精品解析：2026年辽宁省鞍山市铁东区中考考前模拟数学试题

九年数学试卷 温馨提示： 1、考试时间120分钟，卷面满分120分，试卷共7页． 2、请仔细审题、认真思考、细致解答、规范书写、勿忘检查． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是（ ） A. B. C. D. 2. 中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约．将35500用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 2026年马年吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，组委会制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物名称．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下名称后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字（即“驰驰”）的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系内，将点先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有辆车，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点为中点，以为边作正方形，延长线恰好经过点，若正方形的面积为2，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以，两点为圆心，相同长度（大于的长度）为半径作弧，两弧分别交于点，；②作直线；③以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边，于点，；④分别以点，为圆心，相同长度（大于的长度）为半径作弧，两弧相交于点；⑤作射线，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某天，月球表面白天的最高温度为零上，如果把它记作，那么夜间的最低温度零下记作_____． 12. 如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为________ cm． 13. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： ，，，．则麦苗又高又整齐的是_____种小麦． 14. 如图1是武汉某地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角． 当双翼收起时，可以通过闸机物体的最大宽度为_________．（参考数据：） 15. 如图，在菱形中，，．点，点分别为，上两点，连接，，，若，，则的面积是____________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算； （1）； （2）． 17. 排球是中考体育的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”．学校现决定购买A、B两种品牌的排球．据了解，购买2个A种品牌的排球和1个B种品牌的排球需210元，购买1个A种品牌的排球和2个B种品牌的排球需180元． （1）求A、B两种品牌排球的单价分别为多少元? （2）学校决定购买A，B两种品牌的排球共50个，且购买A种品牌排球的数量不少于购买B种品牌的排球数量的一半，问学校购买A种和B种品牌排球各多少个时花费最少? 18. 某学校举办机器人制作比赛，10名评委对每个机器人进行独立评分（10分制，分数为整数），并绘制如下统计图： （1）求机器人“小目”得分的众数，并说明其含义． （2）优秀机器人需满足“平均分不低于9分，且中位数不低于9分”，请问“小目”能否获得优秀机器人？ 19. 如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图2，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴），． （1）此货车通过测速区间的时间为12分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为            千米/小时，是否超速            （填“是”或“否”）； （2）此货车车头（点）恰好与测速区起始线上点重合时，距车头12米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与交于点，求射线所在直线的函数表达式； （3）在（1）（2）的条件下，点处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光追踪货车车头点，若车头刚好在测速区起始线上点处时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 20. 兴城市海河大桥是一座独塔自锚式悬索桥，它的外轮廓线近似抛物线，为判断大桥主体是否符合设计标准，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动准备 1.去兴城市城建档案室查阅大桥的原设计图纸，记录高度、底部跨度等关键数据：2.准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具． 设计数据 图1为海河大桥的平面示意图，相关信息如下： 1.大桥最高点与桥底的距离为； 2.大桥底部跨度为； 3.设计标准：实际测量高度与理论设计高度之差的绝对值不超过． 实测数据 如图2所示： 点位1：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高（）； 点位2：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高 设计方案 1.根据大桥轮廓建立抛物线模型； 2.计算两点的理论设计高度； 3.对比实际测量高度与理论高度，依据允许误差范围，判断大桥是否符合设计标准． 确定思路 根据大桥的设计数据，确定以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，分析数据可知点和抛物线的顶点坐标． （1）根据设计图纸提供的数据，求抛物线的解析式； （2）结合实际测量数据，请你通过计算，依据允许误差范围，判断大桥的，两处是否符合设计标准． 21. 如图，点P是外一点，过点P的直线m是的切线，切点是A，过点A作弦，连接交于点E，连接． （1）在图1中，求证：； （2）在图2中，过点P作直线，直线与直线n相交于点K，若直线n是圆的切线，切点是C，，求解的半径． 22. 综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）如图1，若交于点，延长线交于点．求证：． （2）如图2，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． （3）如图3，与，分别交于点，．当，时，若，求的面积． 23. 如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上． （1）直接写出点C的坐标； （2）如图（1），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标； （3）如图（2），若点F在抛物线上，连接，求证：直线过一定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学试卷 温馨提示： 1、考试时间120分钟，卷面满分120分，试卷共7页． 2、请仔细审题、认真思考、细致解答、规范书写、勿忘检查． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出组合体的左视图、主视图及俯视图，即可作出判断． 【详解】解：几何体的左视图和主视图是相同的， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，注意理解三视图观察的方向． 2. 中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约．将35500用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将35500用科学记数法表示应为， 故选：B． 3. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据概念逐一分析可得答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的概念与识别，掌握以上知识是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据幂的乘方法则、合并同类项法则、单项式乘以单项式法则、积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算正确； B．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误； C． ，故原计算错误； D． ，故原计算错误； 故选：A． 5. 2026年马年吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，组委会制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物名称．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下名称后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字（即“驰驰”）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”分别编号为， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的结果有7种， 两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的概率为． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系内，将点先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移规律，左减右加，上加下减，进行求解即可. 【详解】解：将点向左平移1个单位长度，横坐标减，得到横坐标， 再向下平移2个单位长度，纵坐标减，得到纵坐标， ∴平移后的点的坐标是. 7. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有辆车，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是抓住总人数不变的等量关系，分别用两种乘车情况表示总人数，即可列出对应方程 【详解】∵设共有辆车，总人数保持不变， 若每3人乘一车，剩余2辆空车，实际乘车的车辆数为，总人数可表示为， 若每2人乘一车，剩余9人步行，总人数可表示为， ∵两种情况总人数相等， ∴可得方程，对应选项为A 8. 如图，直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的性质，先证明，再结合垂直的定义可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 9. 如图，在中，，点为中点，以为边作正方形，延长线恰好经过点，若正方形的面积为2，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于点，根据正方形面积求出边长，，利用正方形性质及点共线得出，再结合直角三角形斜边中线定理求出的长，连接交于点，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：连接交于点 正方形的面积为，则 ， ∴，，则 在中，，为中点 ， ， ． 10. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以，两点为圆心，相同长度（大于的长度）为半径作弧，两弧分别交于点，；②作直线；③以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边，于点，；④分别以点，为圆心，相同长度（大于的长度）为半径作弧，两弧相交于点；⑤作射线，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、角平分线的定义、垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．根据三角形内角和定理求出的度数，由作图步骤得出是的平分线，是的垂线，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图步骤可知，平分，直线， ， 设与交于点，则， ． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某天，月球表面白天的最高温度为零上，如果把它记作，那么夜间的最低温度零下记作_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 零上温度记为正，则零下温度就记为负，直接得出结论即可． 【详解】零上温度记为正，则零下温度就记为负，所以零上，记作，温度零下，记作． 故答案：． 12. 如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为________ cm． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数F关于L的函数解析式，再结合图像即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴弹簧秤的示数F关于L的函数解析式为， 且该函数图像在第一象限，F随L的增大而减小， 当时，可有， ∵L越大，弹簧秤的示数F越小， ∴当时，， 即弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为35cm． 故答案为：35． 13. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： ，，，．则麦苗又高又整齐的是_____种小麦． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查平均数与方差的意义，平均数反映一组数据的平均水平，方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，长势越整齐，先比较平均数得到平均高度更高的组，再比较方差确定长势更整齐的组，即可得到结果． 【详解】解：，，且， 乙和丁的平均苗高大于甲和丙，即乙、丁的长势更高； 又，，且， 乙的方差小于丁的方差，乙的长势更整齐， 麦苗又高又整齐的是乙． 14. 如图1是武汉某地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角． 当双翼收起时，可以通过闸机物体的最大宽度为_________．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 如图2，作于，于，则，，根据通过闸机物体的最大宽度为，求解作答即可． 【详解】解：如图2，作于，于， ∴，， ∴通过闸机物体的最大宽度为（）， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，．点，点分别为，上两点，连接，，，若，，则的面积是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用菱形的性质和等边三角形的判定，通过旋转构造全等三角形，将线段转化为线段，结合勾股定理建立关于长度的方程，求出的长，进而计算三角形面积． 【详解】解：四边形是菱形，，  ，，， 连接，则和均为等边三角形，  ，， 将绕点逆时针旋转得到，  ，  ，， ，，  ，  ，即点在边上，  ， ，  ， 在和中，    ，  ， 设，则，，   ， ， 过点作交的延长线于点，  ，  ， 在 中， ，，  ∴， 在 中，，  ， 解得： ∵ ∴ ∴ 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算； （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据乘方，负整数指数幂，零次幂的性质化简，再计算即可； （2）先计算分式乘法，括号内的异分母分式的减法运算，再根据分式的除法运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 排球是中考体育的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”．学校现决定购买A、B两种品牌的排球．据了解，购买2个A种品牌的排球和1个B种品牌的排球需210元，购买1个A种品牌的排球和2个B种品牌的排球需180元． （1）求A、B两种品牌排球的单价分别为多少元? （2）学校决定购买A，B两种品牌的排球共50个，且购买A种品牌排球的数量不少于购买B种品牌的排球数量的一半，问学校购买A种和B种品牌排球各多少个时花费最少? 【答案】（1）A种品牌排球单价为80元，B种品牌排球单价为50元 （2）购买17个A种品牌排球，33个B种品牌排球时花费最少 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的综合运用，理解题意，找出数量关系正确列式是关键． （1）设A种品牌排球单价为x元，B种品牌排球单价为y元，结合题目中的数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个，由此列不等式得到，设学校采购这两种排球所需总费用为w元，结合一次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A种品牌排球单价为x元，B种品牌排球单价为y元， ， 解得． 答：A种品牌排球单价为80元，B种品牌排球单价为50元； 【小问2详解】 解：设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个， 由题意可知， 解得，， 设学校采购这两种排球所需总费用为w元，则， 即， ∵， ∵w随m的增大而增大， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为17， ∴当时，w取得最小值，此时， ∴购买17个A种品牌排球，33个B种品牌排球时花费最少． 18. 某学校举办机器人制作比赛，10名评委对每个机器人进行独立评分（10分制，分数为整数），并绘制如下统计图： （1）求机器人“小目”得分的众数，并说明其含义． （2）优秀机器人需满足“平均分不低于9分，且中位数不低于9分”，请问“小目”能否获得优秀机器人？ 【答案】（1） 解：众数为10分，说明：在10位评委中，给机器人“小目”打10分的人数最多，反映出多数评委认为它表现优秀． （2）能获得“优秀机器人”． 【解析】 【分析】（1）根据众数是一组数据出现次数最多的数解答即可； （2）求出机器人“小目”平均分和中位数解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：机器人“小目”平均分（分）， ∵10个数据从小到大排列为：7，8，8，9，9，9，10，10，10，10， ∴中位数为分． ∴两个条件都满足， ∴“小目”能获得“优秀机器人”． 19. 如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图2，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴），． （1）此货车通过测速区间的时间为12分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为            千米/小时，是否超速            （填“是”或“否”）； （2）此货车车头（点）恰好与测速区起始线上点重合时，距车头12米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与交于点，求射线所在直线的函数表达式； （3）在（1）（2）的条件下，点处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光追踪货车车头点，若车头刚好在测速区起始线上点处时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】（1），否 （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据速度路程时间即可求出货车行驶的平均速度，进而根据限速即可判断是否超速； （）利用待定系数法即可求解； （）当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，利用待定系数法可得，把代入得，据此即可求出激光射线与射线有交点的时长； 【小问1详解】 解：由题意得，该货车行驶的平均速度为， ∵限速， ∴该货车没有超速； 【小问2详解】 解：设射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴射线所在直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴激光射线与射线有交点的时长为． 20. 兴城市海河大桥是一座独塔自锚式悬索桥，它的外轮廓线近似抛物线，为判断大桥主体是否符合设计标准，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动准备 1.去兴城市城建档案室查阅大桥的原设计图纸，记录高度、底部跨度等关键数据：2.准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具． 设计数据 图1为海河大桥的平面示意图，相关信息如下： 1.大桥最高点与桥底的距离为； 2.大桥底部跨度为； 3.设计标准：实际测量高度与理论设计高度之差的绝对值不超过． 实测数据 如图2所示： 点位1：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高（）； 点位2：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高 设计方案 1.根据大桥轮廓建立抛物线模型； 2.计算两点的理论设计高度； 3.对比实际测量高度与理论高度，依据允许误差范围，判断大桥是否符合设计标准． 确定思路 根据大桥的设计数据，确定以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，分析数据可知点和抛物线的顶点坐标． （1）根据设计图纸提供的数据，求抛物线的解析式； （2）结合实际测量数据，请你通过计算，依据允许误差范围，判断大桥的，两处是否符合设计标准． 【答案】（1） （2）大桥的两点均符合设计标准 【解析】 【分析】（1）由顶点可得，把代入求出a值即可； （2）分别把D、F的横坐标代入解析式求出纵坐标，求出与拱高的测量值差值的绝对值，是否超过，即可判断是否符合设计标准． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 大桥最高点与桥底的距离为， ∴抛物线的顶点， ， 大桥底部跨度为， ∴抛物线经过点， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：由题可知：点的横坐标为， 把代入抛物线，得：， ， 由题可知：点的横坐标为， 把代入抛物线得：， ， 答：大桥的两点均符合设计标准． 21. 如图，点P是外一点，过点P的直线m是的切线，切点是A，过点A作弦，连接交于点E，连接． （1）在图1中，求证：； （2）在图2中，过点P作直线，直线与直线n相交于点K，若直线n是圆的切线，切点是C，，求解的半径． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、垂径定理、切线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，说明为的直径成为解题的关键． （1）连接，设，则，由等腰三角形的性质可得 ，再根据切线的性质可得，最后根据角的和差可得即可证明结论； （2）连接，过作，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得，再根据切线的性质以及全等三角形的判定与性质可得可得，再结合可得点O在上，即为的直径，则；再结合以及三角形内角和定理可得，进而得到；再根据直角三角形的性质可得,即；由垂径定理可得，最后再解直角三角形即可解答． 【小问1详解】 解：如图：连接，设，则， ∵, ∴， ∵直线m是的切线， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图：连接，过作， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵直线m是的切线，直线n是圆的切线， ∴, ∵, ∴， ∴，， ∵， ∴点O在上，即为的直径， ∴, ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴,即， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）如图1，若交于点，延长线交于点．求证：． （2）如图2，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． （3）如图3，与，分别交于点，．当，时，若，求的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接， 由旋转的性质可得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）是线段的中点，理由如下： 如图，作交的延长线于， 则， 由旋转的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是线段的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由旋转的性质可得，，再证明，即可得证； （2）作交的延长线于，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，即可得解； （3）设，则，，令交于，作于，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，，证明，得出，由勾股定理可得，作交的延长线于，得出四边形为矩形，推出，，，由勾股定理可得，求出，由得到，过点作，则，得到，最后由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴设，则， ∴， 如图，令交于，作于， ， 由旋转的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴．， ∵四边形为矩形 ∴ ∴ ∴ ∴ 过点作 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 23. 如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上． （1）直接写出点C的坐标； （2）如图（1），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标； （3）如图（2），若点F在抛物线上，连接，求证：直线过一定点． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）令，求出点，即可求解； （2）先求出点，再求出直线的解析式，然后过点E作轴交直线于点G，连接，设点，则点，可得，再由平行四边形的面积是13，可得，再根据，列出关于a的方程，求出点E的坐标，即可求解； （3）设直线的解析式为，联立，可得，从而得到，再由平行四边形的性质，可得， ，再由点E在抛物线上，可得，从而得到直线的解析式为，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ∴点， ∵C是的中点， ∴； 【小问2详解】 解：把代入得： ， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点E作轴交直线于点G，连接， 设点，则点， ∴， ∵平行四边形的面积是13， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点， ∵先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点， ∴点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $