精品解析：吉林长春市南关区部分学校2025-2026学年度第二学期6月阶段学情自测七年级数学试题

2025-2026学年度第二学期6月份月考七年级数学试题 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 只有C选项图形满足定义． 2. 下列几种说法：①两点之间线段最短；②任何数的平方都是正数；③是一元一次方程；④是次单项式；⑤任何有理数的绝对值都是非负数．其中正确的语句有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：①两点之间线段最短，说法正确； ②的平方是，不是正数，故任何数的平方都是正数，说法错误； ③不是等式，也就不是一元一次方程，原说法错误； ④是次单项式，不是次单项式，原说法错误； ⑤任何有理数的绝对值都是非负数，说法正确， 综上所述，题中说法正确的有①⑤，共个． 3. 若，则下列不等式变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐项判断即可，熟练掌握不等式的性质是解题的关键. 【详解】解：∵ ， 根据不等式性质：不等式两边加(或减)同一个数，不等号方向不变；乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变. 对各选项逐一判断： A 不等式两边同时加，不等号方向不变，得，变形正确，不符合题意； B 不等式两边同时减，不等号方向不变，得，变形正确，不符合题意； C 不等式两边同时乘，是负数，不等号需改变方向，得，因此变形错误，符合题意； D 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得，变形正确，不符合题意； 故选：C. 4. 已知线段，下面有四个说法: ①线段长可能为；②线段长可能为;③线段长不可能为；④线段长可能为.所有正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】分三种情况： C在线段AB上，C在线段BA的延长线上以及C不在直线AB上结合线段的和差以及三角形三边的关系分别求解即可. 【详解】解：当C在线段AB上时，BC=AB-AC= 8-6=2； 当C在线段BA的延长线上时，BC=AB+AC =8+6=14； 当C不在直线AB上时，AB、AC、BC三边构成三角形，则2＜BC＜14， 综上所述①②④正确 故选：C． 【点睛】本题考查两点间的距离和三角形三边的关系，理解题意，进行正确的分类求解是关键． 5. 如图，在 中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论： 的面积＝ 的面积；；；．其中结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积 故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 又 故正确； 故正确； 故错误； 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键． 6. 一套仪器由一个A部件和三个B部件构成. 用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B部件. 现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？( ) A. 4套 B. 40套 C. 160套 D. 120套 【答案】C 【解析】 【分析】设应用作A部件、B部件钢材分别为x m3，y m3，再根据共有6m3钢材，一套仪器由一个A部件和三个B部件构成的等量关系，列方程组求解即可. 【详解】解：设应用作A部件、B部件钢材分别为x m3，y m3， 根据题意得： 解得：x=4，y=2 所以恰好配成这种仪器套数为：40×4=160套 故答案为C. 【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，解答的关键在于掌握配套问题的解法. 7. 如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 8. 如果，，，那么的值是（       ） A. 2或6或 B. 或0 C. 0或2或6 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，解一元一次方程，绝对值和乘方运算，根据题意可得或，解方程求出x的值，根据乘方的逆运算求出y的值，根据绝对值的非负性得到，据此确定x、y的值，最后代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或或， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 将二元一次方程改写为用含x的代数式表示y的形式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，掌握移项的法则是解题关键．把原方程含x的项移到右边，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10. 若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据凸边形的内角和公式，列出方程再求解即可 【详解】解：由题意得=12 60° 解得n=9， 从一个顶点出发引的对角线条数是n-3=6 故答案为：6. 【点睛】本题考查凸边形的内角和以及对角线的条数等知识，熟练掌握凸边形的内角和公式是解决本题的关键 11. 不等式的非负整数解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】先解不等式求得不等式的解集，然后即可求得非负整数解． 【详解】解：， 去分母，得 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得 ∴不等式的非负整数解为， 故答案为：， 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 12. 如图1所示的是一副重叠放置的三角板，其中，，，与共线，将沿方向平移，如图2，当经过的中点时，直线交于点，若，则此时的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图2，根据已知条件得到，求得，根据含的直角三角形的性质得到，过作于，进而求得、的长，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， 点是的中点， ， 过作于， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形及含角的直角三角形的性质，熟练掌握含特殊角的直角三角形的边边关系是解题的关键． 13. 用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面图形的镶嵌和密铺，根据两个图形能够密铺，得到每个公共顶点处各角的和为360度，如图，易得， ，进而得到，再根据公共顶点处各角的和为360度，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：如图， 由题意和图（2）可知：， 可得 ∴ 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设与交于点，作点，使得且，连接，可得 四边形是平行四边形，得到，即得，作点关于直线的对称点，连接、， 得，即得，根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为，利用平移的性质可得，， 最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是菱形，，，  ，，， ∵四边形是平行四边形，  ，，  作点，使得且，连接，  ，，  ∴四边形是平行四边形，  ，  ，  作点关于直线的对称点，连接、，  ，  ，  根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长，  ，，  ∴点可看作由点沿方向平移得到，  ∵，， 又∵点到的距离为，点到的距离为，且在的左侧，  ∴点在点的左侧个单位，下方个单位处，  ∵点在下方个单位处，且在上，  ∴点在下方个单位处，且在过点并垂直于的直线上，  ∵点与点关于对称，  ∴点在上方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为，  ，，  在中，，  的最小值为． 三、解答题（共78分） 15. （1）计算：． （2）解方程组： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减乘除混合运算，解二元一次方程组， （1）首先计算二次根式的乘除然后计算加减； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： 由②得：③ ①得：④ ④③得：，解得：． 把代入①得：，解得：． 故原方程组的解是． 16. 解下列不等式，并把解表示在数轴上． (1)－x≥1. (2)6－2x>7－3x. (3)3x＋13>17＋x. 【答案】（1）x≤－3（2）x＞1（3）x>2 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据不等式的基本性质3，两边同时除以-，然后改变不等号的方向即可求解，再表示在数轴上； （2）先移项合并同类项，再系数化为1即可求解，再表示在数轴上； （3）先移项合并同类项，再系数化为1即可求解，再表示在数轴上. 试题解析：(1)两边同除以－，得x≤－3. 在数轴上表示如下： (2)移项，得－2x＋3x>7－6. 合并同类项，得x＞1. 在数轴上表示如下： (3)移项，得3x－x>17－13. 合并同类项，得2x>4. 两边同除以2，得x>2. 在数轴上表示如下： 点睛：本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，关键是能求出不等式的解集． 17. 如图是某居民小区的一块面积为4ab平方米的长方形空地，准备在空地的四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余部分种草.如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？ 【答案】所需资金为（50πa2+200ab）元. 【解析】 【分析】花台面积为πa2平方米，所需资金为πa2×100．草地面积为（2ab-πa2）平方米，所需资金为（2ab-πa2）×50．共需资金为花台所需资金+草地所需资金． 【详解】解：花台的面积为：πa2平方米， 草地的面积为：（4ab-πa2）平方米. 所需资金为：100×πa2+50（4ab-πa2）=100πa2+200ab-50πa2=50πa2+200ab. 【点睛】本题考查列代数式．理解题意，先求面积再求所需资金的和是解题关键． 18. 如图1，在中，，，． （1）求证：； （2）如图2，交于点P，若，求证：A，O，D三点共线； （3）如图3，在（2）的条件下，若于H，过点O作于E，，，求，的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）由“”可证≌，可得； （2）由≌得，，从而得出，，根据和进一步得出结论； （3）作于F，作于G，设，根据，，从而，设，，则，根据，表示各边，并求出和，根据列出方程，从而求得k，进一步求得结果． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴≌， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）知：≌， ∴，， ∴， 即：. ∵，， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，O，D三点共线； 【小问3详解】 解：如图， 作于F，作于G， 设， ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，，则， ∵，， ∴， ∴， 设，，， ∴， 解得， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ，，且， ∴， 解得， ∴，，，， ∴. ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，根据面积法求得线段间关系． 19. 如图所示的两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． （1）若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为 ．（用含字母的代数式表示） （2）由（1）你可以得到等式 ； （3）根据你所得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②解方程：． 【答案】（1） （2） （3）①5550；② 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式列式计算即可得解； （2）根据两阴影部分的面积相等解答； （3）①利用平方差公式进行计算即可得解；②利用平方差公式进行计算即可得解． 【小问1详解】 图2中的阴影部分面积为； 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）你可以得到的等式是：； 故答案为：； 【小问3详解】 ① ； ②， ， ， ． 20. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在科技日新月异的背景下，无人机正深度融入现代农业生产．某时令水果种植基地为提升物流效率、降低人力成本，计划引入甲、乙两种无人机，用于果园到集散点的水果运输作业． 素材一 租用2架甲型无人机和3架乙型无人机，一次可运输水果1300千克； 租用3架甲型无人机和1架乙型无人机，一次可运输水果900千克； 素材二 每架甲型无人机的租金为300元/次，每架乙型无人机的租金为400元/次； 素材三 该计划租用甲、乙两种无人机共9架，且总租金不超过3000元． 完成下列任务： （1）任务一：求甲、乙两种无人机一次分别可运输水果多少千克； （2）任务二：选择哪种租用方案，能使一次运输水果的总重量最大？并求出此时的最大运输重量． 【答案】（1）甲型无人机一次可运输水果200千克，乙型无人机一次可运输水果300千克 （2）租用甲型无人机6架，乙型无人机3架，能使一次运输水果的总重量最大，此时的最大运输重量为2100千克 【解析】 【分析】（1）设甲型无人机一次可运输水果x千克，乙型无人机一次可运输水果y千克，根据题意列出方程组求解即可； （2）设租用甲型无人机m架，则租用乙型无人机架，一次运输水果的总重量为W千克，根据题意列出一次函数解析式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲型无人机一次可运输水果x千克，乙型无人机一次可运输水果y千克， 由题意，得解得 答：甲型无人机一次可运输水果200千克，乙型无人机一次可运输水果300千克； 【小问2详解】 设租用甲型无人机m架，则租用乙型无人机架，一次运输水果的总重量为W千克， 由题意，得， ∵总租金不超过3000元， ∴， ∴， ∴，且m为整数， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值为（千克）， 此时，乙型无人机的数量为（架）， 答：租用甲型无人机6架，乙型无人机3架，能使一次运输水果的总重量最大，此时的最大运输重量为2100千克． 21. 如图①，正方形中，，点是边上的动点，点是边上的动点，且，连接． （1）如图①，作，交于点，连接，求证；四边形是平行四边形； （2）如图②，延长．、相交于点，试求的度数； （3）如图（3），连接，记，试求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由，可知，，则，，进而可证四边形是平行四边形； （2）如图②，连接交于，连接，，由正方形的性质可知，为中点， ，，，证明，则，，，可得是等腰直角三角形，，由是的中位线，可得，则，求解即可； （3）如图③，连接，由正方形的性质可知，，证明，则，如图③，作关于对称的线段，交延长线于，则，如图③，在上截取，过作于，使，连接、，由勾股定理得，，，则，如图③，过作于，则四边形是矩形，设，则，，，，由勾股定理得，，，可求，则，，由题意知，由，，可得，当三点共线时，最小，如图③，连接，则，，中，由勾股定理得，则最小值为，根据，计算求解，可得的最小值． 【小问1详解】 证明：由正方形的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图②，连接交于，连接，， 由正方形的性质可知，为中点， ，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问3详解】 解：如图③，连接， 由正方形的性质可知，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 如图③，作关于对称的线段，交延长线于， ∴， 如图③，在上截取，过作于，使，连接、， ∴，，， ∴， 如图③，过作于，则四边形是矩形， 设，则，，，， 由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意知， ∵，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 如图③，连接，则，， 在中，由勾股定理得， ∴最小值为， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等角对等边，平行四边形的判定，中位线，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称，正弦，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22. 如图，数轴上一点A表示的数是，点B表示的数是1，数轴上一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当时，点P表示的数是 ． （2）当点P和原点O之间的距离是2个单位长度时，求t的值． （3）点P出发的同时，另一个动点Q从数轴上某一点C出发，沿某一个方向匀速运动，它们恰好同时到达点B．且当时，点P、Q之间的距离是3个单位长度，则点C表示的数为 ．（直接写出答案） 【答案】（1）； （2）或； （3）点C表示的数为或． 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据点P表示的数点A表示的数点P的速度运动时间，即可求解； （2）由题意可知，点P表示的数是，再根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程求解即可； （3）设点C表示的数为，先求出点P运动到点B的时间，进而得出点Q的运动速度，当时，点P表示的数是，再根据点P、Q之间的距离分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，点P表示的数是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可知，点P表示的数是， 点P和原点O之间的距离是2个单位长度 ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 解：设点C表示的数为， 点P和点Q同时到达点B，且点P运动到点B的时间为秒， 点Q的运动速度为每秒个单位， 当时，点P表示的数是， 点P、Q之间的距离是3个单位长度， 当点在点左侧时，， ， 解得：或（舍）； 当点在点右侧时， ， 解得：或（舍）； 即点C表示的数为或． 23. 如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． （1）求、的值； （2）若射线与射线交于点，当，求的值； （3）如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性得方程组，解方程组即可； （2）分交点在线段的两侧进行讨论，得 和 ，分别列出关于的方程，解出方程即可； （3）三条射线所在的直线能围成直角三角形可分类讨论：当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止．再分别考虑是哪两条直线垂直构成直角三角形． 【小问1详解】 ∵，， 解得， ，； 【小问2详解】 由题意知当运动的时间为时， ， ， 如图，当点在线段的右侧时，过点作，则， ，， ， 即 解得； 如图，当点在线段的左侧时，同理可得 解得； 综上可得，或． 【小问3详解】 ， 当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止． 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ①当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段右侧时，则 解得 ②当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段左侧时，则 解得 当时，，， ， ， ， ，不能构成三角形， 不符合题意； ③当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ④当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 ⑤当时，直线与直线重合，，为直角三角形． 综上所述，当或或或时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期6月份月考七年级数学试题 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几种说法：①两点之间线段最短；②任何数的平方都是正数；③是一元一次方程；④是次单项式；⑤任何有理数的绝对值都是非负数．其中正确的语句有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若，则下列不等式变形错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知线段，下面有四个说法: ①线段长可能为；②线段长可能为;③线段长不可能为；④线段长可能为.所有正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 5. 如图，在 中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论： 的面积＝ 的面积；；；．其中结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一套仪器由一个A部件和三个B部件构成. 用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B部件. 现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？( ) A. 4套 B. 40套 C. 160套 D. 120套 7. 如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ） A. B. C. D. 8. 如果，，，那么的值是（       ） A. 2或6或 B. 或0 C. 0或2或6 D. 或 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 将二元一次方程改写为用含x的代数式表示y的形式为______． 10. 若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是___________． 11. 不等式的非负整数解为______． 12. 如图1所示的是一副重叠放置的三角板，其中，，，与共线，将沿方向平移，如图2，当经过的中点时，直线交于点，若，则此时的长度为______． 13. 用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 14. 如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 三、解答题（共78分） 15. （1）计算：． （2）解方程组： 16. 解下列不等式，并把解表示在数轴上． (1)－x≥1. (2)6－2x>7－3x. (3)3x＋13>17＋x. 17. 如图是某居民小区的一块面积为4ab平方米的长方形空地，准备在空地的四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余部分种草.如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？ 18. 如图1，在中，，，． （1）求证：； （2）如图2，交于点P，若，求证：A，O，D三点共线； （3）如图3，在（2）的条件下，若于H，过点O作于E，，，求，的长度． 19. 如图所示的两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． （1）若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为 ．（用含字母的代数式表示） （2）由（1）你可以得到等式 ； （3）根据你所得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②解方程：． 20. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在科技日新月异的背景下，无人机正深度融入现代农业生产．某时令水果种植基地为提升物流效率、降低人力成本，计划引入甲、乙两种无人机，用于果园到集散点的水果运输作业． 素材一 租用2架甲型无人机和3架乙型无人机，一次可运输水果1300千克； 租用3架甲型无人机和1架乙型无人机，一次可运输水果900千克； 素材二 每架甲型无人机的租金为300元/次，每架乙型无人机的租金为400元/次； 素材三 该计划租用甲、乙两种无人机共9架，且总租金不超过3000元． 完成下列任务： （1）任务一：求甲、乙两种无人机一次分别可运输水果多少千克； （2）任务二：选择哪种租用方案，能使一次运输水果的总重量最大？并求出此时的最大运输重量． 21. 如图①，正方形中，，点是边上的动点，点是边上的动点，且，连接． （1）如图①，作，交于点，连接，求证；四边形是平行四边形； （2）如图②，延长．、相交于点，试求的度数； （3）如图（3），连接，记，试求的最小值． 22. 如图，数轴上一点A表示的数是，点B表示的数是1，数轴上一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当时，点P表示的数是 ． （2）当点P和原点O之间的距离是2个单位长度时，求t的值． （3）点P出发的同时，另一个动点Q从数轴上某一点C出发，沿某一个方向匀速运动，它们恰好同时到达点B．且当时，点P、Q之间的距离是3个单位长度，则点C表示的数为 ．（直接写出答案） 23. 如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． （1）求、的值； （2）若射线与射线交于点，当，求的值； （3）如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $