第11讲 整式的加减 暑假衔接讲练 2026--2027学年苏科版数学七年级上册

第11讲 整式的加减 知识点一：同类项 一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项(like terms). 知识点二：合并同类项 1.概念：代数式中的字母表示的是数，因此数的运算律也适用于代数式，根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项（unitelike terms). 2.法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. 3.合并同类项的一般步骤： 一找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面做上相同的标记，注意没有同类项的项，仍作为多项式的项； 二移：利用加法交换律把同类项放在一起，在交换位置时，连同项的符号一起交换； 三并：利用合并同类项的法则合并同类项，系数相加，字母及其指数不变； 四写：写出合并后的结果. 知识点三：去括号 1．去括号法则 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加，如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 2.依据：分配律 a(b+c)=ab+ac. 3.多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 知识点四：整式的加减运算 1.整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”，在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做. 题型一：同类项 【典例精讲】（2026•惠山区模拟）下列各组代数式中，属于同类项的是（　　） A．2x2y与2xy B．与﹣2xy C．3x与3xy D．2x2与2y2 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、所含字母不相同，不是同类项； D、所含字母不相同，不是同类项； 故选：B． 【变式训练1】（2026•长沙校级模拟）下列各组代数式中，属于同类项的是（　　） A．2x2y与2xy2 B．与﹣2xy C．3x与3xy D．2x2与2y2． 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式为同类项． 【解答】解：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式为同类项．则： A、2x2y与2xy2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； B、与﹣2xy所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，是同类项，符合题意； C、3x与3xy所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、2x2与2y2所含字母不同，不是同类项，不符合题意． 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•襄州区期末）下列各组单项式中，是同类项的是（　　） A．2x2y与2xy2 B．3xy与﹣2yx C．2x与2x2 D．5xy与5yz 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、相同字母的指数不相同，不是同类项； D、所含字母不相同，不是同类项； 故选：B． 题型二：由同类项的定义求参数 【典例精讲】（2025秋•分宜县期末）已知与﹣2a2bn是同类项，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5 【分析】根据同类项的定义直接得出m、n的值． 【解答】解：由同类项的定义可知m＝2，n＝3， ∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1． 故选：C． 【变式训练1】（2026春•福田区校级期中）若x2a﹣5b与为同类项，则4a﹣10b+6的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知2a﹣5b＝2， 解得b， ∴4a﹣10b+610． 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•应县期末）如果单项式﹣3xym与﹣xny2是同类项，那么m+n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据同类项中相同字母的指数相等，求出m和n的值． 【解答】解：根据题意可知，相同字母的指数相等，即n＝1，m＝2， ∴m+n＝2+1＝3． 故选：D． 题型三：合并同类项 【典例精讲】（2026•恩平市二模）下列合并同类项，结果正确的是（　　） A．5x2﹣3x2＝2 B．x2+x2＝x4 C．3a+2b＝5ab D．ab2﹣3b2a＝﹣2ab2 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、5x2﹣3x2＝2x2≠2，故A错误； B、x2+x2＝2x2≠x4，故B错误； C、3a+2b≠5ab，故C错误； D、ab2﹣3b2a＝﹣2ab2，故D正确． 故选：D． 【变式训练1】（2026•新兴县一模）若单项式﹣xy2a与9x2b+3y6可以合并，则2a﹣b3的值为（　　） A．7 B．4 C．5 D．﹣3 【分析】根据已知条件判断单项式﹣xy2a与9x2b+3y6是同类项，从而列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，最后代入进行计算即可． 【解答】解：∵单项式﹣xy2a与9x2b+3y6可以合并， ∴单项式﹣xy2a与9x2b+3y6是同类项， ∴2b+3＝1，2a＝6， 解得：a＝3，b＝﹣1， 2a﹣b3 ＝2×3﹣（﹣1）3 ＝6+1 ＝7， 故选：A． 【变式训练2】（2026•蓬江区模拟）下列计算正确的是（　　） A．2a2﹣3a2＝﹣a2 B．（﹣3）2＝6 C．6a3+4a4＝10a7 D．3a2b﹣3b2a＝0 【分析】选项A、C、D关键合并同类项法则判断即可，选项B根据有理数的乘方的定义判断即可． 【解答】解：A．2a2﹣3a2＝﹣a2，故本选项符合题意； B．（﹣3）2＝9，故本选项不符合题意； C．6a3与4a4不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意； D．a2b与﹣3b2a不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意． 故选：A． 题型四：去括号 【典例精讲】（2025秋•浏阳市期末）下列各式中，去括号正确的是（　　） A．a2﹣（3a﹣b+c）＝a2﹣3a﹣3b+3c B．a﹣（2x+4y﹣1）＝a﹣2x﹣4y+1 C．3x﹣（2y+1）＝3x﹣2y+1 D．﹣2x﹣y﹣（a+1）＝﹣2x﹣y﹣a+1 【分析】根据去括号的法则直接求解即可． 【解答】解：A、a2﹣（3a﹣b+c）＝a2﹣3a+b﹣c≠a2﹣3a﹣3b+3c，错误； B、a﹣（2x+4y﹣1）＝a﹣2x﹣4y+1，正确； C、3x﹣（2y+1）＝3x﹣2y﹣1≠3x﹣2y+1，错误； D、﹣2x﹣y﹣（a+1）＝﹣2x﹣y﹣a﹣1≠﹣2x﹣y﹣a+1，错误． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•恩施市期末）去括号等于a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（b+c） B．a﹣（b﹣c） C．a+（b﹣c） D．a+（b+c） 【分析】把四个选项按照去括号的法则依次去括号即可． 【解答】解：A．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故本选项不合题意； B．a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，故本选项正确 C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故本选项不合题意； D．a+（b+c）＝a+b+c，故本选项不合题意； 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•雨花区期末）下列各式去括号正确的是（　　） A．﹣（2x+y）＝﹣2x+y B．3x﹣（2y+z）＝3x﹣2y﹣z C．x﹣（﹣y）＝x﹣y D．2（x﹣y）＝2x﹣y 【分析】直接利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反分别判断得出答案． 【解答】解：A、﹣（2x+y）＝﹣2x﹣y，原去括号错误，故此选项不符合题意； B、3x﹣（2y+z）＝3x﹣2y﹣z，原去括号正确，故此选项符合题意； C、x﹣（﹣y）＝x+y，原去括号错误，故此选项不符合题意； D、2（x﹣y）＝2x﹣2y，原去括号错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 题型五：添括号 【典例精讲】（2026•栾城区校级开学）下列各式中添括号正确的是（　　） A．﹣x﹣3y＝﹣（x﹣3y） B．2x﹣y＝﹣（2x+y） C．2m﹣m2＝2m（1﹣m） D．3﹣4x＝﹣（4x﹣3） 【分析】根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【解答】解：选项A、﹣x﹣3y＝﹣（x+3y）≠﹣（x﹣3y），则选项A错误； 选项B、2x﹣y＝﹣（﹣2x+y）≠﹣（2x+y），则选项B错误； 选项C、2m﹣m2＝m（2﹣m）≠2m（1﹣m），则选项C错误； 选项D、3﹣4x＝﹣（4x﹣3），变形符合添括号法则，则选项D正确． 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•曾都区期末）下列添括号正确的是（　　） A．a+b﹣c＝a﹣（b﹣c） B．a﹣b﹣c＝a﹣（b+c） C．a﹣b+c＝a﹣（b+c） D．a+b+c＝a﹣（b﹣c） 【分析】根据添括号法则计算． 【解答】解：A、a+b﹣c≠a﹣（b﹣c），故A错误； B、a﹣b﹣c，故B正确； C、a﹣b+c≠a﹣（b+c），故C错误； D、a+b+c≠a﹣（b﹣c），故D错误． 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•洛阳期末）下列各式添括号后正确的是（　　） A．a﹣b+c＝a﹣（b﹣c） B．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c） C．a+b﹣c＝a﹣（b+c） D．a+b+c＝a+（b﹣c） 【分析】直接利用添括号法则判断得出答案． 【解答】解：A、a﹣b+c＝a﹣（b﹣c），正确； B、a﹣b﹣c＝a﹣（b+c），故此选项错误； C、a+b﹣c＝a﹣（﹣b+c），故此选项错误； D、a+b+c＝a+（b+c），故此选项错误； 故选：A． 题型六：整式加减 【典例精讲】（2025秋•东海县期末）计算： （1）（﹣7）+（+5）﹣（﹣3）+（﹣6）； （2）； （3）4a2+3b2﹣2ab﹣3a2+b2； （4）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2）． 【分析】（1）去括号，再算加减即可； （2）先算乘方，乘除，再算加减即可； （3）合并同类项即可； （4）去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣7+5+3﹣6 ＝﹣5； （2）原式 ； （3）原式＝（4a2﹣3a2）+（3b2+b2）﹣2ab ＝a2+4b2﹣2ab； （4）原式＝3x2+4﹣5x3﹣x3+3﹣3x2 ＝﹣6x3+7． 【变式训练1】（2025秋•南充校级月考）化简： （1）3（﹣a2b+2ab2）﹣2（3ab2﹣a2b）； （2）． 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）3（﹣a2b+2ab2）﹣2（3ab2﹣a2b） ＝﹣3a2b+6ab2﹣6ab2+2a2b ＝﹣a2b； （2）原式＝xy2﹣（x+3y+xy2﹣3x） ＝xy2﹣x﹣3y﹣xy2+3x ＝2x﹣3y． 【变式训练2】（2025秋•江北区校级期末）化简： （1）5xy﹣3x+2x﹣2xy； （2）． 【分析】（1）通过合并同类项化简； （2）先去括号，再合并同类项化简． 【解答】解：（1）5xy﹣3x+2x﹣2xy ＝（5xy﹣2xy）+（﹣3x+2x） ＝3xy﹣x； （2）5x2﹣xy2+2 ＝5x2﹣xy2﹣3xy2+2x2 ＝7x2﹣4xy2． 题型七：不含某一项 【典例精讲】（2026•石家庄校级模拟）化简3x2﹣xy+mx2+2xy时，琳琳将m看成了它的相反数，最终她的化简结果不含x2项，则正确的化简结果为（　　） A．xy B．﹣3xy C．6x2﹣3xy D．6x2+xy 【分析】先合并同类项，确定x2项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【解答】解：由条件可知琳琳的计算过程为：3x2﹣xy﹣mx2+2xy＝（3﹣m）x2﹣xy+2xy， ∴m﹣3＝0， ∴m＝3， ∴正确的化简结果为3x2﹣xy+3x2+2xy＝6x2+xy， 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•金湾区期末）已知关于x的多项式﹣2x3+（3+a）x2﹣6x+3不含x2项，那么a的值（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】根据多项式不含某一项，即这项的系数为0，由此计算即可． 【解答】解：∵关于x的多项式﹣2x3+（3+a）x2﹣6x+3不含x2项， ∴3+a＝0， ∴a＝﹣3， 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•张家口期末）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含ab项，则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 【分析】将多项式展开并合并同类项，令ab项的系数为零，求解m． 【解答】解：将多项式展开并合并同类项可得： 原式＝3a2﹣6ab+3b2﹣2a2+mab﹣2b2＝a2+（﹣6+m）ab+b2， 由条件可知﹣6+m＝0， ∴m＝6． 故选：D． 题型八：无关问题 【典例精讲】（2025秋•榆树市期末）若代数式（2x2+ax+6）﹣（2bx2﹣3x﹣1）（a，b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式a+2b的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．2或﹣2 D．6 【分析】直接利用合并同类项法则以及代数式求值运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵代数式（2x2+ax+6）﹣（2bx2﹣3x﹣1）（a，b为常数）的值与字母x的取值无关， ∴（2x2+ax+6）﹣（2bx2﹣3x﹣1） ＝2x2+ax+6﹣2bx2+3x+1 ＝（2﹣2b）x2+（a+3）x+7， 则2﹣2b＝0，a+3＝0， 解得：b＝1，a＝﹣3， 则代数式a+2b的值为：﹣3+2＝﹣1． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•冷水滩区期末）已知多项式3mx2﹣3y2+5﹣12x2+y的值与字母x的取值无关，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．3 D．12 【分析】先合并同类项，再根据多项式的值与x无关，则含x的项的系数之和为零，由此计算即可得出结果． 【解答】解：3mx2﹣3y2+5﹣12x2+y＝（3m﹣12）x2﹣3y2+y+5， 由条件可知3m﹣12＝0， 解得：m＝4， 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•高青县期末）已知A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，若A+2B的值与a的取值无关，则b的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】将A+2B化为（5b﹣2）a﹣3，即可得5b﹣2＝0，求出b的值即可． 【解答】解：A+2B ＝2a2+3ab﹣2a﹣1+2（﹣a2+ab﹣1） ＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2a2+2ab﹣2 ＝5ab﹣2a﹣3 ＝（5b﹣2）a﹣3， ∵A+2B的值与a的取值无关， ∴5b﹣2＝0， 解得b． 故选：C． 题型九：整式加减与几何图形的周长 【典例精讲】（2026春•上城区校级期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是　4n ． 【分析】先列出算式，再利用整式加减化简，然后代入求值． 【解答】解：设小长方形卡片的长为acm，宽为bcm， 则下面的阴影的周长为2（m﹣2b+n﹣2b）cm， 上面的阴影的周长为2（n﹣a+m﹣a）cm， 所以两块阴影部分的周长和为2（m﹣2b+n﹣2b）+2（n﹣a+m﹣a） ＝4m+4n﹣4（a+2b）（cm）． 因为a+2b＝m， 所以图②中两块阴影部分的周长和是4m+4n﹣4（a+2b） ＝4n（cm）， 故答案为：4n． 【变式训练1】（2025秋•相城区校级月考）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为2cm，下列说法中正确的有　①③④　 ． ①小长方形的较长边为y﹣6； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+2； ③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长之差为定值； ④当y＝10时，阴影B的周长比阴影A的周长多4cm． 【分析】根据题目中图形，用x或y表示有关的线段，再逐项判断即可． 【解答】解：长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为2cm， 小长方形的较长边为y﹣3×2＝y﹣6，故①正确； 阴影A的较短边长度为：x﹣2×2＝x﹣4， 阴影B的较短边长度为：x﹣（y﹣6）＝x﹣y+6， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为：x﹣4+x﹣y+6＝2x﹣y+2，故②错误； 阴影A和阴影B的周长之差为：2（x﹣4+y﹣6）﹣2（3×2+x﹣y+6）＝4y﹣44， ∴若y为定值，则阴影A和阴影B的周长之差为定值，故③正确； 当y＝10时，阴影A和阴影B的周长之差为：4×10﹣44＝﹣4（cm）， ∴阴影B的周长比阴影A的周长多4cm．故④正确． 故答案为：①③④． 【变式训练2】（2025秋•大兴区期中）如图所示，世界上第一个完美长方形恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y．用含x，y的代数式表示8号正方形的边长为 　7y﹣4x ． 【分析】由已知条件，先求得3号的边长，再求得4号的边长，然后求得5号的边长，接着求得6号的边长及7号的边长，继而求得10号的边长，最后求得8号的边长即可． 【解答】解：已知标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y， 则3号的边长为x+y， 4号的边长为y+x+y＝x+2y， 5号的边长为y+x+2y＝x+3y， 6号的边长为x+2y+x+3y﹣x﹣（x+y）＝4y， 7号的边长为4y﹣x， 10号的边长为4y﹣x﹣x﹣（x+y）＝3y﹣3x， 8号的边长为4y﹣x+3y﹣3x＝7y﹣4x， 故答案为：7y﹣4x． 题型十：整式加减中新定义问题 【典例精讲】（2025秋•重庆期中）一个四位自然数M的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d，其中a、b、c、d互不相同且均不为0，小明发现部分M满足，他称这样的四位数为“小明数”．例如：四位数3762，因为37+62＝99，3762是“小明数”．最大的“小明数”是　8712　 ；去掉十位数字c得到新三位数M′，则满足为正整数的最小“小明数”是　1287　 【分析】根据题意可知最大的“小明数”千位为8，进而得出c＝1根据a、b、c、d互不相同且均不为0，得出b＝7，d＝2；根据题意c＝9﹣a，d＝9﹣b，M′＝100a+10b+d，代入，结合其结果为正整数，进而得出6a+8b+8能被10整除，然后分类讨论，即可求解． 【解答】解：①一个四位自然数M的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d，其中a、b、c、d互不相同且均不为0，小明发现部分M满足，他称这样的四位数为“小明数”． ∵， ∴10a+b+10c+d＝99， ∴a+c＝9，b+d＝9， 由题意可得：a＝8时，M最大， ∴c＝1， ∴b＝7，d＝2， ∴最大的“小明数”是8712； ②M为四位数，则M＝1000a+100b+10c+d， ∵去掉十位数字c得到新三位数M′， ∴M′＝100a+10b+d， ∵a+c＝9，b+d＝9， ∴c＝9﹣a，d＝9﹣b， ∴M+M′﹣4a＝1000a+100b+10c+d+100a+10b+d﹣4a＝1096a+110b+10c+2d， 代入c＝9﹣a，d＝9﹣b，则1096a+110b+10（9﹣a）+2（9﹣b）＝1086a+108b+108， ∵为正整数，， ∴6a+8b+8能被10整除， 设6a+8b+8＝10k 当k＝1时，6a+8b＝2，无正整数解， 当k＝2时，6a+8b＝12，无正整数解， 当k＝3时，6a+8b＝22，当a＝1，b＝2时，满足条件，此时M最小， ∴c＝9﹣a＝9﹣1＝8，d＝9﹣b＝9﹣2＝7， 则满足为正整数的最小“小明数”是1287． 故答案为：1287． 【变式训练1】（2026•河西区校级开学）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝a﹣2b，例如：2⊕3＝2﹣2×3＝﹣4． （1）求﹣3⊕2的值； （2）先化简，再求值：（x﹣2y）⊕（x+2y），其中x＝﹣1，y＝2． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，再代入x，y，然后代入计算即可． 【解答】解：（1）由题意得： ﹣3⊕2 ＝﹣3﹣2×2 ＝﹣7； （2）（x﹣2y）⊕（x+2y） ＝（x﹣2y）﹣2（x+2y） ＝x﹣2y﹣2x﹣4y ＝﹣x﹣6y， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝﹣（﹣1）﹣6×2＝﹣11． 【变式训练2】（2025秋•海沧区校级期末）对于有理数a，b，规定一种新的运算：a※b＝5a﹣3b． 例如，2※6＝5×2﹣3×6＝﹣8． （1）计算：（﹣4）※7； （2）若（2m﹣1）※（mn+3）的值与m的取值无关，求n的值． 【分析】（1）根据规定的新运算列式计算即可； （2）根据规定的新运算列式计算，再根据题意列得关于n的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）（﹣4）※7＝5×（﹣4）﹣3×7 ＝﹣20﹣21 ＝﹣41； （2）（2m﹣1）※（mn+3）＝5（2m﹣1）﹣3（mn+3） ＝10m﹣5﹣3mn﹣9 ＝10m﹣3mn﹣14 ＝（10﹣3n）m﹣14， ∵（2m﹣1）※（mn+3）的值与m的取值无关， ∴10﹣3n＝0， 解得：n． 题型十一：先化简再求值 【典例精讲】（2026春•江北区校级月考）先化简，再求值：，其中|a﹣2|+（b+1）2＝0． 【分析】先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将值代入计算即可． 【解答】解： ＝3a2b﹣6b2+6ab﹣6ab﹣3a2b+4b3 ＝4b3﹣6b2， ∵|a﹣2|+（b+1）2＝0， ∴a＝2，b＝﹣1， ∴原式＝4×（﹣1）3﹣6×（﹣1）2＝﹣10． 【变式训练1】（2026春•长春期中）先化简，再求值：2ab2﹣3a2b﹣2（a2b﹣ab2），其中，． 【分析】先去括号，再合并同类项，然后再代值求解即可． 【解答】解：2ab2﹣3a2b﹣2（a2b﹣ab2） ＝2ab2﹣3a2b﹣2a2b+2ab2 ＝4ab2﹣5a2b， 将，代入得： 原式 ． 【变式训练2】（2026春•清水县校级月考）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a，b． 【分析】根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【解答】解：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b） ＝15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣3a2b ＝12a2b﹣6ab2 当a，b时， 原式＝1261． 题型十二：整体思想 【典例精讲】（2026春•肇源县月考）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式5a+3b的值为3，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式＝2 a+2 b+8 a+4 b＝10 a+6 b． 我们把5a+3b看成一个整体，把式子5 a+3 b＝3两边乘2，得10 a+6 b＝6． 【方法运用】 （1）若a2﹣2a＝2，则3a2﹣6a+1的值为　7　 ； （2）若m+n＝2，mn＝﹣1，求3（2mn﹣m）﹣（3n﹣mn）的值． 【分析】（1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可． 【解答】解：（1）∵a2﹣2a＝2， ∴原式＝3（a2﹣2a）+1 ＝3×2+1 ＝6+1 ＝7． 故答案为：7； （2）∵m+n＝2，mn＝﹣1， ∴原式＝6 mn﹣3 m﹣3 n+mn ＝7mn﹣3（m+n） ＝7×（﹣1）﹣3×2 ＝﹣7﹣6 ＝﹣13． 【变式训练1】（2026•达州校级开学）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如上图是苏科版教材七年级上册数学教材的部分内容． （1）【问题解决】根据上述方法，请把（a+b）和（x+y）各看成一个整体，对下列各式进行化简，直接写出结果： ①4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝　5（a+b ； ②3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）＝　11（x+y）2﹣（x+y）　 ． （2）【简单应用】 ①已知m2+2m＝5，则2m2+4m﹣9＝　1　 ； ②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值； （3）【拓展提高】 已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式6m2+10mn﹣24n2的值． 【分析】（1）把（a+b）看成一个整体直接合并同类项即可； ②把（x+y）看成一个整体直接合并同类项即可； （2）①将m2+2m＝5整体代入计算； ②将（m+n）看成一个整体后化简，并将m+n＝7代入计算； （3）将6m2+10mn﹣24n2变为6（m2+3mn）﹣8（mn+3n2），再将m2+3mn＝2，mn+3n2＝1整体代入计算即可． 【解答】解：（1）①4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝5（a+b）． 故答案为：5（a+b）； ②原式＝3（x+y）2+8（x+y）2﹣7（x+y）+6（x+y） ＝11（x+y）2﹣（x+y）． 故答案为：11（x+y）2﹣（x+y）； （2）①∵m2+2m＝5， ∴2m2+4m﹣9 ＝2（m2+2m）﹣9 ＝2×5﹣9 ＝1． 故答案为：1； ②∵m+n＝7， ∴原式＝9（m+n）﹣6（m+n）+3 ＝3（m+n）+3 ＝3×7+3 ＝24； （3）原式＝6m2+18mn﹣8mn﹣24n2＝6（m2+3mn）﹣8（mn+3n2）， ∵m2+3mn＝2，mn+3n2＝1， ∴6（m2+3mn）﹣8（mn+3n2） ＝6×2﹣8×1 ＝4． 【变式训练2】（2025秋•黔东南州期末）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为　5　 ． 【阅读理解】小明在解答该题时采用的方法如下：由题意，得x2+x+3＝7，则有x2+x＝4，2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式x2+x+2的值为10，求代数式﹣2x2﹣2x+7的值． （2）若x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为7，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+2的值． 【拓展应用】 （3）若10m﹣14n＝﹣5，mn＝﹣1，求5（m﹣n）﹣2（n﹣mn）的值． 【分析】（1）仿照题干，利用整体代入法进行求值即可； （2）把x＝2代入ax3+bx+1得到8a+2b＝6，再把x＝﹣2和8a+2b＝6代入计算即可； （3）去括号，合并同类项，再利用整体代入法求值即可． 【解答】解：（1）由条件可知x2+x+2＝10， ∴x2+x＝8， ∴﹣2x2﹣2x+7＝﹣2（x2+x）+7＝﹣2×8+7＝﹣9； （2）∵当x＝2时，ax3+bx+1＝8a+2b+1＝7， ∴8a+2b＝6， ∴当x＝﹣2时，ax3+bx+2＝﹣8a﹣2b+2＝﹣（8a+2b）+2＝﹣6+2＝﹣4； （3）∵10m﹣14n＝﹣5，mn＝﹣1， ∴， ∴原式＝5m﹣5n﹣2n+2mn ＝5m﹣7n+2mn ． 题型十三：遮挡问题 【典例精讲】（2025秋•兰州期末）小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为M． 2（x﹣5）﹣（）＝x2+8x﹣7 （1）求多项式M； （2）已知N＝2x2+3ax，若M+N的结果中不含x的一次项，求a的值． 【分析】（1）由题意可得M＝2（x﹣5）﹣（x2+8x﹣7），再计算即可； （2）先合并同类项得到M+N＝﹣x2﹣6x﹣3+2x2+3ax＝x2+（3a﹣6）x﹣3，结合M+N的结果中不含x的一次项，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得M＝2（x﹣5）﹣（x2+8x﹣7） ＝2x﹣10﹣x2﹣8x+7 ＝﹣x2﹣6x﹣3； （2）∵N＝2x2+3ax，M＝﹣x2﹣6x﹣3， ∴M+N＝﹣x2﹣6x﹣3+2x2+3ax＝x2+（3a﹣6）x﹣3， ∵M+N的结果中不含x的一次项， ∴3a﹣6＝0， 解得a＝2． 【变式训练1】（2025秋•息县期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，小明不小心擦掉了一块，小亮说他记得小明擦掉的部分是一个二次三项式，黑板上剩下的过程为： 3（x﹣2）﹣ ＝x2+9x﹣7 （1）求所挡住的二次三项式； （2）若，求所挡住的二次三项式的值． 【分析】（1）根据整式的加减计算法则只需要计算出x2﹣5x+1+3x＝x2﹣2x+1的结果即可； （2）把x＝2代入（1）所求式子中进行求解即可． 【解答】解：（1）由已知得所挡住的式子为：3（x﹣2）﹣（x2+9x﹣7） ＝3x﹣6﹣x2﹣9x+7 ＝﹣x2﹣6x+1， 即所捂的二次三项式是﹣x2﹣6x+1； （2）当时，． 【变式训练2】（2025秋•萧县期末）某数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式如下： +（2a2﹣4ab﹣2b2）＝a2﹣2b2． （1）求所捂的多项式； （2）求所捂的多项式与﹣2a的差． 【分析】（1）用a2﹣2b2﹣（2a2﹣4ab﹣2b2），进行计算即可； （2）根据整式的加减法则进行计算即可． 【解答】解：（1）a2﹣2b2﹣（2a2﹣4ab﹣2b2） ＝a2﹣2b2﹣2a2+4ab+2b2 ＝﹣a2+4ab； （2）﹣a2+4ab﹣（﹣2a）＝﹣a2+4ab+2a． ∴所捂的多项式与﹣2a的差为﹣a2+4ab+2a． 题型十四：比较大小 【典例精讲】（2025秋•潮南区期末）作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较﹣2和﹣5的大小，因为﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3＞0，所以﹣2＞﹣5．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题： （1）比较2x+5和2x+7的大小； （2）比较5x2﹣4x﹣3和的大小． 【分析】（1）计算2x+5﹣（2x+7）＝2x+5﹣2x﹣7＝﹣2，判断差的符号解答即可； （2）计算，判断差的符号解答即可． 【解答】解：（1）2x+5﹣（2x+7） ＝2x+5﹣2x﹣7 ＝﹣2， 因为﹣2＜0， 所以2x+5＜2x+7； （2） ＝5x2﹣4x﹣3+4x+6 ＝5x2+3， 因为x2≥0， 所以5x2≥0， 所以5x2+3＞0， 所以． 【变式训练1】（2026春•青秀区校级月考）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． （1）分别求出图1中长方形的周长C1和图2中长方形的周长C2； （2）若a＞b，请用“作差法”比较C1，C2的大小． 【分析】（1）根据矩形的周长公式列代数式，再化简即可； （2）用作差法进行比较即可． 【解答】解：（1）C1＝2（a+2b﹣c+3a﹣b） ＝2（4a+b﹣c） ＝8a+2b﹣2c， C2＝2（2a+b﹣2c+a+b+c） ＝2（3a+2b﹣c） ＝6a+4b﹣2c． （2）C1﹣C2 ＝（8a+2b﹣2c）﹣（6a+4b﹣2c） ＝8a+2b﹣2c﹣6a﹣4b+2c ＝2a﹣2b ＝2（a﹣b）， ∵a＞b， ∴2（a﹣b）＞0， ∴C1﹣C2＞0 ∴C1＞C2． 【变式训练2】（2025秋•泉州期中）已知：2M﹣N＝3a2+2ab，M＝﹣a2+2ab﹣3． （1）求N（用含a、b的代数式表示）； （2）比较M与N的大小． 【分析】（1）根据整式的加减运算即可求出答案． （2）化简M﹣N后，再与0比较大小即可求出答案． 【解答】解：（1）∵2M﹣N＝3a2+2ab，M＝﹣a2+2ab﹣3， ∴2（﹣a2+2ab﹣3）﹣N＝3a2+2ab， ∴N＝﹣2a2+4ab﹣6﹣3a2﹣2ab ＝﹣5a2+2ab﹣6； （2）∵M﹣N＝﹣a2+2ab﹣3﹣（﹣5a2+2ab﹣6） ＝﹣a2+2ab﹣3+5a2﹣2ab+6 ＝4a2+3， ∵a2≥0， ∴4a2+3＞0 ∴M＞N． 题型十五：错解问题 【典例精讲】学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个多项式A，B，其中B＝3mx2﹣2mx+x+2，求A+B．某同学把“A+B”误看成“A﹣B”，结果求出的答案为6mx2+4mx﹣2x﹣1． （1）请你帮这位同学求出A+B的正确答案； （2）当x取任意数值时，A﹣3B的值是一个定值，求m的值． 【分析】（1）根据题目进行计算化简，即可作答； （2）先得出A﹣3B＝8mx﹣4x﹣5，结合当x取任意数值时，A﹣3B的值是一个定值，故8m﹣4＝0，即可作答． 【解答】解：（1）因为B＝3mx2﹣2mx+x+2， A﹣B＝6mx2+4mx﹣2x﹣1， ∴A+B＝（A﹣B）+2B， ＝6mx2+4mx﹣2x﹣1+2（3mx2﹣2mx+x+2） ＝6mx2+4mx﹣2x﹣1+6mx2﹣4mx+2x+4 ＝12mx2+3； （2）A﹣3B＝A+B﹣4B ＝12mx2+3﹣4（3mx2﹣2mx+x+2） ＝12mx2+3﹣12mx2+8mx﹣4x﹣8 ＝8mx﹣4x﹣5 ＝（8m﹣4）x﹣5， 因为当x取任意数值时，A﹣3B的值是一个定值， 所以8m﹣4＝0， 解得m＝0.5． 【变式训练1】（2025秋•台江区校级期中）小马虎由于粗心，把原题“两个多项式A和B，其中B＝4x2﹣5x﹣6，求A﹣2B”中的“A﹣2B”错误地看成“A+2B”，结果求出的答案是﹣7x2+10x+12，求出正确的A﹣2B． 【分析】由题意可知，B＝4x2﹣5x﹣6，A+2B＝﹣7x2+10x+12，先求出A＝﹣15x2+20x+24，再求出A﹣2B即可． 【解答】解：由题意可知，B＝4x2﹣5x﹣6，A+2B＝﹣7x2+10x+12， 则A＝﹣7x2+10x+12﹣2（4x2﹣5x﹣6）＝﹣15x2+20x+24 那么A﹣2B＝﹣15x2+20x+24﹣2（4x2﹣5x﹣6） ＝﹣15x2+20x+24﹣8x2+10x+12 ＝﹣23x2+30x+36． 【变式训练2】（2025秋•南海区期中）已知两个多项式A和B，其中B＝m2+mn，小明在计算A﹣B时，把A﹣B误看成A+B，结果求出答案为3m2﹣5mn﹣2m+3． （1）求多项式A； （2）求出A﹣B的正确答案． 【分析】（1）因为A+B＝3m2﹣5mn﹣2m+3，因为B＝m2+mn，所以A＝3m2﹣5mn﹣2m+3﹣B，代入计算即可； （2）根据（1），求出A﹣B即可． 【解答】解：（1）因为B＝m2+mn， A＝3m2﹣5mn﹣2m+3﹣（m2+mn） ＝3m2﹣5mn﹣2m+3﹣m2﹣mn ＝2m2﹣6mn﹣2m+3； （2）A﹣B ＝2m2﹣6mn﹣2m+3﹣（m2+mn） ＝2m2﹣6mn﹣2m+3﹣m2﹣mn ＝m2﹣7mn﹣2m+3． 一、选择题 1．（2026•长沙一模）用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题按照题目描述的运算顺序，逐步拆解列出代数式，先计算倍数，再计算差，最后计算差的一半即可得到结果． 【解答】解：∵a的3倍可表示为 3a， ∴a的3倍与b的差可表示为 3a﹣b， ∴上述差的一半可表示为 ， 则用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为． 故选：B． 2．（2026•怀宁县开学）如果和﹣3x3yb是同类项，那么代数式a﹣2b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．﹣5 【分析】根据同类项的定义，两个单项式所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，则x的指数相等，y的指数相等，列出方程求解a和b，然后代入a﹣2b计算即可． 【解答】解：由题意得：a+2＝3，b＝3， ∴a＝1，b＝3， 当a＝1，b＝3时， ∴原式＝1﹣2×3 ＝1﹣6 ＝﹣5． 故选D． 3．（2025秋•鸡西期末）下列计算正确的是（　　） A．2a+5b＝7ab B．6x3﹣2x＝4x2 C．xy2+3xy2＝4xy2 D．9ab﹣8ab＝1 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、2a+5b≠7ab，故A错误； B、6x3﹣2x≠4x2，故B错误； C、xy2+3xy2＝4xy2，故C正确； D、9ab﹣8ab＝ab≠1，故D错误． 故选：C． 4．（2025秋•洛阳期末）若单项式3am﹣2b2与的和仍是单项式，则mn的值是（　　） A．3 B．6 C．25 D．32 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m﹣2＝3，n＝2， 解得m＝5，n＝2， ∴mn＝52＝25． 故选：C． 5．（2025秋•临漳县期末）下列去括号正确的是（　　） A．+（a﹣b+c）＝a+b+c B．+（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c C．﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c D．﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b+c 【分析】各项利用去括号法则计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、+（a﹣b+c）＝a﹣b+c，本选项错误； B、+（a﹣b+c）＝a﹣b+c，本选项错误； C、﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c，本选项正确； D、﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c，本选项错误， 故选：C． 6．（2025秋•乌兰浩特市期末）多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的和不含二次项，则m为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】先把两多项式的二次项相加，令x的二次项为0即可求出m的值． 【解答】解：∵多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3相加后不含x的二次项， ∴﹣8x2+2mx2＝（2m﹣8）x2， ∴2m﹣8＝0， 解得m＝4． 故选：C． 7．（2025秋•市南区期末）已知A＝2x2+ax﹣7，．当A﹣4B的值与x无关时，a+b的值为（　　） A．6.5 B．﹣6.5 C．﹣5.5 D．5.5 【分析】先代入计算A﹣4B的表达式并合并同类项，再根据“多项式的值与x无关则含x的项的系数为0”的性质求出a、b的值，最后计算a+b即可． 【解答】解：∵A＝2x2+ax﹣7，， ∴ ＝（2﹣4b）x2+（a+6）x+3 ∵A﹣4B的值与x无关， ∴含x的项的系数为0，即， 解得：b＝0.5，a＝﹣6， ∴a+b＝﹣6+0.5＝﹣5.5， 故选：C． 8．（2026•五华区校级三模）有一列按规律排列的代数式：b，2b﹣a，3b﹣2a，4b﹣3a，5b﹣4a，…，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第10个代数式是（　　） A．10b﹣9a B．9b﹣10a C．10a﹣9b D．9a﹣10b 【分析】先观察已知代数式的排列规律，根据规律写出第10个代数式． 【解答】解：有一列按规律排列的代数式：b，2b﹣a，3b﹣2a，4b﹣3a，5b﹣4a，…， 观察已知代数式可得： 第1个代数式：b＝1b﹣（1﹣1）a， 第2个代数式：2b﹣a＝2b﹣（2﹣1）a， 第3个代数式：3b﹣2a＝3b﹣（3﹣1）a， ..． ∴第10个代数式为 10b﹣（10﹣1）a＝10b﹣9a． 故答案为：A． 9．（2025秋•天桥区期末）如图①所示，在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形，得到一个如图②的图案，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（　　） A．2a﹣3b B．2a﹣4b C．4a﹣10b D．4a﹣8b 【分析】根据题图先确定新长方形的长和宽，再计算新长方形的周长． 【解答】解：由题图知：新长方形的宽为a﹣3b，长分别为a﹣b． 所以该新长方形的周长为：2（a﹣3b+a﹣b） ＝2（2a﹣4b） ＝4a﹣8b． 故选：D． 二、填空题 10．（2026•武清区二模）计算﹣x+3x﹣4x的结果为　﹣2x ． 【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【解答】解：﹣x+3x﹣4x＝（﹣1+3﹣4）x＝﹣2x． 故答案为：﹣2x． 11．（2026•南海区模拟）已知﹣5a2mb和7a4b2﹣n是同类项，则m﹣n的值是　1　 ． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知2m＝4，2﹣n＝1， 解得m＝2，n＝1， ∴m﹣n＝2﹣1＝1． 故答案为：1． 12．（2025秋•浦东新区期末）已知M＝2x2﹣3x﹣1，N＝6x2﹣3x+1，比较M与N的大小关系：M　＜　 N．（在横线上填写“＞”“＜”或“＝”） 【分析】利用作差法比较大小即可得解． 【解答】解：∵M＝2x2﹣3x﹣1，N＝6x2﹣3x+1， ∴M﹣N＝2x2﹣3x﹣1﹣（6x2﹣3x+1）＝2x2﹣3x﹣1﹣6x2+3x﹣1＝﹣4x2﹣2＝﹣2（2x2+1）＜0， 即M﹣N＜0， ∴M＜N， 故答案为：＜． 13．（2025秋•保山月考）若多项式5x3﹣mx3+1﹣3m的值与x的大小无关，则该多项式的值为　﹣14　 ． 【分析】先把含有x3的项合并，再根据多项式5x3﹣mx3+1﹣3m的值与x的大小无关，列出关于m的方程，解方程求出m，从而求出多项式的值． 【解答】解：5x3﹣mx3+1﹣3m＝（5﹣m）x3+1﹣3m， ∵多项式5x3﹣mx3+1﹣3m的值与x的大小无关， ∴5﹣m＝0， 解得：m＝5， ∴这个多项式的值为： 1﹣3m ＝1﹣3×5 ＝1﹣15 ＝﹣14， 故答案为：﹣14． 14．（2025•内江校级模拟）将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为a，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 　a （用含a的式子表示）． 【分析】根据图，得到小长方形的长等于2个小长方形的宽，所以大长方形的长由5个小长形的宽组成；再用小长方形的宽表示出两个阴影部分的周长，计算出周长的差；最后现用含用a的式子表示出结果即可． 【解答】解：设小长方形宽为n． 图2阴影部分的长：5n； 图2阴影部分的宽：n； 图2阴影部分的周长：（5n+n）×2＝12n． 图3阴影部分的周长：3n+3n+3n+3n+4n＝16n． 周长的差是：16n﹣12n＝4n， ∵na， ∴4n＝4aa， 故答案为：． 15．（2026•霸州市模拟）把图1中周长为24cm的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为32cm的长方形中．设正方形C的边长为xcm，正方形D的边长为ycm，阴影部分的周长为　26　 cm． 【分析】设正方形C边长为x cm，D边长为y cm，则A边长为（x+y）cm，B边长为（x+2y）cm，E的长为x+2y+y＝（x+3y）cm，宽为（x﹣y）cm，利用图1长方形周长为24cm，得2[（2x+3y）+（2x+y）]＝24，可求出x+y的值；根据图2的周长比阴影部分的周长多2个A的边长，可求出阴影部分的周长． 【解答】解：由图1可得，正方形A的边长为（x+y）cm， 正方形B的边长为（x+2y）cm， ∴2[（2x+3y）+（2x+y）]＝24， ∴x+y＝3， 如图2，阴影部分的周长比图2的周长少2个A的边长， ∴阴影部分的周长： 32﹣2（x+y） ＝32﹣2×3 ＝32﹣6 ＝26（cm）． 故答案为：26． 16．（2024秋•汉川市期末）如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注1、2的正方形边长分别为x、y．当x＝5、y＝6时，这个完美长方形的周长为 　224　 ． 【分析】根据图形，逐一表示出各个小正方形的边长，可得到完美长方形的长和宽，即可得到其周长的结果． 【解答】解：∵标注1、2的正方形边长分别为x、y， ∴标注3的正方形边长为x+y， 标注4的正方形边长为（x+y）+y＝x+2y， 标注5的正方形边长为y+（x+2y）＝x+3y， 标注6的正方形边长为x+3y+（y﹣x）＝4y， 标注7的正方形边长为4y﹣x， 标注10的正方形边长为4y﹣x﹣（2x+y）＝3y﹣3x， 标注8的正方形边长为4y﹣x+3y﹣3x＝7y﹣4x， 标注9的正方形边长为7y﹣4x+3y﹣3x＝10y﹣7x， ∴长方形的长为4y+（4y﹣x）+（7y﹣4x）＝15y﹣5x， 长方形的宽为（x+3y）+4y＝x+7y， ∴长方形的周长为2（15y﹣5x+x+7y）＝2（22y﹣4x）＝44y﹣8x， 当x＝5、y＝6时， ∴周长为44×6﹣8×5＝224． 故答案为：224． 三、解答题 17．（2025秋•林芝市期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b＝2． 【分析】先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【解答】解： ＝2a2b+ab2﹣3a2b+3﹣2ab2﹣1 ＝﹣a2b﹣ab2+2． 当a＝﹣2，b＝2时， 原式＝﹣（﹣2）2×2﹣（﹣2）×22+2 ＝2． 18．（2026•裕华区校级二模）整式加减的本质是合并同类项，我们可以像小学列竖式一样，将多项式按同一字母降幂排列，并使同类项上下对齐，从而逐项计算．例如，计算（x3﹣2x2﹣5）﹣（x﹣2x2+1）． 第①步：整理多项式，按降幂排列， 第一个多项式：x3﹣2x2﹣5； 第二个多项式：﹣2x2+x+1． 第②步：写成竖式，将同类项上下对齐，缺项补零，逐项相减， 第③步：写出结果， （x3﹣2x2﹣5）﹣（x﹣2x2+1）＝x3+0﹣x﹣6＝x3﹣x﹣6． 试用上面的方法解决这个计算问题：（2x3﹣x2﹣1）﹣（3x﹣x2+2）． 【分析】先把所求式子中的减数按同一字母降幂排列，再按照已知条件中的方法，列出竖式进行计算即可． 【解答】解：（2x3﹣x2﹣1）﹣（3x﹣x2+2）＝（2x3﹣x2﹣1）﹣（﹣x2+3x+2）， ， ∴（2x3﹣x2﹣1）﹣（3x﹣x2+2）＝2x3+0﹣3x﹣3＝2x3﹣3x﹣3． 19．（2026春•宿迁期中）已知A＝2a2+3ma﹣2a﹣2，B＝a2+ma﹣1，且A﹣B的值不含a的一次项，求m的值． 【分析】根据整式的运算法则化简求值即可． 【解答】解：A﹣B ＝2a2+3ma﹣2a﹣2﹣（a2+ma﹣1） ＝2a2+3ma﹣2a﹣2﹣a2﹣ma+1 ＝a2+（2m﹣2）a﹣1， 由条件可知2m﹣2＝0， 解得m＝1． 20．（2025秋•任丘市期末）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝2a﹣3b． 例如：1⊕2＝2×1﹣3×2＝﹣4． （1）求﹣2⊕3的值． （2）化简并求值：（x+3a）⊕（x﹣2b），其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． （3）已知x2⊕a与3⊕ax2的差中不含x2项，求a的值． 【分析】（1）根据题意列代数式再计算即可； （2）根据题意可得a+b＝0，x＝﹣1，再根据题意列代数式进行化简，最后代入即可； （3）根据题意列代数式进行计算，再根据已知条件即可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝2×（﹣2）﹣3×3 ＝﹣4﹣9 ＝﹣13． （2）∵a，b互为相反数，x是最大的负整数， ∴a+b＝0，x＝﹣1， ∴原式＝2（x+3a）﹣3（x﹣2b） ＝2x+6a﹣3x+6b ＝﹣x+6（a+b） ＝1+0 ＝1． （3）（x2⊕a）﹣（3⊕ax2） ＝（2x2﹣3a）﹣（6﹣3ax2） ＝2x2﹣3a﹣6+3ax2 ＝（2+3a）x2﹣3a﹣6， ∵x2⊕a与3⊕ax2的差中不含x2项， ∴2+3a＝0， ∴a． 21．（2025秋•青羊区校级期末）已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝a2+ab﹣1． （1）化简：3A﹣2（A+B）． （2）若无论a取何数值，（1）中代数式的值均为一个定值，求b的值． 【分析】（1）代入求值即可； （2）将（1）中代数式转化为（b﹣2）a+1，得出b的值． 【解答】解：（1）3A﹣2（A+B） ＝3（2a2+3ab﹣2a﹣1）﹣2（2a2+3ab﹣2a﹣1+a2+ab﹣1） ＝6a2+9ab﹣6a﹣3﹣4a2﹣6ab+4a+2﹣2a2﹣2ab+2 ＝ab﹣2a+1； （2）∵ab﹣2a+1＝（b﹣2）a+1， ∴b﹣2＝0， ∴b＝2． 22．（2025秋•蕲春县期末）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B．B＝3x2y﹣2xy+x+2，试求A+B．这位同学把A+B误看成A﹣B．结果求出的答案为6x2y+4xy﹣2x﹣1． （1）请你替这位同学求出A+B的正确答案； （2）求出A﹣3B的结果． 【分析】（1）根据A+B＝（A﹣B）+2B列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据A﹣3B＝A+B﹣4B列出代数式，去括号合并同类项求出结果． 【解答】解（1）∵B＝3x2y﹣2xy+x+2，A﹣B＝6x2y+4xy﹣2x﹣1， ∴A+B＝（A﹣B）+2B ＝6x2y+4xy﹣2x﹣1+2（3x2y﹣2xy+x+2） ＝6x2y+4xy﹣2x﹣1+6x2y﹣4xy+2x+4 ＝12x2y+3； （2）A﹣3B＝A+B﹣4B ＝12x2y+3﹣4（3x2y﹣2xy+x+2） ＝12x2y+3﹣12x2y+8xy﹣4x﹣8 ＝8xy﹣4x﹣5． 23．（2026春•泗洪县期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如M＝2x2﹣x+6与N＝﹣2x2+x﹣1互为对消多项式，它们的对消值为5． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是　②　 （填序号）； ①3x2+2x与3x2+2； ②﹣5x2y3+2xy与5x2y3﹣2xy﹣1； ③2x（x﹣1）+x与2x2﹣x+2． （2）多项式A＝（x﹣a）2与多项式B＝﹣bx2﹣2x+b（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 【分析】（1）将各组算式相加并计算后判断结果是否为常数即可； （2）将两式相加并计算，然后求得a，b的值后即可求得答案． 【解答】解：（1）3x2+2x+3x2+2＝6x2+2x+2，结果不是常数， ﹣5x2y3+2xy+5x2y3﹣2xy﹣1＝﹣1，结果是常数， 2x（x﹣1）+x+2x2﹣x+2＝2x2﹣2x+x+2x2﹣x+2＝4x2﹣2x+2，结果不是常数， 那么互为“对消多项式”的是②， 故答案为：②； （2）∵多项式A＝（x﹣a）2与多项式B＝﹣bx2﹣2x+b（a，b为常数）互为对消多项式， ∴（x﹣a）2﹣bx2﹣2x+b的结果为常数， ∵（x﹣a）2﹣bx2﹣2x+b ＝x2﹣2ax+a2﹣bx2﹣2x+b ＝（1﹣b）x2﹣（2a+2）x+a2+b， ∴2a+2＝0，1﹣b＝0， 解得：a＝﹣1，b＝1， 则a2+b＝（﹣1）2+1＝2， 即它们的对消值为2． 24．（2026春•苏州校级月考）新定义：如果3m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（3）＝　1　 ，D（27）＝　3　 ； D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），，根据运算性质，计算： （2）①若D（a）＝y，求D（a3）（用y的代数式表示）； ②若已知D（4）＝3a+b，D（7）＝2a﹣3c，试求D（28），的值（用a、b、c表示）． 【分析】（1）根据新定义进行求解即可； （2）①根据题意可得D（a3）＝3D（a）；②由D（28）＝D（4×7）＝D（4）+D（7）结合已知计算即可；依据 D（42）﹣D（7×9）＝2D（4）﹣D（7）﹣D（9）＝2D（4）﹣D（7）﹣D（32）＝2D（4）﹣D（7）﹣2D（3）结合已知和D（3）＝1代入计算即可． 【解答】解：（1）新定义：如果3m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． ∵31＝3， ∴D（3）＝1， ∵33＝27， ∴D（27）＝3， 故答案为：1，3； （2）①∵D（a）＝y，D（s•t）＝D（s）+D（t）， ∴D（a3）＝3D（a）＝3y； ②D（28）＝D（4×7）， ＝D（4）+D（7） ＝（3a+b）+（2a﹣3c） ＝5a+b﹣3c； ＝D（42）﹣D（7×9） ＝2D（4）﹣D（7）﹣D（9） ＝2D（4）﹣D（7）﹣D（32） ＝2D（4）﹣D（7）﹣2D（3） ∵D（4）＝3a+b，D（7）＝2a﹣3c，D（3）＝1， ∴原式＝2（3a+b）﹣（2a﹣3c）﹣2 ＝6a+2b﹣2a+3c﹣2 ＝4a+2b+3c﹣2． 25．（2025秋•金寨县期末）我们知道：4x+2x﹣x＝（4+2﹣1）x＝5x，类似地，若我们把（a+b）看成一个整体，则有4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝（4+2﹣1）（a+b）＝5（a+b）．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： （1）把（a﹣b）看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2； （2）已知：x2+2y＝5，求代数式﹣3x2﹣6y+21的值； （3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值． 【分析】（1）利用“整体思想”和合并同类项法则进行计算即可； （2）先把﹣3x2﹣6y+21化成﹣3（x2+2y）+21，再把x2+2y＝5整体代入，计算即可； （3）由a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，得出a﹣c＝﹣2，2b﹣d＝5，再代入计算即可． 【解答】解：（1）3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝﹣2（a﹣b）2； （2）﹣3x2﹣6y+21＝﹣3（x2+2y）+21， 当x2+2y＝5时，原式＝﹣3×5+21＝6； （3）∵a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10， ∴a﹣c＝3+（﹣5）＝﹣2，2b﹣d＝﹣5+10＝5， ∴（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c） ＝﹣2+5﹣（﹣5） ＝8． 26．（2025秋•通渭县月考）作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较﹣2和﹣5的大小，因为﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3＞0，所以﹣2＞﹣5．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题： （1）比较2x+5和2x+7的大小； （2）比较5x2﹣4x﹣3和的大小． 【分析】（1）计算2x+5﹣（2x+7）＝2x+5﹣2x﹣7＝﹣2，判断差的符号解答即可； （2）计算，判断差的符号解答即可． 【解答】解：（1）2x+5﹣（2x+7）＝2x+5﹣2x﹣7＝﹣2， 因为﹣2＜0， 所以2x+5＜2x+7． （2） ＝5x2﹣4x﹣3﹣（﹣4x﹣6） ＝5x2+3， 因为x2≥0， 所以5x2+3＞0， 所以 27．（2025秋•寿阳县期末）我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如：因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”． （1）判断下列数对是否是“积差等数对”： ①　是　 （填“是”或者“否”）； ②（2，1）　否　 （填“是”或者“否”）． （2）若数对（a，b）是“积差等数对”，求代数式4[3ab﹣a﹣2（ab﹣2）]+4b的值． 【分析】（1）先求出这两个数的差与积，再根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先根据新定义得到a﹣b＝ab，再根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，并写成含有ab和a﹣b的形式，最后进行计算即可． 【解答】解：（1）①∵， ∴， ∴是“积差等数对”， 故答案为：是； ②∵2﹣1＝1，2×1＝2， ∴2﹣1≠2×1， ∴（2，1）不是“积差等数对”， ∵故答案为：否； （2）∵数对（a，b）是“积差等数对”， ∴a﹣b＝ab， ∴4[3ab﹣a﹣2（ab﹣2）]+4b ＝4（3ab﹣a﹣2ab+4）+4b ＝4（ab﹣a+4）+4b ＝4ab﹣4a+16+4b ＝4ab﹣4（a﹣b）+16 ＝4ab﹣4ab+16 ＝16． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 整式的加减 知识点一：同类项 一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项(like terms). 知识点二：合并同类项 1.概念：代数式中的字母表示的是数，因此数的运算律也适用于代数式，根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项（unitelike terms). 2.法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. 3.合并同类项的一般步骤： 一找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面做上相同的标记，注意没有同类项的项，仍作为多项式的项； 二移：利用加法交换律把同类项放在一起，在交换位置时，连同项的符号一起交换； 三并：利用合并同类项的法则合并同类项，系数相加，字母及其指数不变； 四写：写出合并后的结果. 知识点三：去括号 1．去括号法则 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加，如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 2.依据：分配律 a(b+c)=ab+ac. 3.多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 知识点四：整式的加减运算 1.整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”，在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做. 题型一：同类项 【典例精讲】（2026•惠山区模拟）下列各组代数式中，属于同类项的是（　　） A．2x2y与2xy B．与﹣2xy C．3x与3xy D．2x2与2y2 【变式训练1】（2026•长沙校级模拟）下列各组代数式中，属于同类项的是（　　） A．2x2y与2xy2 B．与﹣2xy C．3x与3xy D．2x2与2y2． 【变式训练2】（2025秋•襄州区期末）下列各组单项式中，是同类项的是（　　） A．2x2y与2xy2 B．3xy与﹣2yx C．2x与2x2 D．5xy与5yz 题型二：由同类项的定义求参数 【典例精讲】（2025秋•分宜县期末）已知与﹣2a2bn是同类项，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5 【变式训练1】（2026春•福田区校级期中）若x2a﹣5b与为同类项，则4a﹣10b+6的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式训练2】（2025秋•应县期末）如果单项式﹣3xym与﹣xny2是同类项，那么m+n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三：合并同类项 【典例精讲】（2026•恩平市二模）下列合并同类项，结果正确的是（　　） A．5x2﹣3x2＝2 B．x2+x2＝x4 C．3a+2b＝5ab D．ab2﹣3b2a＝﹣2ab2 【变式训练1】（2026•新兴县一模）若单项式﹣xy2a与9x2b+3y6可以合并，则2a﹣b3的值为（　　） A．7 B．4 C．5 D．﹣3 【变式训练2】（2026•蓬江区模拟）下列计算正确的是（　　） A．2a2﹣3a2＝﹣a2 B．（﹣3）2＝6 C．6a3+4a4＝10a7 D．3a2b﹣3b2a＝0 题型四：去括号 【典例精讲】（2025秋•浏阳市期末）下列各式中，去括号正确的是（　　） A．a2﹣（3a﹣b+c）＝a2﹣3a﹣3b+3c B．a﹣（2x+4y﹣1）＝a﹣2x﹣4y+1 C．3x﹣（2y+1）＝3x﹣2y+1 D．﹣2x﹣y﹣（a+1）＝﹣2x﹣y﹣a+1 【变式训练1】（2025秋•恩施市期末）去括号等于a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（b+c） B．a﹣（b﹣c） C．a+（b﹣c） D．a+（b+c） 【变式训练2】（2025秋•雨花区期末）下列各式去括号正确的是（　　） A．﹣（2x+y）＝﹣2x+y B．3x﹣（2y+z）＝3x﹣2y﹣z C．x﹣（﹣y）＝x﹣y D．2（x﹣y）＝2x﹣y 题型五：添括号 【典例精讲】（2026•栾城区校级开学）下列各式中添括号正确的是（　　） A．﹣x﹣3y＝﹣（x﹣3y） B．2x﹣y＝﹣（2x+y） C．2m﹣m2＝2m（1﹣m） D．3﹣4x＝﹣（4x﹣3） 【变式训练1】（2025秋•曾都区期末）下列添括号正确的是（　　） A．a+b﹣c＝a﹣（b﹣c） B．a﹣b﹣c＝a﹣（b+c） C．a﹣b+c＝a﹣（b+c） D．a+b+c＝a﹣（b﹣c） 【变式训练2】（2025秋•洛阳期末）下列各式添括号后正确的是（　　） A．a﹣b+c＝a﹣（b﹣c） B．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c） C．a+b﹣c＝a﹣（b+c） D．a+b+c＝a+（b﹣c） 题型六：整式加减 【典例精讲】（2025秋•东海县期末）计算： （1）（﹣7）+（+5）﹣（﹣3）+（﹣6）； （2）； （3）4a2+3b2﹣2ab﹣3a2+b2； （4）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2）． 【变式训练1】（2025秋•南充校级月考）化简： （1）3（﹣a2b+2ab2）﹣2（3ab2﹣a2b）； （2）． 【变式训练2】（2025秋•江北区校级期末）化简： （1）5xy﹣3x+2x﹣2xy； （2）． 题型七：不含某一项 【典例精讲】（2026•石家庄校级模拟）化简3x2﹣xy+mx2+2xy时，琳琳将m看成了它的相反数，最终她的化简结果不含x2项，则正确的化简结果为（　　） A．xy B．﹣3xy C．6x2﹣3xy D．6x2+xy 【变式训练1】（2025秋•金湾区期末）已知关于x的多项式﹣2x3+（3+a）x2﹣6x+3不含x2项，那么a的值（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【变式训练2】（2025秋•张家口期末）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含ab项，则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 题型八：无关问题 【典例精讲】（2025秋•榆树市期末）若代数式（2x2+ax+6）﹣（2bx2﹣3x﹣1）（a，b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式a+2b的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．2或﹣2 D．6 【变式训练1】（2025秋•冷水滩区期末）已知多项式3mx2﹣3y2+5﹣12x2+y的值与字母x的取值无关，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．3 D．12 【变式训练2】（2025秋•高青县期末）已知A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，若A+2B的值与a的取值无关，则b的值为（　　） A． B． C． D． 题型九：整式加减与几何图形的周长 【典例精讲】（2026春•上城区校级期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是　 ． 【变式训练1】（2025秋•相城区校级月考）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为2cm，下列说法中正确的有　 ． ①小长方形的较长边为y﹣6； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+2； ③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长之差为定值； ④当y＝10时，阴影B的周长比阴影A的周长多4cm． 【变式训练2】（2025秋•大兴区期中）如图所示，世界上第一个完美长方形恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y．用含x，y的代数式表示8号正方形的边长为 　 ． 题型十：整式加减中新定义问题 【典例精讲】（2025秋•重庆期中）一个四位自然数M的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d，其中a、b、c、d互不相同且均不为0，小明发现部分M满足，他称这样的四位数为“小明数”．例如：四位数3762，因为37+62＝99，3762是“小明数”．最大的“小明数”是　 ；去掉十位数字c得到新三位数M′，则满足为正整数的最小“小明数”是　 【变式训练1】（2026•河西区校级开学）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝a﹣2b，例如：2⊕3＝2﹣2×3＝﹣4． （1）求﹣3⊕2的值； （2）先化简，再求值：（x﹣2y）⊕（x+2y），其中x＝﹣1，y＝2． 【变式训练2】（2025秋•海沧区校级期末）对于有理数a，b，规定一种新的运算：a※b＝5a﹣3b． 例如，2※6＝5×2﹣3×6＝﹣8． （1）计算：（﹣4）※7； （2）若（2m﹣1）※（mn+3）的值与m的取值无关，求n的值． 题型十一：先化简再求值 【典例精讲】（2026春•江北区校级月考）先化简，再求值：，其中|a﹣2|+（b+1）2＝0． 【变式训练1】（2026春•长春期中）先化简，再求值：2ab2﹣3a2b﹣2（a2b﹣ab2），其中，． 【变式训练2】（2026春•清水县校级月考）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a，b． 题型十二：整体思想 【典例精讲】（2026春•肇源县月考）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式5a+3b的值为3，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式＝2 a+2 b+8 a+4 b＝10 a+6 b． 我们把5a+3b看成一个整体，把式子5 a+3 b＝3两边乘2，得10 a+6 b＝6． 【方法运用】 （1）若a2﹣2a＝2，则3a2﹣6a+1的值为　 ； （2）若m+n＝2，mn＝﹣1，求3（2mn﹣m）﹣（3n﹣mn）的值． 【变式训练1】（2026•达州校级开学）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如上图是苏科版教材七年级上册数学教材的部分内容． （1）【问题解决】根据上述方法，请把（a+b）和（x+y）各看成一个整体，对下列各式进行化简，直接写出结果： ①4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝　 ； ②3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）＝　 ． （2）【简单应用】 ①已知m2+2m＝5，则2m2+4m﹣9＝　 ； ②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值； （3）【拓展提高】 已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式6m2+10mn﹣24n2的值． 【变式训练2】（2025秋•黔东南州期末）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为　 ． 【阅读理解】小明在解答该题时采用的方法如下：由题意，得x2+x+3＝7，则有x2+x＝4，2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式x2+x+2的值为10，求代数式﹣2x2﹣2x+7的值． （2）若x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为7，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+2的值． 【拓展应用】 （3）若10m﹣14n＝﹣5，mn＝﹣1，求5（m﹣n）﹣2（n﹣mn）的值． 题型十三：遮挡问题 【典例精讲】（2025秋•兰州期末）小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为M． 2（x﹣5）﹣（）＝x2+8x﹣7 （1）求多项式M； （2）已知N＝2x2+3ax，若M+N的结果中不含x的一次项，求a的值． 【变式训练1】（2025秋•息县期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，小明不小心擦掉了一块，小亮说他记得小明擦掉的部分是一个二次三项式，黑板上剩下的过程为： 3（x﹣2）﹣ ＝x2+9x﹣7 （1）求所挡住的二次三项式； （2）若，求所挡住的二次三项式的值． 【变式训练2】（2025秋•萧县期末）某数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式如下： +（2a2﹣4ab﹣2b2）＝a2﹣2b2． （1）求所捂的多项式； （2）求所捂的多项式与﹣2a的差． 题型十四：比较大小 【典例精讲】（2025秋•潮南区期末）作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较﹣2和﹣5的大小，因为﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3＞0，所以﹣2＞﹣5．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题： （1）比较2x+5和2x+7的大小； （2）比较5x2﹣4x﹣3和的大小． 【变式训练1】（2026春•青秀区校级月考）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． （1）分别求出图1中长方形的周长C1和图2中长方形的周长C2； （2）若a＞b，请用“作差法”比较C1，C2的大小． 【变式训练2】（2025秋•泉州期中）已知：2M﹣N＝3a2+2ab，M＝﹣a2+2ab﹣3． （1）求N（用含a、b的代数式表示）； （2）比较M与N的大小． 题型十五：错解问题 【典例精讲】学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个多项式A，B，其中B＝3mx2﹣2mx+x+2，求A+B．某同学把“A+B”误看成“A﹣B”，结果求出的答案为6mx2+4mx﹣2x﹣1． （1）请你帮这位同学求出A+B的正确答案； （2）当x取任意数值时，A﹣3B的值是一个定值，求m的值． 【变式训练1】（2025秋•台江区校级期中）小马虎由于粗心，把原题“两个多项式A和B，其中B＝4x2﹣5x﹣6，求A﹣2B”中的“A﹣2B”错误地看成“A+2B”，结果求出的答案是﹣7x2+10x+12，求出正确的A﹣2B． 【变式训练2】（2025秋•南海区期中）已知两个多项式A和B，其中B＝m2+mn，小明在计算A﹣B时，把A﹣B误看成A+B，结果求出答案为3m2﹣5mn﹣2m+3． （1）求多项式A； （2）求出A﹣B的正确答案． 一、选择题 1．（2026•长沙一模）用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为（　　） A． B． C． D． 2．（2026•怀宁县开学）如果和﹣3x3yb是同类项，那么代数式a﹣2b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．﹣5 3．（2025秋•鸡西期末）下列计算正确的是（　　） A．2a+5b＝7ab B．6x3﹣2x＝4x2 C．xy2+3xy2＝4xy2 D．9ab﹣8ab＝1 4．（2025秋•洛阳期末）若单项式3am﹣2b2与的和仍是单项式，则mn的值是（　　） A．3 B．6 C．25 D．32 5．（2025秋•临漳县期末）下列去括号正确的是（　　） A．+（a﹣b+c）＝a+b+c B．+（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c C．﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c D．﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b+c 6．（2025秋•乌兰浩特市期末）多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的和不含二次项，则m为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 7．（2025秋•市南区期末）已知A＝2x2+ax﹣7，．当A﹣4B的值与x无关时，a+b的值为（　　） A．6.5 B．﹣6.5 C．﹣5.5 D．5.5 8．（2026•五华区校级三模）有一列按规律排列的代数式：b，2b﹣a，3b﹣2a，4b﹣3a，5b﹣4a，…，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第10个代数式是（　　） A．10b﹣9a B．9b﹣10a C．10a﹣9b D．9a﹣10b 9．（2025秋•天桥区期末）如图①所示，在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形，得到一个如图②的图案，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（　　） A．2a﹣3b B．2a﹣4b C．4a﹣10b D．4a﹣8b 二、填空题 10．（2026•武清区二模）计算﹣x+3x﹣4x的结果为　 ． 11．（2026•南海区模拟）已知﹣5a2mb和7a4b2﹣n是同类项，则m﹣n的值是　 ． 12．（2025秋•浦东新区期末）已知M＝2x2﹣3x﹣1，N＝6x2﹣3x+1，比较M与N的大小关系： M　 N．（在横线上填写“＞”“＜”或“＝”） 13．（2025秋•保山月考）若多项式5x3﹣mx3+1﹣3m的值与x的大小无关，则该多项式的值为　 ． 14．（2025•内江校级模拟）将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为a，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 　 （用含a的式子表示）． 15．（2026•霸州市模拟）把图1中周长为24cm的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为32cm的长方形中．设正方形C的边长为xcm，正方形D的边长为ycm，阴影部分的周长为　 cm． 16．（2024秋•汉川市期末）如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注1、2的正方形边长分别为x、y．当x＝5、y＝6时，这个完美长方形的周长为 　 ． 三、解答题 17．（2025秋•林芝市期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b＝2． 18．（2026•裕华区校级二模）整式加减的本质是合并同类项，我们可以像小学列竖式一样，将多项式按同一字母降幂排列，并使同类项上下对齐，从而逐项计算．例如，计算（x3﹣2x2﹣5）﹣（x﹣2x2+1）． 第①步：整理多项式，按降幂排列， 第一个多项式：x3﹣2x2﹣5； 第二个多项式：﹣2x2+x+1． 第②步：写成竖式，将同类项上下对齐，缺项补零，逐项相减， 第③步：写出结果， （x3﹣2x2﹣5）﹣（x﹣2x2+1）＝x3+0﹣x﹣6＝x3﹣x﹣6． 试用上面的方法解决这个计算问题：（2x3﹣x2﹣1）﹣（3x﹣x2+2）． 19．（2026春•宿迁期中）已知A＝2a2+3ma﹣2a﹣2，B＝a2+ma﹣1，且A﹣B的值不含a的一次项，求m的值． 20．（2025秋•任丘市期末）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝2a﹣3b． 例如：1⊕2＝2×1﹣3×2＝﹣4． （1）求﹣2⊕3的值． （2）化简并求值：（x+3a）⊕（x﹣2b），其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． （3）已知x2⊕a与3⊕ax2的差中不含x2项，求a的值． 21．（2025秋•青羊区校级期末）已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝a2+ab﹣1． （1）化简：3A﹣2（A+B）． （2）若无论a取何数值，（1）中代数式的值均为一个定值，求b的值． 22．（2025秋•蕲春县期末）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B．B＝3x2y﹣2xy+x+2，试求A+B．这位同学把A+B误看成A﹣B．结果求出的答案为6x2y+4xy﹣2x﹣1． （1）请你替这位同学求出A+B的正确答案； （2）求出A﹣3B的结果． 23．（2026春•泗洪县期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如M＝2x2﹣x+6与N＝﹣2x2+x﹣1互为对消多项式，它们的对消值为5． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是　 （填序号）； ①3x2+2x与3x2+2； ②﹣5x2y3+2xy与5x2y3﹣2xy﹣1； ③2x（x﹣1）+x与2x2﹣x+2． （2）多项式A＝（x﹣a）2与多项式B＝﹣bx2﹣2x+b（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 24．（2026春•苏州校级月考）新定义：如果3m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（3）＝　 ，D（27）＝　 ； D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），，根据运算性质，计算： （2）①若D（a）＝y，求D（a3）（用y的代数式表示）； ②若已知D（4）＝3a+b，D（7）＝2a﹣3c，试求D（28），的值（用a、b、c表示）． 25．（2025秋•金寨县期末）我们知道：4x+2x﹣x＝（4+2﹣1）x＝5x，类似地，若我们把（a+b）看成一个整体，则有4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝（4+2﹣1）（a+b）＝5（a+b）．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： （1）把（a﹣b）看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2； （2）已知：x2+2y＝5，求代数式﹣3x2﹣6y+21的值； （3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值． 26．（2025秋•通渭县月考）作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较﹣2和﹣5的大小，因为﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3＞0，所以﹣2＞﹣5．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题： （1）比较2x+5和2x+7的大小； （2）比较5x2﹣4x﹣3和的大小． 27．（2025秋•寿阳县期末）我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如：因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”． （1）判断下列数对是否是“积差等数对”： ①　　 （填“是”或者“否”）； ②（2，1）　　 （填“是”或者“否”）． （2）若数对（a，b）是“积差等数对”，求代数式4[3ab﹣a﹣2（ab﹣2）]+4b的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $