精品解析：2025年广东省东莞市松山湖未来学校中考数学二模试卷

2025年广东省东莞市松山湖未来学校中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值，下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，中心对称图形的识别，掌握其定义，数形结合，找出对称轴，对称中心是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称图形，是在平面内绕某个点旋转后能与自身重合的图形，若两个图形绕某点旋转后重合则关于该点成中心对称，这个点为对称中心；理解定义，数学结合分析，找出对称轴，对称中心即可求解． 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 3. 世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.00021米．0.00021米这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解： 故选B． 4. 下列各组值中，是方程组的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，关键在于观察未知数的系数，再利用加减消元法求解．观察可知的系数互为相反数，故可以利用加减消元法中令方程两个方程组相加即得，故得，再将代入得． 【详解】解： ，得， 解得， 将代入①，得， 所以二元一次方程组的解是 故选：A． 5. 下列计算中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 四大名著《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．小明准备从这四部名著中随机抽取两本进行阅读，恰好抽取到《水浒传》和《西游记》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：分别用分别《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，恰好抽取到《水浒传》和《西游记》的情况有2种， ∴， 故选C． 7. 如图，四边形的两条对角线相交于O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分， 四边形是平行四边形， ， 当或时，均可判定四边形是菱形，故选项A，C正确； 当时，但与可能不相等，四边形不是菱形，故选项B错误； 当时， 由得：， ， ， 平行四边形是菱形，故选项D正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和判定． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，，），已知的顶点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据，得出位似比为，进而将点的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴与的位似比为 ∵的顶点， ∴点的坐标为即 故选：C． 9. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 10. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象．根据一次函数与反比例函数图象找出、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、三象限， ∴， 对于二次函数， ∴对称轴为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧；排除选项A和B； ∵反比例函数的图象在第二象限内， ∴，则， ∴二次函数的图象与轴交点在轴下方， 满足上述条件的函数图象只有选项D． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：a2-4a+4=___ 【答案】（a-2）2． 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式． 【详解】解：a2-4a+4=（a-2）2． 故答案为：（a-2）2． 12. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“关于x的方程有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可． 本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 故答案为： 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 14. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B，C的对应点分别为点F，当点D恰好在线段上时，线段的长为______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】根据矩形及翻折的性质得，，，，，在中，由勾股定理可求出，则，然后在中，由勾股定理可求出，进而可得的长． 此题主要考查了矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 设， ， 由翻折的性质得：，，，，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 故答案为： 15. 如图，在正方形纸片中，，在正方形中剪下一个扇形和一个圆形，点E在上，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥，则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为__________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了正方形的性质和扇形的面积公式． 先根据正方形的性质和扇形面积公式求出扇形的面积，再设围成圆锥的底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于底面圆的周长即可求出r，再用正方形的面积减去扇形的面积和圆的面积即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴扇形的面积为， 设围成圆锥的底面圆的半径为r，则 ， 解得：， ∴纸片剩下部分（阴影部分）的面积为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和算术平方根的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数运算和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键． 17. 如图，已知平行四边形． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在①的条件下，求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 证明：∵为的平分线， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，作的平分线交于点E，即可作答． （2）先根据角平分线的定义得，根据四边形为平行四边形，得，等量代换得，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 【答案】58m 【解析】 【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解． 【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则． 又∵， ∴四边形ACHG是矩形． ∴． 由题意，得． 在中，， ∴（m）﹒ ∵是的外角， ∴． ∴． ∴m． 在中， ∴(m)． ∴． 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键． 19. 某校对直播软件功能进行筛选，最终选定了A，B两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分分数为整数，满分5分其余部分信息如下：抽取的10位教师对A，B这两款软件打分的平均分分别为分和4分名同学打分情况的折线统计图如图所示，学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示． 软件 平均数 众数 中位数 A 4 a B b 3 （1）______，______； （2）学生对这两款软件评价较高的是哪一款直播软件？请说明理由； （3）学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学． 【答案】（1）4，5 （2）A款软件， 理由如下： 学生对A款软件打分的平均数和中位数都B款软件高， 学生对这两款软件评价较高的是A款软件；答案不唯一， （3）采用B款软件 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可； 根据学生对A款软件打分的中位数和平均数都比对B款软件打分的中位数和平均数高即可得到答案； 分别计算出两款软件的得分即可得到答案． 本题主要考查了折线统计图，中位数，众数和加权平均数，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 将A软件的得分按从小到大或从大到小的顺序排列，位于最中间的两个得分都是4分， 中位数， 由图可知，B软件得分出现次数最多的是5分． 众数b为5， 故答案为：4，5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 A款软件的得分为分 B款软件的得分为分 ， 学校会采用B款软件进行教学． 20. 2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元 （2）购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得； （2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元． 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． 【小问2详解】 解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵， ∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴， ∴， 由题意得：， ∵一次函数中的， ∴在内，随的增大而增大， ∴当时，的值最小， 此时， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少． 21. 综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 【答案】（1），29岁；（2）；（3）选模型2，该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4天 【解析】 【分析】（1）依据题意，利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）依据题意，求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）依据题意，根据函数的性质解答即可． 本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）由题意，将，代入， 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）由题意，当，， （3）由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；又由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， 选择模型当时， 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． 22. 定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图1，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线． （1）判断：若是真命题请在括号内打，若是假命题请在括号内打． ①平行四边形是倍分四边形（______） ②梯形是倍分四边形（______） （2）如图1，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求的长； （3）如图2，在，，以为直径的分别交于点，已知四边形是倍分四边形． ①求的值； ②如图3，连结，交于点，取中点，连结交于，若，求的长． 【答案】（1）（1）①；② （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，可判断①是真命题； ②梯形的对角线不平分梯形的面积，可判断②是假命题； （2）过作于，根据是四边形的倍分线，，可得，故，，故； （3）①连接，，，设交于，由，得，故，可知倍分四边形中，是倍分线，即，而，，有，从而，知，，设，由，有，可得，，根据勾股定理可得，即得； ②连接交于，作中点，连接，由为的中点，得，，，则，，证明，得，故，而是的中位线，可得，，故，即得． 【小问1详解】 ①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，故平行四边形是倍分四边形，①是真命题； 故答案为：； ②梯形的对角线不平分梯形的面积，故梯形不是倍分四边形，②是假命题； 故答案为：； 【小问2详解】 过作于，如图： 是四边形的倍分线，， ， ， 在中， ， ，， ， 在中， ， 的长为； 【小问3详解】 ①连接，，，设交于，如图： 为的直径， ， ， ， ， 倍分四边形中，是倍分线，即， ，， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ； ②连接交于，作中点，连接，如图： 为的中点， ，，， 在中，， ， 由①知，， ，， ， ， ， 为的中点， 是的中位线， ，， ， ， ． 【点睛】本题考圆的综合应用，涉及新定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 23. 【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：如下图，直线与y轴的距离为1． 【应用】根据定义回答下列问题： （1）如图：直线与直线的距离是 ； （2）如图：已知点，圆A的半径为1，将直线向下平移m个单位后与圆A相切，求m的值； 【拓展】 （3）如图，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部分，建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为（）（单位长度为百米），地铁线所在的直线为，现在要在地铁线上建设一出口P，使得点P到该工业园距离最近，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） ；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，可得：，，，为等腰直角三角形，则，作交于，解直角三角形即可求解； （2）过A作于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线的平行线，，则，，则，为圆A的切线，由得，，则，，可知，，和中，，求得，可得，，过点作轴，交，于，可知，和中，，求得，同理，，即可求解； （3）设与x轴、y轴分别交于点A、B，可知，，过P作交抛物线于点Q，过Q作轴交直线于点G，则，解直角三角形得，设，则，则，可知当时，，此时，，作于H，求得，，求得可得． 【详解】解：（1）设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点， 对于，当时，，则，即：， 对于，当时，，则，即：， 当时，，则，即：， ∴为等腰直角三角形，则， 作交于，， ∴， 故答案为：； （2）过A作于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线的平行线，，则，， ∴，为圆A的切线， 由得，，则，， ∴，， 和中，， ∴， ∴，， 过点作轴，交，于， ∵， ∴， 和中，， ∴， 同理， 综上，或； （3）设与x轴、y轴分别交于点A、B， 当时，，当时，，则， 则，， 过P作交抛物线于点Q，过Q作轴交直线于点G，则 和中， ∴， 设，则， 则 当时，， 此时，， 作于H， 则， 由勾股定理可得， 则，， ∴． 【点睛】本题考查圆的切线，二次函数与一次函数综合，勾股定理，解直角三角形等知识，理由数形结合的思想是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省东莞市松山湖未来学校中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值，下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.00021米．0.00021米这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组值中，是方程组的解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 6. 四大名著《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．小明准备从这四部名著中随机抽取两本进行阅读，恰好抽取到《水浒传》和《西游记》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形的两条对角线相交于O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，，），已知的顶点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：a2-4a+4=___ 12. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 14. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B，C的对应点分别为点F，当点D恰好在线段上时，线段的长为______． 15. 如图，在正方形纸片中，，在正方形中剪下一个扇形和一个圆形，点E在上，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥，则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为__________．（结果保留π） 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 如图，已知平行四边形． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在①的条件下，求证：是等腰三角形． 18. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 19. 某校对直播软件功能进行筛选，最终选定了A，B两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分分数为整数，满分5分其余部分信息如下：抽取的10位教师对A，B这两款软件打分的平均分分别为分和4分名同学打分情况的折线统计图如图所示，学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示． 软件 平均数 众数 中位数 A 4 a B b 3 （1）______，______； （2）学生对这两款软件评价较高的是哪一款直播软件？请说明理由； （3）学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学． 20. 2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 21. 综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 22. 定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图1，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线． （1）判断：若是真命题请在括号内打，若是假命题请在括号内打． ①平行四边形是倍分四边形（______） ②梯形是倍分四边形（______） （2）如图1，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求的长； （3）如图2，在，，以为直径的分别交于点，已知四边形是倍分四边形． ①求的值； ②如图3，连结，交于点，取中点，连结交于，若，求的长． 23. 【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：如下图，直线与y轴的距离为1． 【应用】根据定义回答下列问题： （1）如图：直线与直线的距离是 ； （2）如图：已知点，圆A的半径为1，将直线向下平移m个单位后与圆A相切，求m的值； 【拓展】 （3）如图，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部分，建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为（）（单位长度为百米），地铁线所在的直线为，现在要在地铁线上建设一出口P，使得点P到该工业园距离最近，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $