第九章 统计 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本卷为高中数学统计单元复习卷，以疫苗试验、阶梯电价等现实情境为载体，全面覆盖抽样方法、数据特征、图表分析等核心知识，注重数据分析与数学建模能力考查，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|全面调查与抽样调查、随机数表、分层抽样|结合智能机器人销售折线图分析，考查统计概念理解| |多项选择|3/18|百分位数、方差、数据波动|辨析分层抽样概率、方差变换规律，培养推理意识| |填空|3/15|数据特征、频率分布直方图|计算第70百分位数、白糖质量标准差，强化数据处理| |解答|5/77|平均数与方差、分层抽样、频率分布直方图应用|如阶梯电价函数构建与频率分布直方图结合，综合考查数学建模与数据分析能力|

第九章　统计 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在以下4项调查中: ①调查一个40人班级的学生每周的体育锻炼时间; ②调查某省的一种结核病的发病率; ③调查一批食品的合格率; ④调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例. 适合用全面调查的是(　　) A.① B.② C.③ D.④ 2.某班有50名同学,将他们编号为01,02,03,…,49,50,现需抽取10位同学参加志愿者活动,利用随机数表从中抽取10个个体,下面提供的是随机数表的第5、6两行: 8978086734690586130561098546796382203797 6746071473947034852279534809765413499376 若从表中第5行第9列开始自左向右依次读取两位数字,则抽取的第5个个体的编号是(　　) A.13 B.09 C.46 D.20 3.在某疫苗试验初期,某居民区有5 000人自愿接种了疫苗,其中60~70岁的老年人有1 400人,16~19岁的中学生有400人,其余为符合接种条件的其他年龄段的居民.在一项接种疫苗的追踪调查中,要用分层随机抽样的方法从该居民区5 000名接种疫苗的人群中抽取部分人作为样本进行追踪调查,已知老年人中抽取了14人,则从其余符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数为(　　) A.14 B.18 C.32 D.50 4.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工作,提高工作效率,服务人类生活,扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了研究某款智能语音机器人在M,N两个专卖店的销售情况,统计了2023年2月至7月M,N两店每月的营业额(单位:万元),得到如图所示的折线图,则下列说法正确的是(　　) A.M店营业额总体呈下降趋势 B.M店营业额总体呈上升趋势 C.N店营业额总体呈上升趋势 D.M店营业额的极差比N店营业额的极差大 5.设样本数据1,3,m,n,9的平均数为5,方差为8,则此样本的中位数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 6.某机构随机调查了某地区喜欢乡村旅游的1 000名游客,他们均从A,B,C,D,E等5个平台中选择1个平台预定出游(每名游客只选择1个平台),统计得到一个不完整的统计图,如图所示,已知样本中在A平台预定出游的人数是在D平台预定出游的人数的1.5倍,则样本中在D平台预定出游的人数为(　　) A.300 B.210 C.200 D.180 7.某养猪场加大了生猪养殖规模,为了检测生猪的养殖情况,该养猪场对2 000头生猪的体重(单位:kg)进行了统计,得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是(　　) A.这2 000头生猪体重的众数为160 kg B.这2 000头生猪体重的中位数落在区间[160,180)内 C.这2 000头生猪中体重不低于200 kg的有40头 D.这2 000头生猪体重的平均数为152.8 kg 8.设样本数据x1,x2,…,x2 025的平均数为,标准差为s,若数据2x1+1,2x2+1,…,2x2 025+1的平均数比标准差大5,则+s的最小值为(　　) A.- B.- C. D.4 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的有(　　) A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数是6 B.已知一组数据2,3,5,x,8的平均数为5,则这组数据的方差是5.2 C.用分层随机抽样时,个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D.若x1,x2,…,x10的标准差为2,则3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的标准差是6 10.某学生为了解甲、乙两城市的气温情况,收集并整理了两城市2024年月平均气温的相关数据,得到折线图(如图),则(　　) A.甲城市有3个月的月平均气温低于0 ℃ B.甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值大 C.甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低 D.甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差小 11.某学校利用学习强国APP安排教职工(共200人)在线学习党史知识.其教职工年龄情况和每周在线学习时长达3小时的情况分别如图①和图②所示,则下列说法正确的是(　　) A.该学校中年教职工每周在线学习党史时长达3小时的人数最多 B.该学校老年教职工每周在线学习党史时长达3小时的人数最多 C.若要从该校的200名教职工中通过分层随机抽样的方法抽取20人,则应该从青年教职工中抽取6人 D.该学校在线学习党史时长达3小时的人数占总人数的80% 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.有下列一组数据: 1.5　3.2　5.2　5.6　5.6　7.1　8.7　9.2　10.0 11.2　13.2　13.7　13.8　14.5　15.2　15.7　16.5　18.8　19.2　23.9　27　27　28.9　28.9 33.1　33.8　34.8　40.6　41.6　50.1 这组数据的第70百分位数是　　　　.  13.下图是某高速公路测速点在2月1日8:00到18:00内测得的过往车辆速度(单位:km/h)的频率分布直方图,则该段时间内过往车辆速度的中位数是　　　　km/h,平均速度约为　　　　km/h.  14.为了了解一家公司生产的白糖的质量情况,现从这家公司生产的白糖中随机抽取了10袋白糖,称出各袋白糖的质量(单位:克)如下: 495 500 503 508 498 500 493 500 503 500 则质量落在区间[-s,+s](表示质量的平均值,s为标准差)内的白糖有　　　　袋.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)两台机床同时生产一种零件,在10天中,两台机床每天的次品数如下. 甲:1,0,2,0,2,3,0,4,1,2; 乙:1,3,2,1,0,2,1,1,0,1. (1)哪台机床次品数的平均数较小? (2)哪台机床的生产状况比较稳定? 16.(15分)某地准备修建一条新的地铁线路,为了调查市民对沿线地铁站配置方案的满意度,现对居民按年龄(单位:岁)进行问卷调查,从某小区年龄在[18,68]内的居民中随机抽取100人,将获得的数据按照年龄区间[18,28),[28,38),[38,48),[48,58),[58,68]分成5组,同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表.经统计,在这100人中,共有65人赞同目前的地铁站配置方案. 分组 持赞同意见的人数 占本组的比例 [18,28) 20 0.8 [28,38) a b [38,48) 8 0.8 [48,58) 12 0.6 [58,68] 15 0.6 (1)求a和b的值; (2)在这100人中,按分层随机抽样的方法从年龄在区间[28,38),[38,48)内的居民(包括持反对意见者)中随机抽取18人进一步征询意见,求年龄在[28,38),[38,48)内的居民各抽取多少人? 17.(15分)为调查高一、高二学生心理健康达标情况,某学校采用分层随机抽样方法,从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试(满分:10分).经初步统计,参加测试的高一学生成绩xi(i=1,2,3,…,50)的平均分=7.4,方差=2.6,高二学生的成绩yi(i=1,2,3,…,40)的统计表如下: 成绩y 4 5 6 7 8 9 频数 3 7 11 9 6 4 (1)计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差; (2)估计该学校高一、高二全体学生的平均分和方差. 18.(17分)6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干旱日”,为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注,聚焦联合国2030可持续发展目标,实现全球土地退化零增长.自2004年以来,我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效明显的良好态势.治理沙漠离不开优质的树苗,现从苗埔中随机地抽测了200株树苗的高度(单位:cm),得到如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值及众数、中位数; (2)若树高185 cm及以上是可以移栽的合格树苗, ①求合格树苗的平均高度(结果精确到个位); ②从样本中按分层随机抽样方法抽取20株树苗作进一步研究,不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株? 19.(17分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200 kW·h的部分按0.5元/kW·h收费,超过200 kW·h但不超过400 kW·h的部分按0.8元/kW·h 收费,超过400 kW·h的部分按1.0元/kW·h收费. (1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:kW·h)的函数解析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中,今年1月份电费不超过260元的占80%,求a,b的值; (3)在(2)的条件下,估计月用电量的第75百分位数. 参考答案 1.A　根据全面调查的定义可知,①适合用全面调查,②③④适合用抽样调查.故选A. 2.C　根据随机数法知,从表中第5行第9列开始自左向右依次读取两位数字,得到的数据是:34,69(舍去),05,86(舍去),13,05(舍去),61(舍去),09,85(舍去),46,…,则抽取的第5个个体的编号是46. 3.C　设从其余符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数为x,由分层随机抽样的性质,得,解得x=32,∴从其余符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数为32. 4.C　M店的营业额先增长,再减少,极差为64-14=50;N店的营业额一直增长,极差为63-2=61.故选C. 5.C　由题意可得,(1+3+m+n+9)=5,s2=[(1-5)2+(3-5)2+(m-5)2+(n-5)2+(9-5)2]=8,整理可得 解得 ∴该样本数据为1,3,5,7,9,故中位数为5. 6.C　样本中在A平台预定出游的人数是在D平台预定出游的人数的1.5倍,设样本中在D平台预定出游的人数为a,则a+1.5a+(17%+12%+21%)×1 000=1 000,解得a=200. ∴样本中在D平台预定出游的人数为200. 7.D　由频率分布直方图可得,[140,160)这一组数据对应的小长方形最高,所以这2 000头生猪的体重的众数为150 kg,故A错误; 因为生猪的体重在[80,140)内的频率为(0.001+0.004+0.01)×20=0.3,在[140,160)内的频率为0.016×20=0.32,且0.3+0.32=0.62>0.5,所以这2 000头生猪体重的中位数落在区间[140,160)内,故B错误; 这2 000头生猪的体重不低于200 kg的有0.002×20×2 000=80(头),故C错误; 这2 000头生猪的体重的平均数为(0.001×90+0.004×110+0.01×130+0.016×150+0.012×170+0.005×190+0.002×210)×20=152.8(kg),故D正确. 8.D　样本数据x1,x2,…,x2 025的平均数为,标准差为s, ∵数据2x1+1,2x2+1,…,2x2 025+1的平均数比标准差大5, ∴2+1-2s=5, ∴s=-2, ∴-2=, ∵s≥0,∴≥2, ∴当=2时,+s的最小值为4. 9.BD　∵10×60%=6,∴1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数为第六位和第七位的平均数,即=6.5,故A错误; ∵数据2,3,5,x,8的平均数为5, ∴2+3+5+x+8=5×5,即x=7,∴数据2,3,5,7,8的方差是=5.2,故B正确; 用分层随机抽样时,每层的个体被抽到的概率相同,故C错误; ∵x1,x2,…,x10的标准差为2,方差为4,∴3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差为32×4=36,即标准差为6,故D正确. 10.AC　由折线图可得,甲城市在1月,2月,12月的月平均气温低于0 ℃,故A正确; 甲、乙城市都在7月取得月平均气温的最大值,甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值小,故B错误; 由折线图可知,乙城市的月平均气温折线图均在甲城市的月平均气温折线图的上方,所以甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低,故C正确; 由折线图可知,甲城市月平均气温比乙城市月平均气温波动大,所以甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差大,故D错误. 11.ACD　由图形知,该学校老年教职工在线学习党史时长达3小时的人数是200×30%×90%=54,中年教职工在线学习党史时长达3小时的人数是200×(1-30%-30%)×80%=64,青年教职工在线学习党史时长达3小时的人数是200×30%×70%=42,所以该学校中年教职工每周在线学习党史时长达3小时的人数最多,故A正确,B错误;要从该校的200名教职工中通过分层随机抽样的方法抽取20人,应该从青年教职工中抽取20×30%=6(人),故C正确;计算该学校在线学习党史时长达3小时的人数占总人数的比例为30%×90%+40%×80%+30%×70%=80%,故D正确. 12.27　因为70%×30=21,所以这组数据的第70百分位数是=27. 13.102.5　102　根据频率分布直方图中数据落在各区间的频率和为1得(0.01+0.03+0.02+m)×10=1,解得m=0.04, 该段时间内过往车辆速度的中位数是100+×10=102.5(km/h); 平均速度约为85×0.1+95×0.3+105×0.4+115×0.2=102(km/h). 14.7　计算10袋白糖质量的平均数为×(495+500+503+508+498+500+493+500+503+500)=500, 计算方差为s2=×[(-5)2+02+32+82+(-2)2+02+(-7)2+02+32+02]=16, 所以标准差为s=4, 所以[-s,+s]=[496,504], 所以质量落在区间[-s,+s]内的白糖有500,503,498,500,500,503,500,共7袋. 15.解 (1)=(1+0+2+0+2+3+0+4+1+2)×=1.5, =(1+3+2+1+0+2+1+1+0+1)×=1.2. ∵,∴乙车床次品数的平均数较小. (2)[(1-1.5)2+(0-1.5)2+(2-1.5)2+(0-1.5)2+(2-1.5)2+(3-1.5)2+(0-1.5)2+(4-1.5)2+(1-1.5)2+(2-1.5)2]=1.65, 同理=0.76, ∴, ∴乙车床的生产状况比较稳定. 16.解(1)由题意,得20+8+12+15+a=65,解得a=10, 又=100,解得b=0.5. (2)年龄在区间[28,38),[38,48)内的居民(包括持反对意见者)分别有=20(人),=10(人), 故随机抽取18人进一步征询意见,年龄在[28,38)内的居民抽取18×=12(人), 年龄在[38,48)内的居民抽取18×=6(人). 17.解(1)由题意可得, =6.5, [3×(4-6.5)2+7×(5-6.5)2+11×(6-6.5)2+9×(7-6.5)2+6×(8-6.5)2+4×(9-6.5)2]=1.95. (2)由(1)可得,(50+40)=(50×7.4+40×6.5)=7, [2.6+(7.4-7)2]+×[1.95+(6.5-7)2]=. 18.解(1)由题意,得(0.001 5+0.011 0+0.022 5+0.030 0+a+0.008 0+0.002 0)×10=1,解得a=0.025. 众数为=190, 因为(0.001 5+0.011 0+0.022 5)×10=0.35<0.5, 设中位数为x,则(0.001 5+0.011 0+0.022 5)×10+(x-185)×0.03=0.5, 解得x=190,所以中位数为190. (2)①抽测的树苗中高度在[185,195),[195,205),[205,215),[215,225)内的株数分别为200×0.3=60,200×0.25=50,200×0.08=16,200×0.02=4,所以合格树苗的平均高度为≈197(cm). ②样本中合格树苗的频率为(0.030 0+0.025 0+0.008 0+0.002 0)×10=0.65, 则不合格树苗的频率为1-0.65=0.35, 所以按分层随机抽样方法抽取20株树苗,不合格树苗应抽取20×0.35=7(株),合格树苗应抽取20×0.65=13(株). 19.解(1)当0≤x≤200时,y=0.5x; 当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8(x-200)=0.8x-60; 当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+(x-400)=x-140. 所以y= (2)由(1)可知,当y=260时,x=400,即用电量低于400 kW·h的占80%, 结合频率分布直方图可知, 解得a=0.001 5,b=0.002 0. (3)设第75百分位数为m, 因为用电量低于300 kW·h的所占比例为(0.001+0.002+0.003)×100=60%, 用电量低于400 kW·h的占80%,所以75%分位数m在[300,400)内, 所以0.6+(m-300)×0.002=0.75,解得m=375, 可以估计用电量的第75百分位数为375 kW·h. 第4页 学科网（北京）股份有限公司 $