， 因为，，所以， 又，所以， 又，，，平面， 所以平面，显然平面， 所以. 24．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知为圆O的直径，D为线段上一点，且，为圆O上一点，且，平面，． (1)求； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，在中，利用余弦定理，即可求解； （2）由，得到，再由平面，得到，证得平面，进而证得； （3）连接，求得，根据平面，利用，即可求解. 【详解】（1）解：由已知为圆O的直径，为圆上一点，可得， 又由D为线段上一点，且，可得，则， 因为，可得，即，解得， 在直角中，可得， 由余弦定理得， 所以. （2）证明：由（1）知，可得，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （3）解：连接，在中，， 可得，可得， 所以， 又由平面，且， 所以三棱锥的体积. 题型九：点面距离问题 25．（22-23高二上·北京丰台·期中）如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，将问题转化为点到平面的距离，再利用等体积法即可求得所求. 【详解】（1）连结交于，连接， 因为在直三棱柱中，侧面是平行四边形， 所以是的中点，又因为为的中点， 所以，又因为平面，平面， 故平面； （2）由（1）知平面， 所以直线与平面的距离等价于点到平面的距离，不妨设为， 因为，，所以，，则， 又因为为的中点，所以， 因为在直三棱柱中，面，故， 所以在中，，， 在中，， 所以在中，，则， 故， 所以由得，即，解得， 所以直线与平面的距离为. 26．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件得到四边形为平行四边形，从而有，利用线面平行的判定定理，即可证明结果； （2）作交于，连接，根据题设条件得到平面，从而可求得，再利用等体积法，即可求出结果. 【详解】（1）因为为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 由（1）知为平行四边形，可得， 又，所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形， 与底边上中点重合，， ，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 所以是三棱锥的高， 又，而， 又，得到， 所以，                       设点到的距离为， 则， 解得，            所以点到的距离为. 27．（23-24高一下·云南丽江·期中）在三棱锥中，，. (1)求证：； (2)若，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直； （2）利用等体积法求解点到平面的距离. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示. 在中，，是的中点，所以， 在中，，是的中点，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）在中，，，是的中点，所以. 在中，，，是的中点，所以， . 在中，，，，所以， 由（1）知，平面， 所以， 设点到平面的距离为，，解得， 即点到平面的距离为. 题型十：线面角和二面角问题 28．（23-24高一下·河北衡水·期末）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）分析可知二面角的平面角为，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可得出直线与平面所成角为，计算出、的长，即可求得的正弦值，即为所求. 【详解】（1）是矩形， ，又平面，平面， 平面， ，平面，平面，平面， 又，BC，平面，平面平面， 平面，平面． （2），，即为二面角的平面角， ，又，平面，平面，平面， 又平面，平面平面， 作于，连接，因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为，因为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 29．（23-24高一下·浙江温州·期末）如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥． (1)证明：平面ACD； (2)若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角的平面角为，可得，结合（1）分析可知锐二面角平面角为，运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，且，平面， 所以平面ACD. （2）过作，垂足为，连接，即， 因为平面ACD，平面ACD，则， 且，平面，则平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，且，可得， 由（1）可知：，则锐二面角平面角为， 且∥，可知， 可得， 所以锐二面角平面角的正弦值为. 30．（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的性质、异面直线垂直推理即得. （2）（ⅰ）利用线面垂直的判定性质证得，再由异面直线夹角余弦求出，确定线面角并求出大小；（ⅱ）过作于，过作交于，再借助图形求出二面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，由平面，，得平面， 而平面，则，由为的中点，得， 则四边形是平行四边形，因此， 所以. （2）（ⅰ）由为的中点，，则，而， 平面，于是平面，平面， 则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为， 在中，，而， 解得，则，由平面，得直线与平面所成角为， 显然，则， 所以直线与平面所成角为. （ⅱ）过作于，由（ⅰ）可得，为等腰三角形， ，，由三角形面积法得， 由勾股定理得，过作交于，与延长线交于点， 在直角梯形中，，则， ，显然∽，则， 于是，，为线段的中点， 显然是二面角的平面角，在正中，， 由平面，平面，则，平面， 于是平面，而平面，则，， 所以二面角的余弦值. 【点睛】思路点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 【专题突破】 一、单选题 31．（23-24高一下·安徽）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出液面下方的轴截面图形，求出圆锥的底面半径和高，再由圆锥和球的体积公式求出高脚杯内水的体积. 【详解】显然，冰球内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形， 如图，作，垂足为D，则球的半径，， 此时，，， 水面半径， 设加入冰球后水面以下的体积为，原来饮料的体积为，冰球的体积为， 所以饮料的体积为. 故选：C. 32．（23-24高一下·四川·期末）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把棱台还原为棱锥，利用大小棱锥的相似比可求出棱台的高. 【详解】 如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长均为6， 如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高， 所以根据三棱锥的棱长均为6，三棱锥的棱长均为12， 可知相似比为，通过相似关系可知，三棱台的高也为； 故选：C. 33．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知在四棱锥中，底面为矩形，，则四棱锥的体积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，先证明底面，再利用锥体体积公式求解即可. 【详解】如图： 连接交于点，连接，由底面为矩形，知为的中点. 又，可得，则， 又，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 同理可得，所以. 所以，，平面 所以平面，所以， 所以四棱锥的体积. 故选：C 34．（23-24高一下·河北衡水·期末）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面（   ） （1） （2） （3） （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】（1）且相交，则成立，不相交则不一定成立，故（1）错误； （2），故（2）正确； （3），则也有可能异面，故（3）错误； （4）或，故（4）错误； 综上可得，只有（2）正确． 故选：B 35．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（    ）    A．22 B．44 C． D． 【答案】C 【分析】根据二面角的定义得到，然后结合余弦定理得到，根据线面垂直的判定定理和性质得到，最后利用勾股定理求长度即可. 【详解】    如图，过点作，过点作交于点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，， 因为，，所以， 因为，，二面角为，所以， 在中，， 解得， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 36．（23-24高一下·江苏盐城·期末）《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由面面垂直的性质得到平面，设的外接球的半径为，则，求出，即可求出外接球的表面积. 【详解】因为，，，所以， 又为直棱柱，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又矩形外接球的直径为， 设的外接球的半径为，又，， 所以，所以， 所以阳马的外接球的表面积. 故选：C 37．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，现将沿AC折起，并连接BD，使得平面平面ABC，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理可以证得为直角，又为直角，进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为斜边的中点，然后根据球的面积公式求得球的半径，进而计算求得三棱锥的体积. 【详解】∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又∵平面，∴， 又∵平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴，即为直角， 又∵为直角，∴取的中点，连接， 由直角三角形的斜边上的中线性质， 可得为三棱锥外接球的球心， 由三棱锥外接球的表面积为，可得外接球的半径， ∴， ∵平面，为直角， ∴三棱锥的体积为. 故选：D 38．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图，矩形ABCD中，．面积为的平行四边形ACEF绕AC旋转，且平面ABCD，则（    ） A．平面平面EFD B．平面平面ABC C．平面平面BCF D．平面平面ADF 【答案】A 【分析】利用旋转体的性质，发现在平行四边形ACEF绕AC旋转得到的旋转体上，从而利用半圆得到线线垂直，再结合旋转轴垂直横截面，即可得到另一个线线垂直，从而可证线面垂直，最后得证. 【详解】 如图，过作直线， 因为矩形ABCD中，．所以， 又平行四边形ACEF面积为，所以平行四边形ACEF的高为， 又在中，令到高为，所以, 所以平行四边形ACEF绕AC旋转时，会经过，形成如图所示半圆, 由旋转体的性质可知，，所以, 又，所以 又在半圆中，为直径，所以， 又，，所以， 又，所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：该题的关键是平行四边形ACEF绕AC旋转时经过两点，从而可以利用旋转体的性质来解题. 二、多选题 39．（23-24高一下·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．棱台的侧面是等腰梯形 【答案】BC 【分析】利用直四棱柱的定义可以判断A，由棱柱的定义可判断B，利用正棱锥的定义可以判断C，利用正棱台的定义可以判断D. 【详解】对于选项A，长方体为底面为长方形的直四棱柱，故A错误； 对于选项B，由棱柱的定义可知，上下底面全等且平行，所以侧面都是平行四边形，故B正确； 对于选项C，根据正棱锥定义，底面为正多边形，侧棱都相等，所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 对于选项D，若棱台为正棱台，则侧面都是等腰梯形，故D错误； 故选：BC. 40．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中.则以下正确的有（   ） A． B．是等腰直角三角形 C． D．的面积为8 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法，还原，再结合选项逐一判断即可. 【详解】根据题意，还原；建立平面直角坐标系，使得，，如下所示： 对A：根据作图可知，，故A正确； 对B：因为，故可得，则， 故是等腰直角三角形，B正确； 对C：根据作图可知，，故C正确； 对D：△的面积，故D错误. 故选：ABC. 41．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（    ） A．侧面积为 B．体积为 C．侧面与底面所成角的正切值为 D．外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】由已知求出棱台的斜高与高，求出侧面积与体积判断A与B；求出侧面与底面所成角的正切值判断C；分析外接球的球心位置，设其半径为R，结合四棱台的几何结构可得关于R的方程，求出R的值，计算外接球的体积判断D即可． 【详解】如图所示， 正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则斜高为， 侧面积为，故A错误； 正四棱台，上底面的中心为，下底面的中心为． 连接，其上、下底面的边长分别为2，4，得． 过点作，使并交与点，侧棱长为2， 则，则有， 则正四棱台的体积，故B正确； 侧面与底面所成角的正切值为，故C正确； 由于，则该棱台的外接球的球心在的延长线上. 设其外接球的球心为G，半径为R，则有， 则有，解得. 故其外接球的表面积为，故D正确. 故选：BCD. 42．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在棱长为的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（   ） A．M，N，B，四点共面 B．若，则异面直线与MN所成角的正弦值为 C．平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形 D．若，则三棱锥的体积为 【答案】AD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，得到四点共面；B选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到直线与MN所成角的余弦值和正弦值；C选项，作出辅助线，得到截面为正六边形；D选项，等体积法求出三棱锥的体积 【详解】A选项，连接，， 因为M，N分别是，的中点，所以， 又，故， 所以M，N，B，四点共面，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则异面直线与MN所成角的余弦值为， 故正弦值为，B错误； C选项，如图所示，设的中点分别为， 连接， 故平面PMN截正方体所得截面为正六边形，C错误； D选项，连接，则， 故， 其中，⊥平面， 所以，D正确. 故选：AD 三、填空题 43．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为 . 【答案】或. 【分析】根据题意可知外接球的半径为，取正方形的中心为，正方形的中心为，可知该几何体的外接球的球心在上，分类讨论球心在线段上或在的延长线上，结合正四棱台的结构特征列式求解. 【详解】设正四棱台的高为，外接球的半径为，则，解得. 取正方形的中心为，正方形的中心为，连接，则， 可知该几何体的外接球的球心在上，连接，，，. 设上、下底面正方形的边长分别为，， 则，，解得，，故，. 设， 当在线段上时，则， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为； 当在的延长线上时，， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为. 综上所述：该正四棱台的体积为或. 故答案为：或. 44．（23-24高一下·湖北武汉·期末）某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为 ． 【答案】 【分析】结合斜二测法可得圆台上、下底面半径及母线长度，结合圆台性质与圆锥的侧面积公式计算即可得该圆台的侧面积. 【详解】由题可得，，，， 则所得圆台上底面为以为半径的圆，下底面为以为半径的圆，高为， 其母线为， 故其侧面积. 故答案为：. 45．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】根据线面垂直的性质定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解. 【详解】由平面，平面，得，， 又，，则， 取的中点，连结，由为的中点，得， 因此直线BE与AD所成角为或其补角， 在中，，，， 由余弦定理得， 所以直线BE与AD所成角的余弦值为. 故答案为： 46．（23-24高一下·山西阳泉·期末）在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】 【分析】由已知画出图形，连接上下底面中心，则的中点即为外接球球心，连接CO，求出CO即可计算得出外接球的面积． 【详解】由已知做出正三棱柱，则， 设点分别为正，正的中心，连接，则， 连接并延长交于于点，则，， 设点为中点，连接CO， 则点为正三棱柱外接球的球心，且平面，， 因为点为正的中心， 所以， 所以，则， 因为平面， 所以， 则正三棱柱外接球半径， 所以该球的表面积为：， 故答案为： 47．（23-24高一下·上海松江·期末）已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为 . 【答案】 【分析】作于，连接，则平面，所以即为二面角的平面角，作于，则在上，作于，则在上，在内求即可. 【详解】如图： 作于，连接，又因为，平面，， 所以平面. 所以即为二面角的平面角，故. 作于，则在上，作于，则在上. 在中，，，，所以； 在中，，，，所以. 由余弦定理：， 所以. 故答案为： 四、解答题 48．（23-24高一下·河南郑州·期末）在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，利用平行四边形的判断方法证明四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理的逆定理可得，利用面面、线面垂直的性质可得，设到平面的距离为，直线与平面的所成角为，结合等体积法和三棱锥的体积公式计算可得，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，则且， 又且，所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）由，得，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以. 由，得， 所以，， 得，则，所以. 又， 设到平面的距离为，直线与平面的所成角为， 则，所以，解得， 所以， 即直线与平面的所成角的正弦值为. 49．（23-24高一下·四川·期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，分别为的中点，且. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3). 【分析】（1）用面面垂直的性质定理得平面，进而可得，由勾股定理可得，从而可得平面，即得. （2）运用等体积法，由（1）知平面，由题意得平面，再用等体积法即可求解. （3）运用线面角知识将线面角转化为线线角，构造直角三角形，求出边长即可得正弦值. 【详解】（1）四边形是矩形，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，， ， 平面，平面， 平面； （2）因为四边形是矩形，所以， 因为平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 由（1）得平面平面， 则， 所以， 所以三棱锥的体积为； （3）过点作于点，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面为直线与平面所成角， 由已知可得， 由得， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 50．（23-24高一下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）依题意可得四边形为平行四边形，即可得到，从而得证； （2）连接，即可说明四边形为菱形，得到，从而得到，再由线面垂直得到，从而证明平面，即可得证； （3）首先证明平面，即可得到为二面角的平面角，从而求出，再由，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）连接，因为，，为的中点， 则，所以四边形为菱形，所以， 又，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （3）因为平面，平面， 所以，，，又， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形， 所以，又，，， 所以，又平面，平面，所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得，即点到平面的距离为. 51．（2024·全国·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 52．（23-24高一下·河南南阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为棱的中点，且. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取中点，连接，证明平面得，再证，即得平面； （2）由（1）结论易得为二面角平面角，在中，由余弦定理求得，说明点到直线距离即所求距离，利用即可求得. 【详解】（1） 如图，设的中点为，连接. 因为为的中点，所以. 在和中，为公共边， 所以，所以. 又因为为的中点，所以. 又因为 平面，所以平面， 又因为平面，所以 因为分别为的中点，所以//， 因为，所以， 因为平面，所以平面. （2）由（1）知，//平面，所以平面， 因平面，故 ， ， 所以为二面角的平面角，. 易知平面平面，故点到平面的距离即点到直线的距离. 在中，由余弦定理可得（*）， 设，将代入（*）整理得，即 ，解得（负值舍去）. 由可得， 所以点到直线的距离为， 故点到平面的距离为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的证明和二面角、点到平面的距离求法等内容，属于较难题. 解题关键在于求二面角时，一般考虑寻找一个平面内的一点在另一个平面上的垂线，再利用线面垂直得到平面角；求点到平面的距离问题，一般考虑等体积求法，或利用面面垂直时，由点到直线的距离得到. 53．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）连接，交于点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先证明，，从而知平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证； （3）先将问题转化为求点B到的距离，再利用等体积法求解即可． 【详解】（1）连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为为等边三角形，且D是的中点， 所以，由正三棱柱的性质知，平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （3）由（1）知平面， 以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离， 由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而2， 4， 设点B到平面ADC1的距离为d， 因为， 所以，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$