精品解析：广东东莞市长安振安学校2025-2026学年第二学期九年级数学第二次模拟教学质量自查试卷

2025～2026学年第二学期第二次模拟教学质量自查试卷 九年级数学 （全卷满分120分，考试用时为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（ ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数比较大小的规则即可找出最低气温； 【详解】解：四个城市的平均气温分别为，，，. ∵ 正数大于一切负数， ∴ 和都大于两个负数，只需比较两个负数的大小. ∵ ，，且， ∴ 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得. ∴ 最低气温是； 2. 2025年我国新能源汽车产量超过16000000辆，数据16000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值. 【详解】解：∵把原数16000000改写为时，可得，小数点向左移动了7位， ∴，即. 3. 窗格作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．下列窗格样式图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、单项式乘单项式、积的乘方的运算法则，逐个计算判断选项即可． 【详解】解：∵对于选项A：，故A运算错误； ∵对于选项B：，故B运算错误； ∵对于选项C：，符合同底数幂除法运算法则，故C运算正确； ∵对于选项D：，故D运算错误． 5. 如图，当零件的边与边平行时，该零件合格．工人测得拐角，则零件合格时，的度数应是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵该零件合格， ∴零件的边与边平行， ∴， ∴． 6. 小亮制作了5张完全相同的代表东莞特色的卡片，卡片内容分别为：园林·可园，非遗·莞香，民俗·龙舟，美食·烧鹅、特产·荔枝．他将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取1张，抽得卡片为特产·荔枝的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：共有5张卡片， 从中任意抽出一张卡片，共有5种等可能的结果， 其中卡片为特产·荔枝的只有1种结果， 抽得卡片为特产·荔枝的概率为． 7. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是， 故选： 8. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 9. 如图，数学课上，老师向同学们展示了以下作图步骤： ①作线段，分别以A，B为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为C； ②以点C为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点D； ③连结． 则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 点C在的垂直平分线上 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定、直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：由作图知，， ∴是等边三角形，是等腰三角形，点C在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， 故选项A错误，选项B、C、D正确． 10. 如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点O，由菱形的性质及勾股定理求得的长，由旋转的性质求得的长，再在中求得，从而可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 由旋转的性质得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：________ 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式3a即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查因式分解，解本题的关键是熟练掌握因式分解时有公因式要先提取公因式，再考虑是否可以用公式法． 12. 若点在一次函数的图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数的性质，当斜率小于0时，函数值随自变量的增大而减小，然后问题可求解． 【详解】解：由一次函数可知：， ∴y随x的增大而减小， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴； 故答案为>． 13. 如图，中，，点A坐标为，B为x轴上的点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点D，根据，得，利用特殊角的余弦函数求解即可． 【详解】解：过点A作于点D， 点A坐标为， 故， ， ， ， ， ， 解得． 14. 如图，在中，于点C，为直径，连接．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用垂径定理求得，设，，在中，由勾股定理列式计算求得，得到，利用勾股定理求得，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，点A为双曲线上一点，过点A作与直线垂直，垂足为B，把线段绕点A逆时针旋转得到，若恰好在x轴上，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作轴于点C，过点B作于点D，轴于点E，则可证明，设，则可表示点，再根据即可求得的值，从而求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作于点D，轴于点E， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B在直线上，即， ∴，即， ∵， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得（只取正值）， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 17. 如图，在中，，点D为中点，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，D为中点， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合题意，证明，利用公共角证明即可； （2）根据三角形相似，得，根据勾股定理，代入比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴． ∵D为中点，， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 18. 人工智能的广泛应用，正深刻改变着我们的工作与生活方式．某图书馆计划购进一批图书分拣机器人和搬运机器人，已知分拣机器人的单价比搬运机器人的单价少3万元，且用12万元购买分拣机器人的数量是用18万元购买搬运机器人的数量的2倍． （1）分拣机器人和搬运机器人的单价各是多少？ （2）若该图书馆计划购进两种机器人共30台，每台分拣机器人每小时能分拣2000册图书，每台搬运机器人每小时能搬运1000册图书．图书的分拣和搬运需两种机器人协同工作，为确保系统流畅运行，在30台机器人一起投入使用的情况下，需满足分拣与搬运同一批图书所用的时间相等，应该怎样购进这两种机器人？ 【答案】（1）分拣机器人每台1.5万元，搬运机器人每台4.5万元 （2）购进分拣机器人10台，搬运机器人20台 【解析】 【分析】（1）设分拣机器人每台x万元，则搬运机器人每台万元，根据等量关系：用12万元购买分拣机器人的数量是用18万元购买搬运机器人的数量的2倍，列出分式方程并求解即可； （2）设购进分拣机器人a台，则搬运机器人台，根据两种机器人分拣与搬运同一批图书所用的时间相等，则这两种机器人每小时分拣和搬运图书数量相等，列出一元一次方程并求解即可． 【小问1详解】 解：设分拣机器人每台x万元，则搬运机器人每台万元． 依题意，得，解得． 经检验：为原分式方程的解且符合题意． ∴搬运机器人单价为：（万元/台）． 答：分拣机器人每台1.5万元，则搬运机器人每台4.5万元． 【小问2详解】 解：设购进分拣机器人a台，则搬运机器人台． ∵两种机器人分拣与搬运同一批图书所用的时间相等， ∴两种机器人每小时分拣和搬运图书数量相等． ∴， 解得． ∴（台）． 答：购进分拣机器人10台，则搬运机器人20台． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校为推荐一名同学参加市青少年航空航天模型教育竞赛，从七、八两个年级中各选出10名学生参加学校举行选拔初赛，并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 航空航天模型教育竞赛初赛成绩折线统计图 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 众数 m 85 中位数 87 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中的数据：______，______； （2）七、八年级参加初赛学生成绩的方差分别用和表示，请判断和的大小：______；（填“＞”、“＜”或“＝”）； （3）学校从参加初赛的20位同学中挑选了成绩在90分以上的甲、乙、丙三名同学进行培训，再进行了复赛测试，三位选手得分如下： 模型设计与制作 物理与工程原理 专项技术知识 规则与安全 甲 9 8 7 9 乙 8 9 8 8 丙 7 7 9 7 如果模型设计与制作、物理与工程原理、专项技术知识、规则与安全的占比为，，，，学校应该推荐哪位同学参加决赛？请说明理由． 【答案】（1）80，85 （2）＞ （3）应推荐乙同学参加决赛． 理由如下： 甲同学得分：； 乙同学得分：； 丙同学得分：． ∴学校应推荐乙同学参加决赛． 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出m和n的值； （2）根据方差公式分别计算出即可； （3）计算加权平均数，再进行分析即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得七年级的成绩数据如下： ， 数据80分出现次数3次，最多， 故（分）； 根据题意，得八年级的成绩数据如下： ， 从小到大排序如下： 中位数是第5个数据，第6个数据的平均数， 故（分）； 【小问2详解】 解：根据题意，得七年级的数据如下：， 八年级的成绩数据： ， 故； 【小问3详解】 略 20. 为应对持续增长的原油进口量，某大型石油储备基地建设了一批大型立式储油罐．已知立式原油储罐为圆柱形，储罐外侧面安装沿圆柱螺旋线（即在圆柱侧面展开图中为直线）上升的旋梯，供操作人员进行作业使用．数学活动小组对储罐进行了测量活动． 【测量数据】如图，活动小组在地面点处进行水平方向和铅锤方向的数据测量．测距仪的测量线与储罐外壁其中一侧的切点记为，储罐底面距离测量点最近的点记为点，点为储罐顶部圆周上的一点，连接，与地面垂直．通过反复测量并取平均值，测得米，米，在处观测点的仰角为． 【问题解决】 （1）已知储罐储满油时，油面最高点比储罐外壁总高度低米，罐壁厚度忽略不计，请你计算这个原油储罐的最大储油容量．（取，结果保留整数．参考数据：，，） （2）如图，施工人员准备从储罐底部点处沿储罐外侧面安装旋梯到顶部处，其中，旋梯中段和顶部各有一个休息平台，平台弧长米．点在水平面上的投影对应的点为、、、．按照行业惯例，旋梯倾角设定为，为了确定旋梯顶部点的位置，需要先求出旋梯在水平面投影对应的圆心角的度数，求的度数．（取，结果保留整数） 注：旋梯倾角：将圆柱侧面展开后，旋梯变成一条斜直线，这条直线与水平方向的夹角即为倾角．设旋梯倾角为，则． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】设储罐半径米，则米，在中，，所以，解得，在中，，，即，则（米），求得油面高度最大为米，然后通过体积公式即可求解； 延长交于点，可得四边形为平行四边形，则米，在中，（米），所以米，根据题意得米，设的度数为，可得，然后代入即可求出． 【小问1详解】 解：依题意得与相切， ∴， ∴， 设储罐半径米，则米， 在中，， ∴，解得， 由已知得， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 油面高度最大为：（米）， ∴（立方米）， 答：这个原油储罐的最大储油容量为立方米； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 由题意得，， ∴四边形为平行四边形， ∴米， ∵，， ∴， ∴中，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 设的度数为，可得， ∴， ∴， ∴的度数为． 21. 【材料1】用求差法可以比较两个数的大小：对于两个实数m，n，若，则；若，则；若，则． 【材料2】一杯质量为的糖水含糖，则糖水浓度为；若向这杯糖水中加入糖，则新糖水浓度为．生活经验表明，加糖后的糖水更甜，因此得到结论：． 小明用求差法对此结论进行了验证，过程如下： 证明： ． ∵，，∴，． ∴．∴． 【解决问题】如果有甲、乙两杯糖水，甲糖水质量为，含糖 ；乙糖水质量为，含糖，则甲糖水的浓度为，乙糖水的浓度为，若把这两杯糖水混合在一起，混合后的糖水浓度记为，已知a、b、c、d均为正数，且，． 回答下列问题： （1）______；（用含a，b，c，d的式子表示） （2）若，分别比较与、与的大小； ①______，②______；（填“”“”或“”）并选择上述两个结论中的一个，用求差法证明你的结论． （3）小明将甲、乙两杯浓度分别为和的糖水按质量比混合后，得到浓度为的混合糖水，他想让混合糖水的浓度变为，需要向混合糖水中加入一些糖（假设糖完全溶解），请直接写出加入糖的质量与原混合糖水总质量的比． 【答案】（1） （2）①＞；②＜． 选择证明结论①， 证明：． ∵已知a、b、c、d均为正数，且， ∴，．∴，即． ∴．∴． 或选择证明结论②． 证明：． ∵已知a、b、c、d均为正数，且， ∴，．∴，即． ∴．∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，得解答即可； （2）根据文中提高的方法，解答即可． （3）设甲杯的糖水质量为，乙杯的糖水质量为，确定混合后糖的质量为，设新加糖，根据题意，得，求解即可． 【小问1详解】 解：根据定义，得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设甲杯的糖水质量为，乙杯的糖水质量为， 故混合后糖的质量为， 设新加糖，根据题意，得， 解得， 故． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D．将该抛物线沿直线方向平移一定的距离，得到新抛物线，其顶点为．抛物线与x轴交于E、F两点（点E在点F左侧）． （1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）如图1，当点E与点B重合时，求的面积； （3）连接，若恰好平分，求平移的距离． 【答案】（1），顶点 （2） （3）平移的距离为． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式求顶点坐标即可； （2）先求出，得到．用待定系数法求出，可设抛物线向右平移m个单位时，向下平移m个单位，得出新的抛物线解析式为：．过点作于点M，连接，求出，然后根据求解即可； （3）由（2）得：设向右平移m个单位，向下平移m个单位得到：．过B作轴交于点N，．证明得．设，则，，求出，由平移后抛物线与x轴交于点E，F，可得，对比可得，求出m的值即可求解． 【小问1详解】 解：过，， ∴， 解得， ∴， ∴顶点为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴点C为． ∵， ∴， ∴． 设过、， 得， 解得， ∴． 依题意，抛物线沿射线方向平移， ∴设抛物线向右平移m个单位时，向下平移m个单位， 新的抛物线解析式为：． ∵点E与点B重合， ∴过点． 代入得，， 解得（舍去）或． ∴，顶点为． 令，， 解得，， ∴， ∴． 过点作于点M，连接， ∴点M坐标为， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得：设向右平移m个单位，向下平移m个单位得到： ． 过B作轴交于点N， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， ∴． ∵平移后抛物线与x轴交于点E，F， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴平移的距离为：． 23. 定义：如果平行四边形的两条对角线夹角等于它的一个内角，称这个平行四边形为“对等角平行四边形”，这组相等的角称为“对等角”．如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O．若等于平行四边形的一个内角，则称平行四边形为“对等角平行四边形”，和称为“对等角”． （1）【定义理解】下列平行四边形中，一定是“对等角平行四边形”的有______（填序号）． ①有一个内角为的平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）【性质探究】如图2，在对等角平行四边形中，，于点E． ①求的值； ②若，，求的长． （3）【拓展应用】如图3，已知E为线段上一点，，，过点E做射线，D为射线上一点，若四边形为对等角平行四边形，连接，将沿翻折得到，若直线与对等角平行四边形的另一边相交于点P，求的长． 【答案】（1）④ （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，结合新定义，进行判断即可； （2）①证明，得到，结合平行四边形的性质，得到，，进而推出，，即可得出结论； ②设，则，勾股定理得到，求出的值，即可得出结果； （3）分两种情况，结合平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：有一个内角为的平行四边形，无法保证夹角等于60度，不符合题意； 矩形的一个内角为90度，对角线相等，不垂直，夹角不等于90度，不符合题意； 菱形的对角线垂直，夹角为90度，菱形的内角不等于90度，不符合题意； 正方形的一个内角为90度，且对角线垂直，夹角也为90度，符合题意； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴； ②由①可知，，， ∴设，则， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 第一种情况：当时，如图： ∵在平行四边形ABCD中，， 由（2）①可知：， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵折叠，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得：，解得， ∴； 第二种情况：当时，如图： 在平行四边形中，，， 同理可证：， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴在中，设，则， 由勾股定理，得，解得． ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期第二次模拟教学质量自查试卷 九年级数学 （全卷满分120分，考试用时为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（ ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A. B. C. D. 2. 2025年我国新能源汽车产量超过16000000辆，数据16000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 窗格作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．下列窗格样式图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，当零件的边与边平行时，该零件合格．工人测得拐角，则零件合格时，的度数应是（ ） A. B. C. D. 6. 小亮制作了5张完全相同的代表东莞特色的卡片，卡片内容分别为：园林·可园，非遗·莞香，民俗·龙舟，美食·烧鹅、特产·荔枝．他将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取1张，抽得卡片为特产·荔枝的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A. B. C. D. 8. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，数学课上，老师向同学们展示了以下作图步骤： ①作线段，分别以A，B为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为C； ②以点C为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点D； ③连结． 则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 点C在的垂直平分线上 D. 10. 如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：________ 12. 若点在一次函数的图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 13. 如图，中，，点A坐标为，B为x轴上的点，则______． 14. 如图，在中，于点C，为直径，连接．若，，则______． 15. 如图，点A为双曲线上一点，过点A作与直线垂直，垂足为B，把线段绕点A逆时针旋转得到，若恰好在x轴上，则点A的坐标为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，在中，，点D为中点，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 人工智能的广泛应用，正深刻改变着我们的工作与生活方式．某图书馆计划购进一批图书分拣机器人和搬运机器人，已知分拣机器人的单价比搬运机器人的单价少3万元，且用12万元购买分拣机器人的数量是用18万元购买搬运机器人的数量的2倍． （1）分拣机器人和搬运机器人的单价各是多少？ （2）若该图书馆计划购进两种机器人共30台，每台分拣机器人每小时能分拣2000册图书，每台搬运机器人每小时能搬运1000册图书．图书的分拣和搬运需两种机器人协同工作，为确保系统流畅运行，在30台机器人一起投入使用的情况下，需满足分拣与搬运同一批图书所用的时间相等，应该怎样购进这两种机器人？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校为推荐一名同学参加市青少年航空航天模型教育竞赛，从七、八两个年级中各选出10名学生参加学校举行选拔初赛，并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 航空航天模型教育竞赛初赛成绩折线统计图 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 众数 m 85 中位数 87 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中的数据：______，______； （2）七、八年级参加初赛学生成绩的方差分别用和表示，请判断和的大小：______；（填“＞”、“＜”或“＝”）； （3）学校从参加初赛的20位同学中挑选了成绩在90分以上的甲、乙、丙三名同学进行培训，再进行了复赛测试，三位选手得分如下： 模型设计与制作 物理与工程原理 专项技术知识 规则与安全 甲 9 8 7 9 乙 8 9 8 8 丙 7 7 9 7 如果模型设计与制作、物理与工程原理、专项技术知识、规则与安全的占比为，，，，学校应该推荐哪位同学参加决赛？请说明理由． 20. 为应对持续增长的原油进口量，某大型石油储备基地建设了一批大型立式储油罐．已知立式原油储罐为圆柱形，储罐外侧面安装沿圆柱螺旋线（即在圆柱侧面展开图中为直线）上升的旋梯，供操作人员进行作业使用．数学活动小组对储罐进行了测量活动． 【测量数据】如图，活动小组在地面点处进行水平方向和铅锤方向的数据测量．测距仪的测量线与储罐外壁其中一侧的切点记为，储罐底面距离测量点最近的点记为点，点为储罐顶部圆周上的一点，连接，与地面垂直．通过反复测量并取平均值，测得米，米，在处观测点的仰角为． 【问题解决】 （1）已知储罐储满油时，油面最高点比储罐外壁总高度低米，罐壁厚度忽略不计，请你计算这个原油储罐的最大储油容量．（取，结果保留整数．参考数据：，，） （2）如图，施工人员准备从储罐底部点处沿储罐外侧面安装旋梯到顶部处，其中，旋梯中段和顶部各有一个休息平台，平台弧长米．点在水平面上的投影对应的点为、、、．按照行业惯例，旋梯倾角设定为，为了确定旋梯顶部点的位置，需要先求出旋梯在水平面投影对应的圆心角的度数，求的度数．（取，结果保留整数） 注：旋梯倾角：将圆柱侧面展开后，旋梯变成一条斜直线，这条直线与水平方向的夹角即为倾角．设旋梯倾角为，则． 21. 【材料1】用求差法可以比较两个数的大小：对于两个实数m，n，若，则；若，则；若，则． 【材料2】一杯质量为的糖水含糖，则糖水浓度为；若向这杯糖水中加入糖，则新糖水浓度为．生活经验表明，加糖后的糖水更甜，因此得到结论：． 小明用求差法对此结论进行了验证，过程如下： 证明： ． ∵，，∴，． ∴．∴． 【解决问题】如果有甲、乙两杯糖水，甲糖水质量为，含糖 ；乙糖水质量为，含糖，则甲糖水的浓度为，乙糖水的浓度为，若把这两杯糖水混合在一起，混合后的糖水浓度记为，已知a、b、c、d均为正数，且，． 回答下列问题： （1）______；（用含a，b，c，d的式子表示） （2）若，分别比较与、与的大小； ①______，②______；（填“”“”或“”）并选择上述两个结论中的一个，用求差法证明你的结论． （3）小明将甲、乙两杯浓度分别为和的糖水按质量比混合后，得到浓度为的混合糖水，他想让混合糖水的浓度变为，需要向混合糖水中加入一些糖（假设糖完全溶解），请直接写出加入糖的质量与原混合糖水总质量的比． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D．将该抛物线沿直线方向平移一定的距离，得到新抛物线，其顶点为．抛物线与x轴交于E、F两点（点E在点F左侧）． （1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）如图1，当点E与点B重合时，求的面积； （3）连接，若恰好平分，求平移的距离． 23. 定义：如果平行四边形的两条对角线夹角等于它的一个内角，称这个平行四边形为“对等角平行四边形”，这组相等的角称为“对等角”．如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O．若等于平行四边形的一个内角，则称平行四边形为“对等角平行四边形”，和称为“对等角”． （1）【定义理解】下列平行四边形中，一定是“对等角平行四边形”的有______（填序号）． ①有一个内角为的平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）【性质探究】如图2，在对等角平行四边形中，，于点E． ①求的值； ②若，，求的长． （3）【拓展应用】如图3，已知E为线段上一点，，，过点E做射线，D为射线上一点，若四边形为对等角平行四边形，连接，将沿翻折得到，若直线与对等角平行四边形的另一边相交于点P，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $