北京市北京中学2025-2026学年高二第二学期6月质量调研数学试题

**基本信息** 立足高二数学核心知识，融合传统糕点、电池衰减、企业招聘等真实情境，通过基础题（如集合运算）、能力题（如条件概率）、创新题（如“同形点”定义）三级梯度设计，考查数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/50|集合、函数奇偶性、概率|第5题象棋比赛概率，体现数学思维的逻辑性| |填空题|6/30|排列组合、二项式定理|第12题“京八件”选法，渗透文化传承情境| |解答题|5/70|函数单调性、统计分布、椭圆方程|第18题企业招聘数据统计分析，强化数学语言的应用；第21题“同形点”创新定义，发展数学眼光的抽象能力|

2025~2026学年度第二学期质量调研试题 高二年级数学 本试卷共8页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项.） 1. 已知全集，集合，则 A. B. C. D. 2. 已知是偶函数，则实数 A. B. C. D.2 3. 从4位男生，2位女生中选择3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位 女生入选，则不同安排方法的种数为 A.24 B.36 C.72 D.96 4. 为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点 A. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移2个单位，再向下平移2个单位 5. 甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用3 局2胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为 A. B. C. D. 6. 已知，则 A. B. C. D. 7. 已知，，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，。已知，，则电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加 （参考数据：，，） A.220 B.250 C.270 D.280 9. 设函数，若不等式的解集为，则 A. B. C. D. 10. 甲盒中有个红球，个白球和个黑球，乙盒中有个红球，个白球和个黑球。先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以，，表示由甲盒取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒中随机取出一球，以表示由乙盒取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 ①，，是两两互斥的事件； ②事件与事件相互独立； ③； ④。 A. ①② B. ①③ C. ②③ C. ③④ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．） 11．函数，则            . 12．“京八件”是北京最具有代表性的传统糕点，包括福字饼、禄字饼、寿字饼、喜字饼、太师饼、椒盐饼、枣花糕和萨其马，每种口味互不相同．某同学不喜欢萨其马，计划从其余7种糕点中任意选取5种品尝，每种最多选一个．则该同学不同的选法种数为            . 13．在的展开式中，含项的系数为            . 14．某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为            . 15．将函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的一个取值为            ，的最大值为            . 16．若集合，其中、…、为非空集合，，，则称集合为集合的一个划分．例如：集合、、均为集合的一个2划分．设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则对于、有： ① 中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ② 中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③ 中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④ 中的元素存在最大值，中的元素存在最小值； 对于以上四种情况，可能成立的序号有            . 三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17.（本小题满分12分） 已知函数，． （Ⅰ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定．求函数的零点； （Ⅱ）讨论函数的单调性． 条件①：函数的图象过点； 条件②：是函数的零点． 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18.（本小题满分13分） 某企业招聘员工，其中A，B，C，D，E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下： 岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例 A 269 167 62% 40 24 60% B 40 12 30% 202 62 31% C 177 57 32% 184 59 32% D 44 26 59% 38 22 58% E 3 2 67% 3 2 67% 总计 533 264 50% 467 169 36% （Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率； （Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2名男性和1名女性，记为这3人中被录用的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）表中A，B，C，D，E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位.（只需直接写出结论） 19.（本小题满分15分） 已知椭圆的一个顶点坐标为，且离心率为。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知直线与椭圆有两个不同的交点，，为轴上一点。是否存在实数， 使得以为直径的圆经过点，且？若存在，求出该直线的方程；若不存在， 说明理由。 20.（本小题满分15分） 已知函数. （Ⅰ）求函数在处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，恒成立； （Ⅲ）设函数的定义域为，求证：对，且，都有 . 21.（本小题满分15分） 对于正整数，，集合。给定 集合的一个子集，对于中的元素，若存在且，，使得集合 与的交集所含元素个数为或，则称为的一个“同形点”。 （Ⅰ）当时，写出集合的所有“同形点”； （Ⅱ）当只有一个元素时，求其“同形点”的个数； （Ⅲ）若的任意子集都有“同形点”，求的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $