精品解析：陕西省西安市爱知中学2025--2026学年下学期九年级中考考前学情调研数学学科试题

初三第四次学情调研数学学科试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. 如图是一个阶梯状的金属垫块，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：由题意知，其左视图如下：． 3. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，则此时面板与水平方向夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作的平行线，交于点，由可得，，结合三角形内角和为，求出的度数． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 4. 在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形、一个内角是90度的平行四边形是矩形来分析，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 当时，可得平行四边形是菱形，无法判定是矩形，故A选项不符合题意；. 当时，可得平行四边形是菱形，无法判定是矩形，故B选项不符合题意； 由无法推出平行四边形满足矩形的判定条件，不能判定是矩形，故C选项不符合题意； 当时，得平行四边形是矩形，故D选项符合题意； 5. 在平面直角坐标系中，已知一次函数，是常数，，随的增大而减小，且，则它的图象经过的象限正确的是（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，先根据一次函数，是常数，，随的增大而减小可知，再由可知，据此可得出结论． 【详解】解：一次函数，是常数，，随的增大而减小， ， ， ， 一次函数，是常数，的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 6. 如图，在中，，，是边上的中线，于点，若的面积为，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由中线得，由此计算得，在中，根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：是边上的中线， ， ，，， ，即， ， 在中，， ． 7. 如图，点A、B、C在上，，连接并延长交于点D，连接、．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，首先利用圆周角定理求出，然后由直径得到，然后利用平行线的性质求出，然后结合等边对等角求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵，， ∴， ∵是的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 8. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 该抛物线一定经过点 B. 该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C. 若点、在该抛物线上，则m的值为3 D. 当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 【答案】B 【解析】 【分析】把代入计算，得出，故该抛物线一定经过点；对于选项，将抛物线解析式化为顶点式，求顶点纵坐标关于的表达式的最小值；对于选项，利用抛物线对称性，由点和求出对称轴，进而求的值；先得出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点的横坐标，再列式计算，即可作答． 【详解】解：将代入抛物线解析式，得， ∴该抛物线一定经过点， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴顶点纵坐标为， ∵， ∴顶点纵坐标的最小值为，不是， 故B选项符合题意； ∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为直线， 又抛物线对称轴为， ∴， 得， 故C选项不符合题意； 当时，抛物线解析式为， 令，得， 解得，， 即两个交点之间的距离为， 故D选项不符合题意． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】运用单项式乘单项式的运算法则计算，即可作答． 【详解】解： 10. 正十边形的每个内角的度数是：________． 【答案】##114度 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和计算．熟知多边形的内角和计算公式是正确解题的关键． 先利用多边形的内角和计算公式求出正十边形的内角和，再除以边数即可． 【详解】正十边形的内角和为：， 正十边形的每个内角的度数为： ， 故答案为：． 11. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】设的长为，根据线段的和差关系表示出的长，再根据已知比例式列出关于的一元二次方程，解方程并根据线段长度为正数取舍，即可作答． 【详解】设， ，点在线段上， ， ∵． ， ， 整理得， ∴， ∴， ∴（舍去）， 的长为． 12. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，是的中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，由菱形的性质可得，，利用勾股定理求出， 容易判断是的中位线，则，，，从而得到，使用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 在中，． 13. 如图，的边经过原点，顶点、分别在反比例函数、的图象上，顶点在轴的正半轴上．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式设点、坐标，利用，找到等量关系，设直线代入点、坐标，结合得结论即可求出． 【详解】解：设点坐标，点坐标， 顶点、分别在反比例函数、的图象上 ∴，， ∴，， ∵点在轴的正半轴上，设点坐标， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∵点坐标，点坐标， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，在平行四边形中，，，，在平行四边形内部运动（可与该平行四边形的边相切）．若与边相切于点E，则当的面积最大时，的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知当与相切时，的面积最大，此时最大，连接，过点A作，交于点G，由切线的性质得，再根据平行四边形的性质得，然后根据特殊角的三角函数求出，即可求出，接下来根据角平分线的判定说明，再解直角三角形可得答案． 【详解】解：如图所示，当与相切时，的面积最大，此时最大， 连接，过点A作，交于点G， ∴， ∴点E，O，H共线． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在中，， ∴，即， 解得， ∴，则． ∵，， ∴平分， ∴． 在中，， 即, 解得， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算原式中负整数指数幂、绝对值、立方根三项的值.再合并得到最终结果. 【详解】解 ，，，因此 ，，将三项相加得： 原式 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别算出每个不等式的解集，结合“大大取大”，再得出不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得； ∴由得； ∴不等式组的解集为． 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】按照解分式方程的步骤求解，解得，需要检验是否存在增根，即可作答． 【详解】解 方程两边同时乘以， 得， 展开整理得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 18. 如图，已知，点D在边上，请利用直尺和圆规在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】满足题意的点E如图所示： 【解析】 【分析】过点D作的垂线，其与的交点即为点，则，故，即可作答． 【详解】略 19. 如图，在矩形中，点E、F都在边上，连接、．若，求证：． 【答案】∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，再整理得，故，即可作答． 【详解】略 20. 深空探测是人类探索宇宙的重要窗口，中国航天事业不断突破，从“天问”探火到“天宫”遨游（图1），彰显了大国科技实力．如图2，一圆环被4条线段等分成4个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内． （1）火星探测模型放在区域①的概率是______； （2）求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率（请用树状图或列表法表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接概率公式作答即可； （2）画出树状图，列举出所有等可能的情况，并找出符合题意的情况数，进而根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵一圆环被4条线段等分成4个区域， ∴火星探测模型放在区域①的概率是 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，其中火星探测模型和空间站模型放在相邻的两个区域有8种，则火星探测模型和空间站模型放在相邻的两个区域的概率是． 21. 某下坡路段，交通部门安装了一套电子测速系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，，米．区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为（即），下坡路段的坡比（即），点A、B、C、D、E、F在同一平面内．如果该下坡路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】不超速，理由如下： 过D作于F，于G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， ∵（米）， ∵， ∴该汽车不超速． 【解析】 【分析】过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，即可判断． 【详解】略 22. 已知A、B两地相距，甲乘坐客车从A地前往B地，出发2小时后，乙开车从B地前往A地，如图，线段、分别是甲、乙两人离A地的距离与甲行驶的时间之间的函数图象． （1）求直线的函数关系式； （2）当甲行驶时在途中与乙车相遇，求甲从A地到达B地所用的时间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出甲相遇时离A地的距离，然后求出甲的速度，即可求解甲从A地到达B地所用的时间． 【小问1详解】 解：设直线的函数关系式为， 代入和得， 解得 ∴直线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当甲行驶时，把代入直线的解析式， 则 甲行驶的路程为，因此甲的速度为 ∵A、B两地相距，则甲从A地到达B地所用的时间为 答：甲从A地到达B地所用的时间为4.5小时． 23. 为弘扬华夏文明，某校举办了“家乡民俗知多少”知识竞赛活动，现随机抽取了a名学生的成绩（成绩为60分~100分的整十数），根据统计的结果，绘制出如下统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）_______，这组学生成绩的中位数为______分； （2）求抽取的a名学生成绩的平均数； （3）若该校共有1800名学生，请估计该校学生此次竞赛成绩不低于80分的人数约为多少？ 【答案】（1）200，80 （2）83 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图求得总人数，再由中位数的定义求解中位数即可； （2）根据平均数的定义求解； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：， 共200个数据，则中位数是第100，101个数据的平均数， 由条形统计图可得，前两组数据有，第三组数据有个，则100，101个数据在第三组，即为分，故中位数为（分）； 【小问2详解】 解：， 这组数据的平均数是83． 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，成绩不低于80分的学生有（人）， ． 估计该校学生此次竞赛成绩不低于80分的人数约为． 24. 如图，是的直径，过点A作的切线，连接交于点C．连接，过点B作的垂线交其延长线于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）证明：∵过点A作的切线 ∴，即 ∴ ∵过点B作的垂线交其延长线于点E， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的切线的性质以及垂直条件，结合等边对等角，利用等角的余角相等证明即可； （2）先根据三角形中位线定理求解，即可由勾股定理求解，再通过等角的正切值相等列式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，经过圆心， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 25. 某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定将原航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到．建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）求左侧抛物线的表达式，并求点M离地面的高度； （2）为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点A、D分别在两个抛物线上，点B、C在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，若，则需要多少米钢材？ 【答案】（1），点的离地高度为 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式，由题意可知点的横坐标为12，代入即可求解点的离地高度； （2）先求出右侧抛物线，然后把分别代入两个抛物线的表达式，求出，再由所需钢材长度为求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ， 由题意知：， ∴点的横坐标为12， 当时，， ∴抛物线的表达式为，点的离地高度为． 【小问2详解】 解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为，即顶点为，而， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 将代入，整理得， 解得或（大于，舍去） ∴， 将代入，整理得 解得或（小于12，舍去） ∴ ∴ 由题意得， ∴所需钢材：． 26. 综合实践． （1）【问题提出】如图①，在中，点D、E分别在边、上，连接，，．若 ，则的长为________； （2）【问题深入】如图②，在四边形中，，，求四边形面积的最大值； （3）【拓展应用】某大型生态农场计划建一个四边形农田用来种植蔬菜，如图③，其中，米，点E是的中点，在E处设立一个物资补给站，连接、交于点F，连接，在F处设置灌溉枢纽，线段为输水管道．计划要求，且．若将四边形区域作为有机蔬菜种植区，求有机蔬菜种植区面积的最大值． 【答案】（1）6； （2）； （3）有机蔬菜种植区面积的最大值为平方米 【解析】 【分析】（1）由得，相似比等于对应边比，已知，则，故，利用可求出． （2）四边形面积，两边及夹角已知，面积固定，中固定，固定，即“定弦定角”轨迹：点在以为弦，圆周角为的圆弧上，当到距离最大时，面积最大，最大高为（其中为外接圆半径，为弦心距），计算得最大面积，求和即得． （3）作的外接圆,连接,并作弦的垂直平分线交于，垂足为，求得平方米，再求得有机蔬菜种植区面积的最大值． 【小问1详解】 解：在中，分别在上， ，，， 由平行得，相似比为， ， 即， 解得，． 【小问2详解】 解：已知，， 过作于，由等腰三角形三线合一： ，， ， ， ， 已知，， ， 要让最大，只需让最大， 如图，以点B为圆心，以的长为半径作弧， 则点的轨迹是圆弧，当点在弧中点时，最大， 此时，， ， ． 【小问3详解】 解：由，可得， 由相似性质：， 已知是中点，米，得 米， 代入得，米， 同时可得线段比例， , , 设，则， ， ， ， ， 由， 如图所示，作的外接圆,连接,并作弦的垂直平分线交于，垂足为， 则， ， ， ， ， , 解得，米, 半径米， 高最大为米， 平方米， ， , 解得，平方米． 有机蔬菜种植区面积的最大值为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三第四次学情调研数学学科试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 如图是一个阶梯状的金属垫块，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，则此时面板与水平方向夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知一次函数，是常数，，随的增大而减小，且，则它的图象经过的象限正确的是（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 6. 如图，在中，，，是边上的中线，于点，若的面积为，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，点A、B、C在上，，连接并延长交于点D，连接、．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 该抛物线一定经过点 B. 该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C. 若点、在该抛物线上，则m的值为3 D. 当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：________． 10. 正十边形的每个内角的度数是：________． 11. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 12. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，是的中点，连接，则的长为_________． 13. 如图，的边经过原点，顶点、分别在反比例函数、的图象上，顶点在轴的正半轴上．若，则_____． 14. 如图，在平行四边形中，，，，在平行四边形内部运动（可与该平行四边形的边相切）．若与边相切于点E，则当的面积最大时，的最大值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组：． 17. 解分式方程：． 18. 如图，已知，点D在边上，请利用直尺和圆规在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在矩形中，点E、F都在边上，连接、．若，求证：． 20. 深空探测是人类探索宇宙的重要窗口，中国航天事业不断突破，从“天问”探火到“天宫”遨游（图1），彰显了大国科技实力．如图2，一圆环被4条线段等分成4个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内． （1）火星探测模型放在区域①的概率是______； （2）求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率（请用树状图或列表法表示）． 21. 某下坡路段，交通部门安装了一套电子测速系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，，米．区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为（即），下坡路段的坡比（即），点A、B、C、D、E、F在同一平面内．如果该下坡路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，） 22. 已知A、B两地相距，甲乘坐客车从A地前往B地，出发2小时后，乙开车从B地前往A地，如图，线段、分别是甲、乙两人离A地的距离与甲行驶的时间之间的函数图象． （1）求直线的函数关系式； （2）当甲行驶时在途中与乙车相遇，求甲从A地到达B地所用的时间． 23. 为弘扬华夏文明，某校举办了“家乡民俗知多少”知识竞赛活动，现随机抽取了a名学生的成绩（成绩为60分~100分的整十数），根据统计的结果，绘制出如下统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）_______，这组学生成绩的中位数为______分； （2）求抽取的a名学生成绩的平均数； （3）若该校共有1800名学生，请估计该校学生此次竞赛成绩不低于80分的人数约为多少？ 24. 如图，是的直径，过点A作的切线，连接交于点C．连接，过点B作的垂线交其延长线于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求的长． 25. 某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定将原航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到．建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）求左侧抛物线的表达式，并求点M离地面的高度； （2）为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点A、D分别在两个抛物线上，点B、C在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，若，则需要多少米钢材？ 26. 综合实践． （1）【问题提出】如图①，在中，点D、E分别在边、上，连接，，．若 ，则的长为________； （2）【问题深入】如图②，在四边形中，，，求四边形面积的最大值； （3）【拓展应用】某大型生态农场计划建一个四边形农田用来种植蔬菜，如图③，其中，米，点E是的中点，在E处设立一个物资补给站，连接、交于点F，连接，在F处设置灌溉枢纽，线段为输水管道．计划要求，且．若将四边形区域作为有机蔬菜种植区，求有机蔬菜种植区面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $