第6章一次方程组 期末复习综合练习题 2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

**基本信息** 以一次方程组解法为核心，整合实际应用与创新题型，系统提炼消元技巧与建模方法，强化运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法应用|10题（选择1/3、填空8/12、解答15）|加减/代入消元、整体代入|从解法原理到解的应用，构建运算能力基础| |实际建模|6题（选择4/5/6、解答19/20）|行程/购物/几何问题建模|从生活情境抽象等量关系，发展模型意识| |创新拓展|4题（选择7、填空13、解答17/18）|新定义/参数/古代问题转化|从常规应用到变式探究，培养抽象能力与推理意识|

2025-2026学年华东师大版七年级数学下册《第6章一次方程组》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（   ） A．①② B．①② C．①② D．①② 2．已知二元一次方程组则的值是（   ） A．3 B． C．0 D． 3．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 4．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有（    ）种购买方案． A．3 B．6 C．7 D．8 5．甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 6．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 7．我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：绳测井深．假若井不知深，先将绳三折入井，绳长五尺；后将绳四折入井，亦长二尺．问井深及绳长各若干？题意：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份放入井中，那么一份绳子会比井深多5尺；若将绳子折成四等份放入井中，则一份绳子会比井深多2尺．问井深几尺？绳长几尺？设绳长m尺，井深n尺，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．把方程写成用含的式子表示的形式______________． 9．已知是方程的解，则的值为______． 10．，则________． 11．设，当时，；当时，．当时，求的值是________. 12．关于的方程组的解是，则方程组的解是_______． 13．二元一次方程的解为 5 2 4 二元一次方程的解为 2 3 4 则方程组的解为___________． 14．购买7支铅笔、3本作业本和1支圆珠笔共需11元；购买同样的10支铅笔、4本作业本和1支圆珠笔共需15元．购买同样的11支铅笔、5本作业本和2支圆珠笔共需______元． 三、解答题 15．用适当的方法解下列方程组． (1)； (2)． 16．若关于的方程组和方程组有相同的解，请分别求出的值． 17．已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 18．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：已知关于x、y的二元一次方程（其中），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”是______，由该方程和其“船山方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（其中）的系数满足， ①求该方程与其“船山方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 19．【背景素材】 七年级某班为校运动会采购饮品，计划在超市购买甲、乙两种品牌的运动饮料．若购买10瓶甲品牌饮料、15瓶乙品牌饮料，共需花费180元；若购买15瓶甲品牌饮料、10瓶乙品牌饮料，共需花费170元． 【问题解决】为合理制定采购方案，分步探究如下： (1)求甲、乙两种品牌运动饮料的销售单价各是多少元？ (2)班级采购预算为120元，需同时购买甲、乙两种品牌的饮料，且预算恰好全部用完，请问共有哪几种符合条件的购买方案． 20．项目式学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为传承启超文化，弘扬“少年强则国强”的理念，某中学计划在六月下旬组织本校优秀学生代表前往梁启超故居参观学习． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共600人 ②某租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量/辆 租用B型客车数量/辆 租车总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决： (1)根据该公司租车记录单上的信息，租用一辆A型或B型客车的租金分别是多少元？ (2)学校本次研学准备租用该租车公司A，B两种型号的客车若干辆，若每辆客车恰好都坐满且两种型号的客车都要租，请你求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）的条件下，请你说明应选择哪种方案，才能使租车费用最少？ 参考答案 1．C 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，只需计算每个选项操作后的结果，判断是否消去一个未知数，即可得到正确答案． 【详解】解：A．，可得，整理得，未消去未知数，该选项错误； B．，可得，整理得，未消去未知数，该选项错误； C．，可得，整理得，已消去未知数，符合消元要求，该选项正确； D．，可得，整理得，未消去未知数，该选项错误． 2．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体代入解法，解题关键是观察方程的结构特征，利用整体相加的方法直接得到 的值，避免了繁琐的代入消元或加减消元步骤． 通过将两个方程直接相加，整体求出的值． 【详解】解：∵ 方程组为： ①+②： ． ∴ 的值为． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键；设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据总花费列出方程，结合x、y为正整数且每种奖品至少1件的条件，找出符合条件的整数解即可确定购买方案的种数． 【详解】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案. 故选：A 5．C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，通过背向而行相遇和同向而行追及的条件，建立关于甲、乙速度的方程组，解方程组求出甲的速度． 【详解】解：设甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟. 根据题意可得：， 整理得： 得： ， 解得：， 答：甲的速度为米/分钟． 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设小长方形的长为，宽为，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， ， 解得：， 所以图中阴影部分的面积之和为． 故选B． 7．D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 根据题意，绳折三等份时每份长度比井深多5尺，折四等份时每份长度比井深多2尺，则每份长度等于井深加上多余尺数，进而即可列出方程组． 【详解】解：设绳长尺，井深尺． ∵折三等份，每份长尺，比井深多5尺， ∴． ∵折四等份，每份长尺，比井深多2尺， ∴． ∴列方程组为， 故选D． 8． 【分析】本题考查了解二元一次方程； 先移项，再把y的系数化为1即可． 【详解】解：移项得， 系数化为1得：， 故答案为：． 9． 2026 【分析】将已知的方程解代入原方程，得到与的关系式，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：由题意知，， 即， ∴ ． 10．1 【分析】根据绝对值的非负性和完全平方的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列出二元一次方程组求解的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得， ∴， ∴． 11． 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把x与y的两对值代入等式列出方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值．再代入求y的值． 【详解】解：把时，；当时，代入等式得： ， 解得：，． 即， 当时，． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把方程组变为，进而由二元一次方程组的解的定义得到，，解方程即可求解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组可变为， ∵关于的方程组的解是， ∴，， 解得，， ∴方程组的解是， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查解二元一次方程组． 通过比较两个二元一次方程的解，寻找公共解，即可得方程组的解． 【详解】解：根据题意可知，是方程和的公共解， ∴方程组的解为． 故答案为：． 14．18 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，根据“购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元”，即可得出关于的三元一次方程组，利用×，即可求出购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支所需钱数． 【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元， 依题意得：， ×①-②得：， 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）观察方程组，第一个方程中、的系数绝对值均为1，适合用代入消元法：先由 变形得到，再代入第二个方程消去，先求的值，再反求； （2）观察方程组，两个方程中的系数存在倍数关系（4是2的2倍），适合用加减消元法：将方程乘以2，使的系数与方程中的系数相同，再两式相减消去，先求的值，再反求． 【详解】（1）解：由方程，变形得 ， 将其代入方程， ， 展开并化简：， 解得：， 把代入：， 方程组的解为 ． （2）解：方程 两边同乘2，得： ， 用其减去方程： ， 展开并化简：， 解得：， 把代入方程： ， 解得：， 方程组的解为 ． 16．的值为，的值为． 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的解，所以只需求出方程组的解，再代入方程组，即可求出未知数的值． 【详解】解：根据题意得：方程组 ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴ 把代入方程组， 得， 解得： ∴的值为，的值为． 17．(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意，联立方程得，可求得x，y的值，再将x，y代入，即可求得k的值． （2）无论实数k取何值，方程总有一个公共解，即的取值与无关，求得，将所求x的值代入，可求得y的值，即为所求的公共解． 【详解】（1）解：联立与， 得      解得 把 代入方程中， 得 ， 解得 （2）∵无论实数k取何值，方程总有一个公共解， ∴的取值与无关， ∴，即方程化为，解得 无论实数k取何值，方程总有一个公共解，该公共解为. 18．(1)， (2)①；②2026 【分析】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）①首先得到，根据题意联立方程组，求出x，y的值； ②将代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 联立得， 由得： 解得， 把代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：①∵， ， ∴与其“船山方程”所组成的方程组为， 由得： 解得， 把代入①得：， ∴ 解得， ∴方程组的解为； ②将代入方程中，得， 即，， ∴ ． 19．(1)甲品牌饮料每瓶6元，乙品牌饮料每瓶8元 (2)共四种方案，方案一：购买甲品牌的饮料16瓶，乙品牌的饮料3瓶；方案二：购买甲品牌的饮料12瓶，乙品牌的饮料6瓶；方案三：购买甲品牌的饮料8瓶，乙品牌的饮料9瓶；方案四：购买甲品牌的饮料4瓶，乙品牌的饮料12瓶 【分析】（1）设甲品牌饮料每瓶元，乙品牌饮料每瓶元，根据单价数量总价，甲的价格乙的价格花费的价格，列出方程组求解即可； （2）设购买甲品牌的饮料瓶，乙品牌的饮料瓶，列出方程后分类讨论解的情况即可． 【详解】（1）解：设甲品牌饮料每瓶元，乙品牌饮料每瓶元， 则由题意可得， 解得， 答：甲品牌饮料每瓶6元，乙品牌饮料每瓶8元． （2）解：设购买甲品牌的饮料瓶，乙品牌的饮料瓶 则由题意可得， 变形得， ∵为正整数， ∴是3的倍数， 或或或， 答：共四种方案： 方案一：购买甲品牌的饮料16瓶，乙品牌的饮料3瓶； 方案二：购买甲品牌的饮料12瓶，乙品牌的饮料6瓶； 方案三：购买甲品牌的饮料8瓶，乙品牌的饮料9瓶； 方案四：购买甲品牌的饮料4瓶，乙品牌的饮料12瓶． 20．(1) 租用一辆A型客车的租金为600元，租用一辆B型客车的租金为1000元 (2) 共有2种满足条件的租车方案，方案1：租用13辆A型客车，5辆B型客车；方案2：租用2辆A型客车，10辆B型客车 (3) 选择租用2辆A型客车，10辆B型客车的方案，租车费用最少，理由见解析 【分析】（1）设每辆A型客车的租金是元，每辆B型客车的租金是元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆A型客车，辆B型客车，根据租用的客车恰好可以乘载600人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，再比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型客车的租金是元，每辆B型客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， ∴每辆A型客车的租金是600元，每辆B型客车的租金是1000元； （2）解：设租用辆A种型号客车，辆B种型号客车， 根据题意得：， ∴， 又∵，均为正整数， 当时，则； 当时，则； ∴或， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用13辆A种型号客车，5辆B种型号客车； 方案2：租用2辆A种型号客车，10辆B种型号客车； （3）解：租用2辆A种型号客车，10辆B种型号客车，理由如下： 当租用13辆A种型号客车，5辆B种型号客车时， 此时租车费用为（元）， 当租用2辆A种型号客车，10辆B种型号客车时， 此时租车费用为（元）， ∵ ∴应选择方案2：租用2辆A种型号客车，10辆B种型号客车，费用最少． 学科网（北京）股份有限公司 $