北京市陈经纶中学2025-2026学年高二下学期六月学习诊断数学试题

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A D B C C C B 11．2 12．1 15 13．/0.5 2 14．（答案不唯一，取均可） 15．②④ 16．（1）； （2）分布列： X 0 1 2 3 P ； （3）． 【详解】（1）对8个门店的A，B收益，分别记为，（）满足的门店共3个（门店1、2、3），用频率估计概率得：； （2）X为抽取的3个门店中A收益高于B的个数，X服从超几何分布，X的可能取值为0，1，2，3， 总门店，符合条件的门店，抽取，； ，， ，， 分布列： X 0 1 2 3 P ． （3）． 设产品A收益的方差为，产品B收益的方差为， 由产品A的收益极差为，B的收益极差为， 从极差的显著大小关系可以估计其方差的显著大小关系，会显著大于． 因为，，， 线性组合的方差会向权重更大的变量“靠拢”，权重越大，整体方差越接近该变量的方差． 因此权重偏向y的方差最大，权重偏向x的方差最小，权重均等的的方差居中． 17．（1）0； （2）； （3）过点作的切线有2条． 【详解】（1）因为，则， 由题意可知：，解得， 若，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在取得极小值，所以符合题意， 所以的最小值为． （2）由（1）可知，即， 可知在定义域内单调递增，且， 不等式即为，可得， 所以不等式的解集为． （3）由题意可知：，可设，， 因为，解得，即， 则，符合题意， 即，， 设切点坐标为，则切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得， 整理可得， 设，则， 令，即，解得或： 令，即，解得： 可知在内单调递减，在，内单调递增， 则的极大值为，， 且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于； 由图象可知：有2个零点，所以过点作的切线有2条． 18．（1）； （2）分布列见解析，数学期望为2.4； （3） 【详解】（1）至少使用两种功能的学生数为，恰好使用三种功能的学生数为， 则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率． （2）抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为50，其中使用B功能的学生数为40，因此该校使用三种功能的学生中使用B功能的概率大约为， 由已知X的可能取值为0，1，2，3，且， ， ， ， ． X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． （3）由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150， 则Y的可能取值为0，1，2，3，4，，， ，，． 所以； Z的可能取值为0，1，2，3，4，，， ， ，． 所以，故． 19．（1）； （2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析． 【详解】（1）由题意可知在椭圆上，且由，可得， 联立方程，所以椭圆：． （2）（ⅰ）由题意可知直线不与x轴重合，设直线：， 点，，． ，，， ． 又因为，所以， （ⅱ）由题意可知过点A的切线和点B的切线分别为：，和， 联立方程． ，所以． 直线：，直线：， ， ，又由（ⅰ）可知，所以，即． 可得N为中点，所以，即． 20．（1）； （2）证明见解析； （3）． 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为1是的极值点，所以，即， 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意，所以． （2）当时，，记． ，令，有， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 从而，所以，即． （3）因为，， 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意； 当时，令，则， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是， 的最小值为， 当，即时，无零点，符合题意； 当时，有一个零点，不符合题意； 当时，，的最小值， 因为， 所以，使得，不符合题意； 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市陈经纶中学数学六月学习诊断 一、单选题本大题共10个小题，每小题5分，共50分． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知a，b，，则下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．在线教育平台部署了三款智能批改系统（甲、乙、丙），其批改一道数学题的正确率分别为90%、80%、70%．平台根据题目难度等级随机调用系统，调用甲、乙、丙的概率依次为0.5、0.3、0.2．现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（ ） A．0.81 B．0.82 C．0.83 D．0.84 4．“”是“函数（）在区间上单调递增”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（ ）． A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.2 6．某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 7．已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若函数的定义域内存在区间，且，则称函数存在一个“稳定区间”．下列说法错误的是（ ） A．存在“稳定区间”的一次函数存在且有无数个 B．存在“稳定区间”的二次函数存在且有无数个 C．对任意，函数都存在“稳定区间” D．存在，使函数存在“稳定区间” 9．如图，某花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，不同的种植方案种数为（ ） A．24 B．32 C．40 D．48 10．某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群数量N与时间t之间的关系可以由函数刻画，其中常数（）表示该种群数量的初始值，常数（）表示该种群环境容纳量，常数（）表示内禀增长率，函数的图象如下图所示． 给出下列三个结论： ①函数的导函数有最大值； ②存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形； ③对于任意的，有成立． 其中所有正确结论的序号是（ ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题6分，共30分． 11．已知命题p：，为假命题，写出a的一个值_____． 12．已知，则______；______． 13．已知m，n为正实数且满足，则的最大值是______，的最大值为______． 14．设函数若存在最小值，则a的一个取值为______，a的最小值为______． 15．已知函数，．给出下列四个结论： ①当时，在其定义域上为增函数； ②若在其定义域上没有极值点，则实数k的取值范围是； ③当时，有2个零点；④当时，存在过原点的曲线的切线． 其中所有正确结论的序号为______． 三、解答题：本大题共5个小题，共70分． 16．某连锁企业为了解两款产品A和B的收益情况，从所有门店中随机抽取8个门店，记录并整理这些门店同一季度的产品A，B的收益数据（单位：万元），如下表： 门店产品 1 2 3 4 5 6 7 8 A 5.8 7.2 8.5 9.5 11.2 11.9 12.9 13.7 B 3.7 5.7 7.9 9.6 13.2 15.1 17.9 19.5 用频率估计概率． （1）从该企业所有门店中随机抽取1个，估计这个门店产品A收益高于产品B收益的概率； （2）从表中的8个门店中随机抽取3个，记X为这3个门店中产品A收益高于产品B收益的门店个数，求X的分布列及数学期望； （3）这8个门店中，设门店（）的产品A，B的收益分别为，，记，， ，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，写出，，的大小关系．（结论不要求证明） 17．定义在上的函数在取得极小值．函数满足（其中是的导函数）且． （1）求的最小值； （2）解不等式； （3）若，求过点作的切线有多少条？ 18．随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用A，B，C，D四种功能的情况统计如下： 功能种数 性别 0种 1种 2种 3种 4种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用3种功能的人中，统计使用A，B，C，D的人次如下： 功能 A B C D 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率． （1）从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； （2）从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用B功能的人数为X人，求X的分布列和期望； （3）从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为Y，Z，试比较Y，Z期望的估计值，的大小（结论不要求证明）． 19．若椭圆：（，）上一点处的切线方程为．已知椭圆：（，），P，Q分别为左、右顶点且离心率．直线l过交椭圆C于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，． （1）求椭圆C的方程； （2）连接，，，并过A，B两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点D，过D作的平行线交于M点，直线（O为坐标原点）交直线于点N，直线和直线的斜率分别为和，N，B两点横坐标分别为，． 证明（i）为定值；（ii）为定值． 20．已知函数，． （1）若1是的极值点，求实数a的值； （2）若，求证：； （3）已知函数在上无零点，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $