期末真题百练通关（92题29大常考题型）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册期末复习

**基本信息** 聚焦期末29大常考题型，92道真题覆盖代数、几何、统计与概率，以题载知，构建从基础到综合的知识网络，培养运算能力、推理意识与数据意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|7题型（幂运算/整式乘除等）|运算与应用结合，含规律探究|从幂的基本运算到整式综合问题，体现代数运算逻辑链| |几何|16题型（三角形/全等/轴对称等）|判定与性质应用，含动态问题|从图形认识到全等判定，再到轴对称实际应用，构建几何推理体系| |统计与概率|6题型（可能性/频率/概率计算）|概念理解与实际情境结合|从定性感受可能性到定量计算概率，培养数据意识|

期末真题百练通关（92题29大常考题型） 选填题 题型1幂的乘除 题型10等可能事件的概率 题型2整式的乘法 题型11三角形的认识 题型3乘法公式 题型12全等三角形的认识 题型4整式的除法 题型13探索三角形全等的条件 题型5两条直线的位置关系 题型14利用三角形全等测距离 题型6探索直线平行的条件 题型15轴对称及其性质 题型7平行线的性质 题型16简单的轴对称图形 题型8感受可能性 题型17变量之间的关系 题型9频率的稳定性 解答压轴题（计算+解答） 题型18幂有关的乘法计算 题型24概率的认识及应用 题型19幂有关的除法计算 题型25三角形的认识及实际问题 题型20根据整式的乘除解决复杂问题 题型26探索三角形全等的条件并解决问题 题型21两条直线的位置关系应用 题型27利用三角形全等测距离的实际应用 题型22探索直线平行的条件及应用 题型28图形轴对称的实际作图及应用 题型23根据平行线的性质解决问题 题型29变量之间关系的应用 题型1幂的乘除 1．若a、b是正整数，且满足（左右都是9个），则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，转化为即可得到a与b的关系． 【详解】解：∵（左右都是9个）， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．已知，表明：每天比上一天增长一点点，一年之后，所得终值大约是初值1的37.8倍！那么在理想状况下，两年增长的结果约等于（选最接近的数值）（     ） A．75 B．200 C．1000 D．1400 【答案】D 【分析】利用初中幂的乘方运算法则，将所求指数变形，代入已知条件计算即可得到结果，解题关键是观察得到，将所求式子转化为已知数的平方进行计算． 【详解】解：∵， ∴， 对比选项可知，1428.84最接近1400． 3．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】将等式两边化为同底数幂，利用底数相同的相等幂的指数相等求解． 【详解】解：， ， 由幂的乘方法则，得， 底数相同的两个幂相等，则指数相等， ， 移项得． 4．计算： ____． 【答案】 【详解】解：原式 . 题型2整式的乘法 5．如图，正方形和正方形叠放在一起，点在边上，点在边上，是的中点．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形边长为，正方形边长为，求出，，，进而得到阴影部分的面积，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：设正方形边长为，正方形边长为， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∵阴影部分的面积 ， A、，无法求出，不符合题意； B、，无法求出，不符合题意； C、，无法求出，不符合题意； D、，一定能求出，符合题意． 6．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据当时，等式右侧即为，再将代入等式左侧计算即可得到结果，也可展开多项式整理后对比系数求解． 【详解】解：解法一： 对于等式， 当时，等式右侧为， 将代入等式左侧，得， ． 解法二： 对于等式， 等式左侧为， ，，， ． 7．若计算的结果中不含项，则a的值为________． 【答案】 【分析】先计算多项式乘以多项式，得到，再根据的结果中不含项，得到，求出a的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果中不含项， ∴， 解得． 8．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中包含的项的系数是_____________． 【答案】28 【分析】观察各展开式的的项的系数，得出规律的展开式中包含的项的系数是，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵，其中的系数为， ，其中的系数为， ，其中的系数为， ，其中的系数为， …， ∴的展开式中包含的项的系数是， ∴的展开式中包含的项的系数是． 题型3乘法公式 9．下列算式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式为，要求两个相乘的二项式中，一组项完全相同，另一组项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，两项均相同，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项B中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项C中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构要求，可以用平方差公式计算； 选项D中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算． 10．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（     ） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据图1阴影部分面积公式推导出与及的关系，结合图2阴影部分面积及选项特征求解． 【详解】解：甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意得：， ∴①， 又，点H为的中点， ∴， 图2中阴影的面积为②， 得：， 整理得， ∵， ∴，即， ∴图1的阴影部分面积 ． 11．单项式使得多项式是一个完全平方式，则______． 【答案】 【详解】解：多项式是一个完全平方式，且，， ， 又， ∴． 12．已知：，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据，得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 题型4整式的除法 13．已知单项式满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用单项式乘多项式法则展开等式左边，再根据等式两边同类项对应相等，求出和，最后计算即可解答． 【详解】解：，且， ， ∵是单项式， ∴，，或者，， ∴，，或者，， 当，时， ∴， 当，时， ∴． 综上，． 14．一个长方形机箱面板的面积为，长为，则这个长方形机箱面板的宽为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方形的宽=面积长，利用多项式除以单项式的运算法则进行计算，即可求出宽． 【详解】解：由长方形面积公式可知，宽=面积长，即： ． 15．有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为_______． 【答案】/ 【分析】根据长方体体积公式得到高等于体积除以底面积，列式后利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：设长方体的高为， ∵长方体体积公式， ∴， ∵体积，底面积， ∴ 即它的高为． 16．某科技馆“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：shu li shi jie 密码 【答案】 【分析】根据题意可知其密码由最终表达式中x，y，z的指数依次拼接而成的，再根据幂的乘方，及单项式除以单项式进行运算，然后根据指数得出答案． 【详解】解：由，， ∴密码是由表达式中x，y，z的指数依次拼接而成的， ∴． 题型5两条直线的位置关系 17．如图，直线，相交于点O，于点O，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义可得，结合已知条件，求出的度数，再利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 由图可知 ， 又∵ ， ∴，即 ， ∵与（即）是对顶角， ∴． 18．如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论的个数有①②④共3个． 19．如图，直线相交于点O，平分，垂足为O．若，则的度数为______ 【答案】/140度 【分析】先求出，，即可求出结论． 【详解】解：平分，， ， ， ， ． 20．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角等于 ________． 【答案】 【分析】先设这个角的度数为，再根据题意结合余角补角的定义列出一元一次方程，解方程即可得到这个角的度数． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，余角为， 根据题意得：， 解得：， 即这个角等于． 题型6探索直线平行的条件 21．下面四个图形中的和，不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的角叫做同位角． 【详解】解：根据同位角的定义可知，只有选项C中的与不是同位角． 22．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 23．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 24．一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为_______时，． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【详解】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 题型7平行线的性质 25．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意，得，， ， ， ， ， ． 26．下列命题：①不相交的两条直线是平行线；②同旁内角互补；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若，，则．其中，真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据平行线的定义，平行公理及推论，平行线的判定，逐个判断即可． 【详解】解：因为平行线的定义要求“同一平面内，不相交的两条直线是平行线”，①缺少“同一平面内”的条件，所以①是假命题； 因为只有两直线平行时，同旁内角才互补，②没有给出两直线平行的前提，所以②是假命题； 因为“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是平行公理的推论，所以③是真命题； 因为根据平行公理，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以④是真命题； 因为在同一平面内，若，，则，不是，所以⑤是假命题； 综上，真命题共2个． 27．如图，若，，则图中与互补的角有__________个． 【答案】4 【分析】本题主要考查平行线的性质和补角的定义，根据可得，，根据可得，根据对顶角相等可得，，根据补角的定义即可求解． 【详解】解：对图中各角进行如下标注： ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，与互补的角有，，，，共4个， 故答案为：4． 28．如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 题型8感受可能性 29．“数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：∵本题中数学课本共196页，第98页存在，随手翻开书页时，可能恰好翻到第98页，也可能翻不到， ∴该事件是随机事件． 30．下列说法正确的是（   ） A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】D 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和概率的意义，逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：∵ 选项A中，买中奖率为的奖券6张，中奖是随机事件，不是必然事件，∴ A错误； ∵ 选项B中，汽车累计行驶，从未出现故障是随机事件，不是不可能事件，∴ B错误； ∵ 选项C中，明天降水概率为，只说明明天降水的可能性较大，不是一定下雨，∴ C错误； ∵ 选项D中，均匀硬币每次抛掷，正面朝上的概率都为，与之前的实验结果无关，∴ D正确． 31．王大伯在保险箱中放入50000元人民币，并设置了4位数的密码，每个数字都是这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，他把密码中间的两个数字忘了，那么王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是___________事件；若每次输入的密码不重复，则他最多可能试___________次，才能正确输入密码． 【答案】 随机 100 【分析】本题考查了事件的分类，可能性大小，根据事件的分类可知该事件为随机事件，再计算出数字的总共组合有几种，其中只有一种能打开即可． 【详解】解：王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是随机事件， 四位数字，如个位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则百位上的数字即有可能是中的一个，有10种可能， 同样，假设十位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也有10种可能， 依此类推，要打开该锁有种可能， 在最差的情况下，即前99次试验都失败，则第100次必定成功， 故最多可能试验100次． 故答案为：随机；100． 32．某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 【答案】 16 58 【分析】此题考查了事件的可能性，首先求出魔方获得优秀奖的积分为7分，然后分两种情况讨论：华容道和数独都获得优秀奖和华容道获得参与奖，数独获得卓越奖，即可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高得分，然后按照获得卓越奖的项目分4种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖， ∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖 ∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖， ∴魔方获得优秀奖的积分为7分 ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖 ∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为（分）， 当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为（分）， ∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分； ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖， ∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖， ∴总积分为（分）； ②当七巧板，二十四点获得卓越奖， ∴九连环，五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； ③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖， ∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖， ∴总积分为（分）； ④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖， ∴五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； 综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为58分． 故答案为：16，58． 题型9频率的稳定性 33．某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图（如图），则符合这一结果的试验可能是（     ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C．从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 D．一副去掉大小王的扑克牌洗牌后，从中任抽一张牌的花色是红桃 【答案】C 【分析】根据折线图，得到概率为，逐一求出概率，进行比较判断即可． 【详解】解：由折线图可知：该事件的概率为：； A、抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的概率为：，不符合题意； B、掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上的概率为：，不符合题意； C、从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球的概率为：，符合题意； D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：，不符合题意． 34．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 【答案】B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， 据此可以估计黑色部分的面积为, 此二维码白色部分的面积为． 35．某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表所示：则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是___________（精确到0.1）． 投篮次数 10 100 1000 10000 投中次数 9 89 910 9002 频率 0.90 0.89 0.91 0.90 【答案】0.9 【分析】在大量重复试验中，可用事件发生的频率估计概率，根据频率的稳定值得到概率的估计值，再按要求精确度求解即可． 【详解】解：观察表格可知，随着投篮次数逐渐增大，投中的频率逐渐稳定在附近，将精确到得，因此这名运动员定点投篮一次，投中的概率约为． 36．在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键，根据频率估计概率，摸到白球的频率稳定在附近，即摸到白球的概率为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设黑球有个，则总球数为个．根据题意得： ， 解方程：． 经检验，是方程的解， 故答案为：11． 题型10等可能事件的概率 37．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，其中恰好有一本是《周髀算经》的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先列举出从4部名著中选2部的所有等可能结果，再找出恰好有一本是《周髀算经》的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别记为A、B、C、D， 从4部中任选2部，所有等可能的结果为： （A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，C）、（B，D）、（C，D） 共有6种结果，其中恰好有一本是《周髀算经》的结果有3种， 因此，恰好有一本是《周髀算经》的概率为． 38．如图1，在面积为8m2的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在长方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积约为（   ） A．3.2 B．2.4 C．1.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.3，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为0.3，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，概率为0.3． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：B． 39．在一个不透明的袋子里装有绿球、黄球和红球共10个，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 【答案】3 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值为概率，结合概率公式即可计算得到袋中红球的个数． 【详解】解：由频率估计概率的知识可知，摸到红球的概率为， 已知袋中球的总个数为， 设袋中红球的个数为， 根据概率公式可得， 解得， 因此袋中红球的个数是． 40．如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是____． 【答案】/ 【分析】先求得光伏吸收区的面积，再求得总面积，然后利用几何概率的求解方法求解即可． 【详解】解：由图可知，总面积为， 其中光伏吸收区的面积为， 小球最终停留在光伏吸收区的概率是． 题型11三角形的认识 41．如果一个等腰三角形的两边分别为3和7，那么这个三角形的周长是（ ） A．13 B．15 C．19 D．17 【答案】D 【分析】题目未明确腰和底，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，舍去不符合题意的情况后再计算周长． 【详解】解：①若3为腰长，7为底边长， ∵ ，不满足三角形三边关系， ∴ 该三角形不存在，舍去这种情况； ②若7为腰长，3为底边长， ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴ 这个三角形的周长为． 42．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系求出，结合第三根木棒的长为奇数，即可得出结果． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴， ∴， ∵第三根木棒的长为奇数， ∴符合条件的为3，5，7，9，共 4个， 因此满足条件的三角形个数为 4个． 43．若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据得，再结合三角形三边关系：两边之和大于第三边，得，即可作答． 【详解】解：， ，， 解得：， 为三角形的三边， ． 44．如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 【答案】 【分析】当时，线段的长度最小，此时为斜边上的高，利用等积法即可求解. 【详解】解：，，，， 根据垂线段最短可知，当时，线段的长度最小， ∴， ， 解得：， 线段的最小值是. 题型12全等三角形的认识 45．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【分析】设点运动秒时，与全等，则，，分两种情况：①当，时，②当，时，分别求出和，即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，则， ， ， ，， ， ． 与全等， 分两种情况讨论： ①当，时，， ， ， 点的运动速度为（厘米秒）； ②当，时，， ，， ， ， 点的运动速度为厘米秒； 综上所述：点的运动速度为或厘米秒时，与全等． 46．下列说法正确的是（   ） A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定，三角形的面积，垂线以及对顶角、余角．难度不大，掌握相关的定义及性质即可作出正确的判断根据余角定义、全等三角形判定、对顶角性质及垂线性质逐一分析选项． 【详解】解：A． 若，根据余角的定义，与互为余角，正确． B． 面积相等的三角形不一定全等．例如底和高不同但面积相等的三角形，形状不同，错误． C． 相等的角不一定是对顶角，如平行线中的同位角也可能相等，错误． D． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直需满足“同一平面内”和“直线外一点”的条件，题目未限定，错误． 故选：A． 47．如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，由可得，，再利用三角形内角和定理求出的度数即可求解． 【详解】解：因为，且顶点，，分别与顶点，，对应， 所以，， 由图可知， 所以， 在中，根据三角形内角和定理，， 因为，， 所以， 所以， 即． 48．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是__________． 【答案】或 【分析】已知，两个三角形全等存在两种对应情况：①；②，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】解：由题意得：，，， ，与全等，分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得：， ，， 将代入，得，解得； 情况2：， 此时对应边：，， ，即， 解得：， ，， 将代入，得，解得， 综上，的值为或． 题型13探索三角形全等的条件 49．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 50．如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角，和边与的角，和边对应，能用“”证明乙三角形与全等； 则甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是乙． 故选：B． 51．如图，点在一水池的两侧，相交于点E．若，则水池宽______． 【答案】8 【分析】证明，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 52．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质可得，，，结合利用同角的余角相等证得，进而证明，得到，设，则，利用三角形面积公式构建关于的代数式，根据完全平方公式变形求最大值． 【详解】解：连接，， 四边形是正方形，为中心， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设，则， 正方形边长为， ， ， ， ， ，且， ∴， 的最大值为．, 题型14利用三角形全等测距离 53．如图，已知，若不添加辅助线，则不能证明的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：满足边角边的判定定理，能证明，故A不符合题意； 对于选项B：属于边边角的情况，不能证明，故B符合题意； 对应选项C：满足角角边的判定定理，能证明，故C不符合题意； 对应选项D：满足角边角的判定定理，能证明，故D不符合题意． 54．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件利用证明，可得，进而利用角的和差关系证得，再利用证明，利用全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】 解：A．在和中， ， ， 故选项A不符合题意； B．， ， 即， 在和中， ， ， 故选项B不符合题意； C．， ， ， 即， 故选项C不符合题意； D．与是不同位置的角度，无直接关系，故不一定相等， ∴选项D符合题意． 55．如图，点D在边的延长线上，且．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边，于点 M，N；再以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，以的长为半径画弧交前弧于点，作射线．已知点E为射线上一点，连接，请你添加一个条件______，使．（写出一个条件即可） 【答案】 （或或） 【分析】根据作图可知：，利用全等三角形的判定方法添加条件即可. 【详解】解：由作图，可知：， 又∵， ∴当时，得到； 当时，得到； 当时，得到. 56．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 【答案】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 题型15轴对称及其性质 57．如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中空白的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，则涂法有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义得出符合题意的图形，再解答即可． 【详解】解：如图所示，将方格1处涂黑是轴对称图形，且有一条过中心竖直方向的对称轴； 将方格2处涂黑是轴对称图形，且有一条过中心竖直方向的对称轴； 将方格3处涂黑是轴对称图形，且有一条过对角线的对称轴； 将方格4处涂黑是轴对称图形，且有一条过对角线的对称轴， 所以涂法有4种． 58．将长方形纸条沿折叠成图1，再沿折叠成图2，若图2中的，则图1中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 59．如图，在长方形中，，现将这一长方形纸片沿折叠，若使平行于，则________． 【答案】 【分析】利用长方形的性质求出再根据折叠的性质得到，最后利用平行线的性质与等量代换求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵ ∴ ∵是由沿折叠而得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 60．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 题型16简单的轴对称图形 61．如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质可得，再根据及求出的长即可求解． 【详解】解：过点D作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， 即点D到的距离为． 62．如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由尺规作图的痕迹可得平分，，然后根据全等三角形的性质和角平分线的性质逐项证明判断即可． 【详解】解：根据基本作图，得平分，， ∴， ∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故B选项正确，不符合题意； 无法证明， 故C选项错误，符合题意； 根据题意，得，故D选项正确，不符合题意． 63．如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 【答案】7.5 【分析】根据翻折的性质得到平分，根据，求出的长，角平分线的性质，结合等积法进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离均为， ∵，， ∴， ∴， ∴；即点D到的距离是7.5． 64．一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 【答案】 【分析】设围成的小三角形为，分别用表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解． 【详解】解：如图， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 题型17变量之间的关系 65．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】A 【分析】根据表格获取数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解:A. ∵从增加到时，减少 ，从增加到 时，减少 ， ∴每增加，减小的值不是固定的 ，故A错误，符合题意； B. 由表格数据可知，当 时， ，B正确，不符合题意； C. 观察表格数据，支撑物高度越大，小车下滑时间越小， 因此随着逐渐升高，逐渐变小，故C正确，不符合题意； D. 木板长度不变，即小车下滑路程不变， ∵随着升高，逐渐变小， ∴平均速度逐渐加快，故D正确，不符合题意． 66．在端午节即将来临之际，某商场搞优惠促销活动，其活动内容：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠”．在此活动中，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒，应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知表示出买件礼盒超过100元部分的应付款，然后加上100元，即可得到总应付款，据此列式解答． 【详解】解：∵凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒件， ∴方方应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是：． 67．如图所示，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，n节链条的总长度为，则y与n之间的关系式为_________． 【答案】 【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，即可得出规律，从而可得出y与n之间的关系式． 【详解】解：由题意可得： 1节链条的长度为， 2节链条的总长度为， 3节链条的总长度为， …， ∴n节链条的总长度为， ∴y与n之间的关系式为． 68．小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为___________ ． 【答案】720 【分析】根据图像可知，小峰的学校与家之间的距离为，实际骑车的时间为，由此即可求出骑车的速度；再利用速度乘以时间即可得该十字路口与小峰家的距离． 【详解】解：根据题意，小峰骑车的速度为， 所以，该十字路口与小峰家的距离为． 题型18幂有关的乘法计算 69．计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式法则计算各项，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 70．已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 题型19幂有关的除法计算 71．计算： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 72．计算： 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 题型20根据整式的乘除解决复杂问题 73．小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 【答案】（1），； （2）小厉，理由见解析 【分析】（1）根据阴影部分面积大长方形的面积小长方形的面积，分别表示出、，利用整式的混合运算法则化简即可； （2）计算并化简得出最简结果，根据即可求解． 【详解】（1）解： ； ． （2）解：小厉的想法正确，理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小厉的想法正确． 74．数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论． （1）嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______． （2）琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张． （3）如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形． ①请根据图形直接写出______； ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：． （4）拓展应用： 直接写出的结果为______．（用幂的形式表示） 【答案】（1） （2）需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张 （3）①；② （4） 【分析】（1）根据图2是由2张A纸片，1张B纸片，3张C纸片组合，进而可得出答案． （2）根据多项式乘多项式计算即可得出答案． （3）①根据图3面积公式求解即可． ②利用平方差公式计算即可． （4）构造平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图2的面积为：， ∴． （2）解： 故需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张． （3）解：①根据图3面积公式可得出． ②． （4）解： ． 题型21两条直线的位置关系应用 75．直线相交于点平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，且，求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由对顶角相等得到，再由角平分线的定义得到，进而根据即可求解； （2）设 ，由角平分线的定义得到，因此 ．由，得到，即可列出方程，求得，因此，根据对顶角相等即可解答． 【详解】（1）解：和是对顶角， ． 平分， ， （2）解： ， 设 ． 平分， ， ． ， ， ， ， 解得， ， ， ． 76．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，将一直角顶点放在点O处，即，反向延长射线，得到射线． （1）当的位置如图（1）时，使，若，求的度数； （2）当的位置如图（2）时，使一边在的内部，且恰好平分，问：射线的反向延长线是否平分?请说明理由． 【答案】（1） （2）平分，理由见解析 【分析】（1）由即可得到答案； （2）由平角定义及角平分线的定义求得，，证得，结论得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：平分， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 题型22探索直线平行的条件及应用 77．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气中射入水中时要发生折射．如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光从空气中射入水中时，光的传播方向发生了改变． （1）请写出图中的对顶角______，内错角______，同旁内角______； （2）若测得，，求筷子的水下部分向上弯折（）的度数． 【答案】（1），，或 （2） 【分析】（1）根据对顶角的定义、内错角的定义和同旁内角的定义解答即可； （2）根据角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：图中的对顶角，内错角，同旁内角或； （2）解：， ， 又， ． 78．如图，已知平面上有射线，线段和． （1）用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在线段的延长线上截取；以A为顶点，射线为一边，在射线上方作，使它等于；（不写作法，保留作图痕迹） （2）根据（1）中所作图形，在能表示出来的角中，的同旁内角有 ． 【答案】（1）图见解析 （2） 【分析】本题考查了作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角和同旁内角的定义，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据作一个角等于已知角以及作一条线段等于已知线段的作法画出图形，即可解答； （2）根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由题意得，的同旁内角有， 故答案为：． 题型23根据平行线的性质解决问题 79．直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 （1）如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 （2）如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 【答案】（1） （2） （3）与之间存在的数量关系是或或 【分析】（1）过点I作，根据平行线的判定和性质即可证明； （2）根据题意得出，．过点F作，利用平行线的判定和性质得出，过点I作，结合图形即可求解； （3）设，，得出，．确定，，，然后分三种情况分析：①当点I，Q在直线的两侧时，②当点I，Q在直线的左侧时，③当点I，Q在直线的右侧时，作出相应图形，求解即可． 【详解】（1）解：过点I作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ，． 如图②，过点F作． ， ，， ，      ， , ， 过点I作， ， ，，      ， ． （3），， ，， 与的平分线交于点Q， 设，， ，． ，，，      ①当点I，Q在直线的两侧时，如图③-1，过点I作． ， ，， ， 过点Q作， ， ，， ， ．      ②当点I，Q在直线的左侧时，如图③-2． 同①，得， ． ．      ③当点I，Q在直线的右侧时，如图③-3． 同①，得，． ． 综上所述，与之间存在的数量关系是或或． 80．已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． （1）如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； （2）如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 【答案】（1）见解析； （2）①：见解析；②：①中的结论改变，或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）①过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； ②分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：补全图形，如下图； 过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； ②：①中的结论改变， 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的角平分线为， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， 即； 综上所述，、与之间的数量关系为或． 题型24概率的认识及应用 81．某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果： 试验的种子数（m） 500 1000 1500 2000 3000 10000 发芽的种子粒数（n） 471 946 1425 1898 y 9502 发芽频率 0.942 0.946 x 0.949 0.951 0.950 （1）求表中______，______（填数值）； （2）任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为______（填数值，保留两位小数）； （3）若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，试估算多少粒种子会发芽？ 【答案】（1）， （2） （3） 【分析】（1）根据发芽频率公式计算即可得出结果； （2）观察表格数据即可得出结果； （3）根据发芽频率公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为； （3）解：（粒）， 若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，粒种子会发芽． 82．如图是两个可以自由转动的转盘，图1被平均分成9份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（转盘指针停在分界线上，则重新转动）；图2被涂上红色和绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（转盘指针停在分界线上，则重新转动）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）“小明转出的数字是5”是 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）求小明转出的数字小于7的概率； （3）“小明转出的数字是奇数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同”，这个说法对吗？为什么？ 【答案】（1）随机； （2）； （3）不对，见解析． 【分析】（1）根据随机事件的定义判断即可； （2）直接根据概率公式计算即可； （3）求出两者概率，比较即可． 【详解】（1）解：“小明转出的数字是5”是随机事件； （2）解：小于数字的数有个， ∴小明转出的数字小于7的概率； （3）解：不对，理由如下： 小明转出的数字是奇数的概率是， 小亮转出的颜色是红色的概率是， ∵， ∴这个说法不对． 题型25三角形的认识及实际问题 83．如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． （1）如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； （2）如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； （3）当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 【答案】（1），，秒时， （2） （3）2或 【分析】（1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； （2）解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为6秒，在线段上运动时间为4秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为2或时，． 84．综合探究 （1）如图1，在中，，则的长为_____． （2）如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3）m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 题型26探索三角形全等的条件并解决问题 85．如图，与是具有公共顶点的两个三角形，且，，且点在的外角的平分线上，连接． （1）【问题发现】如图1，在和中，． 填空：①线段与的数量关系是________；②的度数是________． （2）【类比探究】 如图2，在和中，，请问（1）中的结论还成立吗？并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，连接AE，请直接写出当是直角三角形时的长． 【答案】（1）①；② （2） （1）中的结论不完全成立，理由如下， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（1）中的结论不成立，正确的结论是； （3）或 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，特殊角的锐角三角函数等知识点． （1）①根据等边三角形的判定和性质证明，继而得到． ②根据等边三角形的性质和角平分线的定义得到，继而得到，根据，得到． （2）通过证明，得到对应边成比例，进而证明，得到对应边成比例、对应角相等，进而得到，． （3）证明不可能是直角，根据和，分两种情况讨论，根据（2）中的结论，得到的长为或． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵平分，， ∴， ∴， 由①可知，， ∴； （2）解：略 （3）解：由（2）知为直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形，且， ∴不可能是直角，分两种情况讨论， 如图，当时， 在中，， 由（2）知， ∴； 如图，当时， 在中，， ∴， ∴当是直角三角形时，的长为或． 86．如图，在等腰直角三角形中，，，点为直线上一动点，连接，在直线的右上方作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于点，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交于点，求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于点，若，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或或 【分析】（1）利用即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，证明，得到，再证明，即可得证； （3）分3种情况，进行讨论求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， ①当点在线段上时，如图1， 由（1）知，； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图2， 由（2）可知：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在线段的延长线上时，作交的延长线于点，如图： 同法可得：，， ∴，，， ∴ ∴， ∴； 综上：或或. 题型27利用三角形全等测距离的实际应用 87．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； （2）如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解； （2），理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 88．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． （2）根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 （3）如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 （4）如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 【答案】（1）B （2）2（或3，4，5，6之一） （3）证明：如图③，延长至点，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴； ∴． （4）4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解：， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵为整数，， ∴的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 题型28图形轴对称的实际作图及应用 89．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． （1）在图中作出关于直线l对称的； （2）的面积为______；（直接写答案） （3）用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】（1）作图见解析 （2）5 （3）作图见解析 【分析】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：连接交直线l于点P，则点P即为所求． 连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． 90．如图，已知和关于直线对称． （1）结合图形指出对称点； （2）若连接，直线与线段有什么关系？ （3）若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 【答案】（1）点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是 （2）直线垂直平分线段 （3）对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上 【分析】（1）根据所给对称关系，写出对称点即可； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据题意进行画图，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是； （2）解：连接， 则直线垂直平分线段； （3）解：若延长与， 它们的交点在直线上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线上， 规律：对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 题型29变量之间关系的应用 91．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 （1）请直接写出_______，______； （2）设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； （3）某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 【答案】（1）45；10 （2） （3）12千克 【分析】（1）根据表格的数值可发现规律，重量每增加1千克，指针转过的角度增加，由此可解； （2）根据重量每增加1千克，指针转过的角度增加，即可写出与之间的关系式； （3）设出第一次称重的重量，由条件“第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克”可表示出第二次称重的重量，再根据转过的角与物体的重量之间的关系式表示出两次的旋转角度，由“指针第二次转过的角度比第一次大”建立等式即可． 【详解】（1）解：观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加， 重量为千克时，指针转过的角度为； 当指针转过的角度为时，重量为（千克）； （2）解：∵重量每增加1千克，指针转过的角度增加， ∴转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为； （3）解：设第一次称重的重量为千克， ∵第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克， ∴第二次称重的重量为千克， 由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为， ∴第一次称重转过的角的数值为，第二次称重转过的角的数值为， ∵指针第二次转过的角度比第一次大， ∴， 解得， ∴第一次称重的重量为3千克，第二次称重的重量为（千克）， （千克）， 答：该顾客一共购买了12千克水果． 92．为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． （2）行驶150km时，油箱剩余油量为________L． （3）某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 【答案】（1） （2）38 （3）500km 【分析】（1）根据表中数据得出每耗油的关系，据此可得与的关系式； （2）将代入（1）中所求的关系式中即可求出油箱剩余油量； （3）将代入（1）中所求的关系式中即可求出，两地之间的距离． 【详解】（1）解：由表格可知，开始油箱中的油量为，每行驶，油量减少， 据此可得与的关系式为． （2）解：当时，， 故答案为：． （3）解：令，即， 解得， 答：，两地之间的距离为． 【点睛】本题主要考查用关系式表示变量之间的关系，熟练根据自变量和函数的关系得出表达式是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题百练通关（92题29大常考题型） 选填题 题型1幂的乘除 题型10等可能事件的概率 题型2整式的乘法 题型11三角形的认识 题型3乘法公式 题型12全等三角形的认识 题型4整式的除法 题型13探索三角形全等的条件 题型5两条直线的位置关系 题型14利用三角形全等测距离 题型6探索直线平行的条件 题型15轴对称及其性质 题型7平行线的性质 题型16简单的轴对称图形 题型8感受可能性 题型17变量之间的关系 题型9频率的稳定性 解答压轴题（计算+解答） 题型18幂有关的乘法计算 题型24概率的认识及应用 题型19幂有关的除法计算 题型25三角形的认识及实际问题 题型20根据整式的乘除解决复杂问题 题型26探索三角形全等的条件并解决问题 题型21两条直线的位置关系应用 题型27利用三角形全等测距离的实际应用 题型22探索直线平行的条件及应用 题型28图形轴对称的实际作图及应用 题型23根据平行线的性质解决问题 题型29变量之间关系的应用 题型1幂的乘除 1．若a、b是正整数，且满足（左右都是9个），则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，表明：每天比上一天增长一点点，一年之后，所得终值大约是初值1的37.8倍！那么在理想状况下，两年增长的结果约等于（选最接近的数值）（     ） A．75 B．200 C．1000 D．1400 3．已知，则的值为_________． 4．计算： ____． 题型2整式的乘法 5．如图，正方形和正方形叠放在一起，点在边上，点在边上，是的中点．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（     ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．若计算的结果中不含项，则a的值为________． 8．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中包含的项的系数是_____________． 题型3乘法公式 9．下列算式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 10．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（     ） A．3 B．19 C．21 D．28 11．单项式使得多项式是一个完全平方式，则______． 12．已知：，则代数式的值为______． 题型4整式的除法 13．已知单项式满足，则（   ） A． B． C． D． 14．一个长方形机箱面板的面积为，长为，则这个长方形机箱面板的宽为（　　）． A． B． C． D． 15．有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为_______． 16．某科技馆“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：shu li shi jie 密码 题型5两条直线的位置关系 17．如图，直线，相交于点O，于点O，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，直线相交于点O，平分，垂足为O．若，则的度数为______ 20．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角等于 ________． 题型6探索直线平行的条件 21．下面四个图形中的和，不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 22．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 24．一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为_______时，． 题型7平行线的性质 25．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 26．下列命题：①不相交的两条直线是平行线；②同旁内角互补；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若，，则．其中，真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 27．如图，若，，则图中与互补的角有__________个． 28．如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 题型8感受可能性 29．“数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 30．下列说法正确的是（   ） A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 31．王大伯在保险箱中放入50000元人民币，并设置了4位数的密码，每个数字都是这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，他把密码中间的两个数字忘了，那么王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是___________事件；若每次输入的密码不重复，则他最多可能试___________次，才能正确输入密码． 32．某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 题型9频率的稳定性 33．某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图（如图），则符合这一结果的试验可能是（     ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C．从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 D．一副去掉大小王的扑克牌洗牌后，从中任抽一张牌的花色是红桃 34．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 35．某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表所示：则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是___________（精确到0.1）． 投篮次数 10 100 1000 10000 投中次数 9 89 910 9002 频率 0.90 0.89 0.91 0.90 36．在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 题型10等可能事件的概率 37．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，其中恰好有一本是《周髀算经》的概率为（  ） A． B． C． D． 38．如图1，在面积为8m2的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在长方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积约为（   ） A．3.2 B．2.4 C．1.6 D．0.8 39．在一个不透明的袋子里装有绿球、黄球和红球共10个，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 40．如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是____． 题型11三角形的认识 41．如果一个等腰三角形的两边分别为3和7，那么这个三角形的周长是（ ） A．13 B．15 C．19 D．17 42．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 43．若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 44．如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 题型12全等三角形的认识 45．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 46．下列说法正确的是（   ） A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 47．如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 48．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是__________． 题型13探索三角形全等的条件 49．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 50．如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 51．如图，点在一水池的两侧，相交于点E．若，则水池宽______． 52．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 题型14利用三角形全等测距离 53．如图，已知，若不添加辅助线，则不能证明的条件是（     ） A． B． C． D． 54．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 55．如图，点D在边的延长线上，且．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边，于点 M，N；再以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，以的长为半径画弧交前弧于点，作射线．已知点E为射线上一点，连接，请你添加一个条件______，使．（写出一个条件即可） 56．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 题型15轴对称及其性质 57．如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中空白的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，则涂法有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 58．将长方形纸条沿折叠成图1，再沿折叠成图2，若图2中的，则图1中的度数是（   ） A． B． C． D． 59．如图，在长方形中，，现将这一长方形纸片沿折叠，若使平行于，则________． 60．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 题型16简单的轴对称图形 61．如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 62．如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 63．如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 64．一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 题型17变量之间的关系 65．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 66．在端午节即将来临之际，某商场搞优惠促销活动，其活动内容：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠”．在此活动中，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒，应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 67．如图所示，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，n节链条的总长度为，则y与n之间的关系式为_________． 68．小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为___________ ． 题型18幂有关的乘法计算 69．计算：． 70．已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） 题型19幂有关的除法计算 71．计算： （1）； （2）； （3）； 72．计算： 题型20根据整式的乘除解决复杂问题 73．小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 74．数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论． （1）嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______． （2）琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张． （3）如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形． ①请根据图形直接写出______； ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：． （4）拓展应用： 直接写出的结果为______．（用幂的形式表示） 题型21两条直线的位置关系应用 75．直线相交于点平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，且，求的度数． 76．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，将一直角顶点放在点O处，即，反向延长射线，得到射线． （1）当的位置如图（1）时，使，若，求的度数； （2）当的位置如图（2）时，使一边在的内部，且恰好平分，问：射线的反向延长线是否平分?请说明理由． 题型22探索直线平行的条件及应用 77．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气中射入水中时要发生折射．如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光从空气中射入水中时，光的传播方向发生了改变． （1）请写出图中的对顶角______，内错角______，同旁内角______； （2）若测得，，求筷子的水下部分向上弯折（）的度数． 78．如图，已知平面上有射线，线段和． （1）用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在线段的延长线上截取；以A为顶点，射线为一边，在射线上方作，使它等于；（不写作法，保留作图痕迹） （2）根据（1）中所作图形，在能表示出来的角中，的同旁内角有 ． 题型23根据平行线的性质解决问题 79．直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 （1）如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 （2）如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 80．已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． （1）如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； （2）如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 题型24概率的认识及应用 81．某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果： 试验的种子数（m） 500 1000 1500 2000 3000 10000 发芽的种子粒数（n） 471 946 1425 1898 y 9502 发芽频率 0.942 0.946 x 0.949 0.951 0.950 （1）求表中______，______（填数值）； （2）任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为______（填数值，保留两位小数）； （3）若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，试估算多少粒种子会发芽？ 82．如图是两个可以自由转动的转盘，图1被平均分成9份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（转盘指针停在分界线上，则重新转动）；图2被涂上红色和绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（转盘指针停在分界线上，则重新转动）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）“小明转出的数字是5”是 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）求小明转出的数字小于7的概率； （3）“小明转出的数字是奇数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同”，这个说法对吗？为什么？ 题型25三角形的认识及实际问题 83．如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． （1）如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； （2）如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； （3）当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 84．综合探究 （1）如图1，在中，，则的长为_____． （2）如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 题型26探索三角形全等的条件并解决问题 85．如图，与是具有公共顶点的两个三角形，且，，且点在的外角的平分线上，连接． （1）【问题发现】如图1，在和中，． 填空：①线段与的数量关系是________；②的度数是________． （2）【类比探究】 如图2，在和中，，请问（1）中的结论还成立吗？并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，连接AE，请直接写出当是直角三角形时的长． 86．如图，在等腰直角三角形中，，，点为直线上一动点，连接，在直线的右上方作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于点，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交于点，求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于点，若，请直接写出的值． 题型27利用三角形全等测距离的实际应用 87．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； （2）如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 88．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． （2）根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 （3）如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 （4）如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 题型28图形轴对称的实际作图及应用 89．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． （1）在图中作出关于直线l对称的； （2）的面积为______；（直接写答案） （3）用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 90．如图，已知和关于直线对称． （1）结合图形指出对称点； （2）若连接，直线与线段有什么关系？ （3）若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 题型29变量之间关系的应用 91．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 （1）请直接写出_______，______； （2）设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； （3）某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 92．为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． （2）行驶150km时，油箱剩余油量为________L． （3）某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $