精品解析：北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年第二学期6月诊断高二数学试题

首都师大附中2025-2026学年第二学期6月诊断 高二数学 本试卷共6页，120分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， 由， 所以. 2. 已知命题p：，，则（ ） A. ：，，且为真命题 B. ：，，且为真命题 C. ：，，且为假命题 D. ：，，且为假命题 【答案】D 【解析】 【分析】先根据全称命题的否定规则写出，再通过配方法判断原命题的真假，进而得到的真假，结合选项得出答案. 【详解】全称命题的否定为特称命题， 故命题的否定为. 对二次函数，配方得，对任意，， 因此恒成立，即命题为真命题. 根据命题与否定的真假性相反，为假命题. 综上，，且为假命题. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造反例排除错误选项A、C、D，再结合基本不等式证明选项B的不等式恒成立，最终确定正确答案. 【详解】取，，满足且，此时，，即，故选项A错误. 当时，无实数意义，不满足不等式，故选项C错误. 取，，满足，此时，， 显然，即，故选项D错误. 由可知与同号，因此. 根据基本不等式，，当且仅当时取等号， 即时等号成立，所以恒成立，故选项B正确. 4. 已知函数，则是（ ） A. 偶函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是增函数 C. 偶函数，且在上是减函数 D. 奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数， 又， 因为在上是增函数且，所以在上是增函数， 所以在上是减函数，所以在上是减函数， 5. 已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过图象变换得到和的函数表达式，再根据重合条件逐一验证选项. 【详解】根据图象变换规则，甲得到的对应的函数为，乙得到的对应的函数为. 因为与重合，故. 选项A，，则，， 两者不相等，排除. 选项B，，则，， 两者不相等，排除. 选项C，，则，， 两者不相等，排除. 选项D，，则，， 两者相等，符合条件. 故选：D 6. 小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出从袋子中随机摸出两个球的情况数和两球的颜色相同的情况数，相除得到答案. 【详解】袋子中共有7个球，随机摸出两个球，共有种情况， 其中两球的颜色相同的情况为2红，2白或2黑，共有种情况， 故该抽奖活动的中奖率为. 故选：B 7. 设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得则且，或且，或且，分别在不同情况下 ，列出所有可能，进而得到答案. 【详解】根据题意，若，则且，或且，或且， 当且时，有，或， 或，或，共4种可能； 当且时，有，或， 或，或，共4种可能， 当且时，有，或， 或，或，或， 或，或，或，共8种可能， 满足的不同排列的个数为， 故选：B． 8. 已知函数，则“”是“在上为单调函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】取，结合分段函数单调性可判断必要性不成立；分、两种情况讨论，结合分段函数的单调性可判断充分性成立.由此可得出结论. 【详解】若，则， 当时，函数在上为增函数，函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，此时函数在上单调递增； 当时，函数在上为减函数，函数在上为减函数， 又因为函数在上连续，此时函数在上单调递减； 所以“在上为单调函数”不能得到“”； 若，当且时， 函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上为增函数； 当且时，函数、在上均为减函数，则函数在上为减函数， 函数、在上均为减函数，则函数在上为减函数， 又因为函数在上连续，故函数在上为减函数； 故“”“在上为单调函数”. 故“”是“在上为单调函数”的充分不必要条件. 9. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给关系式，求出，近似计算得解. 【详解】由题意，火箭的最大速度为时，可得， 即， 因为，所以近似计算可得， 故选：B 10. 已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出函数图象，数形结合判断不同值域范围的函数值对应自变量的个数，再由有两个解，对应的解的个数确定范围，进而求m的范围. 【详解】由题设，若，则， 所以，值域为R，函数图象如下： 当时，只有一个与之对应； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有三个对应自变量且； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有一个与之对应； 令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解， 若有三个解，则，此时有7个解，不满足； 若有两个解且，此时和各有一个解， 结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m； 若有一个解，则有两个解，此时， 所以对应的， 综上，. 故选：C. 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】求使式子有意义的实数的集合即可. 【详解】要使函数解析式有意义， 则有，即， 解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 12. 已知，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出项的系数，结合已知列方程求解参数. 【详解】由二项展开式的通项公式可知，， 令，解得， 所以， 解得. 13. 已知函数的定义域为，且，，．写出满足条件的一个函数解析式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】取，函数的定义域为， ，， 因为，所以，满足题意. 14. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可. 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足即， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 15. 若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得且； ③若，且为增函数，则； ④若，且为奇函数，为偶函数，则． 其中正确结论的序号是_____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，通过构造具体的函数和，验证具有性质即可；对于②，构造合适的函数，分别验证是否具有性质即可；对于③，通过举反例来验证不具有性质；对于④，对于任意正数，由，可得存在，使得，根据的奇偶性利用绝对 值不等式，可找到或，使得，从而推出具有性质. 【详解】对于①：设；，两函数定义域均为， 结合函数图象可知，对任意正数， 都存在，使得；也都存在，使得； 故. 由，任意，都有. 故对任意正数，都不存在，使得； 所以，故①正确； 对于②：设，两函数定义域均为， 则，， 可知，，，，，故②正确； 对于③：设， 定义域均为，且为增函数， ，. 则，对任意，都有. 对于任意正数，都不存在，使得； 所以，故③错误； 对于④：因为为奇函数，为偶函数，且. 则定义域均为， 对于任意正数，因为，所以存在，使得， 又因为为奇函数，为偶函数，所以. 则对任意正数， 都有 ； 假设且， 则，这与矛盾，故假设错误， 故中至少一个大于， 即对任意正数，存在或，使得. 所以，故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题共4小题，共55分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）函数的最大值为2，最小值 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切点和切线斜率，即可得切线方程； （2）根据求导判断的单调性，结合单调性分析最值. 【小问1详解】 因为，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为. 【小问2详解】 由（1）可得， 且，则， 令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为，且， 所以函数的最大值为2，最小值. 17. 某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加10轮比赛，分数如下表： 轮次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． （1）若从以上10轮比赛中任选2轮，求这2轮均“稳定发挥”的概率； （2）假设甲再参加3轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率．记为甲在这3轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望； （3）假设选手乙参加10轮射击比赛，恰有8轮“稳定发挥”，从这十轮比赛中任选3轮，记为乙在这3轮比赛中“稳定发挥”的轮数，直接写出与的大小关系（用“>”、“=”或“<”连接，结论不要求证明）． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）先确定“稳定发挥”的轮次，利用古典概型概率公式求解； （2）问题转化为求二项分布的分布列和期望求解； （3）先求超几何分布的期望，再与比较大小. 【小问1详解】 10轮比赛中，除第二、六两轮不是“稳定发挥”，“稳定发挥”的有8轮. 所以从以上十轮比赛中任选两轮，这两轮均“稳定发挥”的概率为： . 【小问2详解】 用频率估计概率，每轮能“稳定发挥”的概率为， 因为甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，所以“稳定发挥”的轮数， 即，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且. 【小问3详解】 的值可以为：， 且，，. 所以. 所以. 18. 已知函数的定义域为，，函数．对任意，曲线在点处的切线方程为． （1）证明：； （2）求的单调区间； （3）已知，求过点且与曲线相切的直线的条数． 【答案】（1）由题意可知曲线在点处的切线斜率为， 所以， 令，得， 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，得证； （2）函数在区间上单调递增 （3）2 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据导数与单调性的关系求证； （2）先对函数求导，令，，再对函数求导，根据导数与函数单调性的关系即可判断求解； （3）由题意可得，令，求导，判断函数的单调性，再结合零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有最小值，即函数在处有最小值， 所以，故函数在区间上单调递增； 【小问3详解】 由题意可得点在切线上， 所以①， 令， ， 由（2）可知，当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，所以1是方程①的一个解； 又，， 所以函数在处有一个零点且在区间内存在唯一零点， 所以有两个解， 即过点且与曲线相切的直线的条数有2条. 19. 给定项数为的数列，其中.若存在一个正整数，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，例如数列.因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”. （1）分别判断下列数列 ①. ②. 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项； （2）若项数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由； （3）假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值. 【答案】（1）①是，重复五项为0，0，1，1，0；②不是 （2）11，理由见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）观察数列特点看元素是否按次序对应相等即可判断数列是否为5阶可重复数列； （2）项数为的数列一定是3阶可重复数列，数列的每一项只可以是0或1，则连续3项共有8种不同的情况，分别讨论，，时情况可得结论； （3）由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是：“5阶可重复数列”，则存在，使得与按次序对应相等，或与按次序对应相等，经分析可得. 【小问1详解】 记数列①为，因为与按次序对应相等， 所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0，0，1，1，0; 记数列②为，因为、、、、、没有完全相同的， 所以不是“5阶可重复数列”. 【小问2详解】 因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形. 若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”；若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；则3≤m< 10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列. 所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是11. 【小问3详解】 由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是：“5阶可重复列”，即在数列的末项后再添加一项0或1，则存在，使得与按次序对应相等， 或与按次序对应相等， 如果与不能按次序对应相等， 那么必有，使得、与按次序对应相等. 此时考虑和，其中必有两个相同，这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列是“5阶可重复数列”，这和题设中数列不是“5阶可重复数列”矛盾； 所以与按次序对应相等，从而. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，因此理解新定义是解题的关键之一，同时需要使用分类讨论的思想与方法是关键点之二，其三本题推理过程中反证法思想的应用也是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大附中2025-2026学年第二学期6月诊断 高二数学 本试卷共6页，120分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则（ ） A. ：，，且为真命题 B. ：，，且为真命题 C. ：，，且为假命题 D. ：，，且为假命题 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则是（ ） A. 偶函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是增函数 C. 偶函数，且在上是减函数 D. 奇函数，且在上是减函数 5. 已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 6. 小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为（ ） A. B. C. D. 7. 设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则“”是“在上为单调函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 10. 已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______. 12. 已知，且，则_____． 13. 已知函数的定义域为，且，，．写出满足条件的一个函数解析式_____． 14. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 15. 若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得且； ③若，且为增函数，则； ④若，且为奇函数，为偶函数，则． 其中正确结论的序号是_____________． 三、解答题共4小题，共55分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的最大值与最小值. 17. 某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加10轮比赛，分数如下表： 轮次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． （1）若从以上10轮比赛中任选2轮，求这2轮均“稳定发挥”的概率； （2）假设甲再参加3轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率．记为甲在这3轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望； （3）假设选手乙参加10轮射击比赛，恰有8轮“稳定发挥”，从这十轮比赛中任选3轮，记为乙在这3轮比赛中“稳定发挥”的轮数，直接写出与的大小关系（用“>”、“=”或“<”连接，结论不要求证明）． 18. 已知函数的定义域为，，函数．对任意，曲线在点处的切线方程为． （1）证明：； （2）求的单调区间； （3）已知，求过点且与曲线相切的直线的条数． 19. 给定项数为的数列，其中.若存在一个正整数，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，例如数列.因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”. （1）分别判断下列数列 ①. ②. 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项； （2）若项数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由； （3）假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $