【暑假预习】第03讲 绝对值与相反数 2026--2027学年苏科版数学七年级上册暑假衔接讲练

第03讲 绝对值与相反数 知识点一：绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 考点二：利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数. 2.绝对值比较大小：两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点三：相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 题型一：求一个数的绝对值 【典例精讲】（2026•石狮市模拟）化简的结果是（　　） A．﹣2 B． C． D． 【分析】根据绝对值的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， ． 故选：C． 【变式训练1】（2026•西安模拟）的绝对值是（　　） A． B． C．8 D．﹣8 【分析】直接根据绝对值的意义求解． 【解答】解：||． 故选：A． 【变式训练2】（2026•东营区一模）﹣2026的绝对值是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 【分析】根据绝对值的定义进行解题即可． 【解答】解：﹣2026的绝对值为：|﹣2026|＝2026． 故选：A． 题型二：绝对值的应用 【典例精讲】（2026•封开县二模）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A．﹣3.5 B．+2.5 C．﹣0.6 D．+0.7 【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【解答】解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|， ∴﹣0.6最接近标准， 故选：C． 【变式训练1】（2026•盐城二模）AI大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某厂四台接入AI大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确程度最高的是（　　） A．+0.03mm B．﹣0.02mm C．+0.02mm D．﹣0.01mm 【分析】根据绝对值的性质和有理数大小比较进行解题即可． 【解答】解：∵|+0.03|＝0.03，|﹣0.02|＝0.02，|+0.02|＝0.02，|﹣0.01|＝0.01， ∴0.01＜0.02＜0.03， ∴D选项精确程度最高． 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•临淄区期末）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球最接近标准？（　　） A．﹣3.5 B．+0.7 C．﹣2.5 D．﹣0.6 【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球． 【解答】解：通过求五个排球的绝对值得： |﹣0.6|＝0.6，|+0.7|＝0.7，|﹣2.5|＝2.5，|﹣3.5|＝3.5，|5|＝5， ﹣0.6的绝对值最小． 所以最后一个球是接近标准的球． 故选：D． 题型三：求一个数的相反数 【典例精讲】（2026•临川区二模）﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 【分析】利用相反数的定义判断即可． 【解答】解：﹣6的相反数是6， 故选：C． 【变式训练1】（2026•郸城县校级二模）若一个数的相反数是﹣4，则这个数是（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数； 【解答】解：∵一个数的相反数是﹣4， ∴这个数是﹣（﹣4）＝4． 故选：A． 【变式训练2】（2026•秦淮区校级模拟）若一个数的相反数是它本身．则这个数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定 【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：∵一个数的相反数是它本身． ∴这个数是0． 故选：C． 题型四：绝对值的非负性 【典例精讲】（2025秋•苏州校级期末）若|m+3|与|n﹣7|互为相反数，求m+n的值为　4　 ． 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵|m+3|与|n﹣7|互为相反数， ∴|m+3|+|n﹣7|＝0， ∴m+3＝0，n﹣7＝0， ∴m＝﹣3，n＝7， ∴m+n＝﹣3+7＝4． 故答案为：4． 【变式训练1】（2025秋•邛崃市校级期末）若|a﹣2|+|b﹣3|＝0，则a+b＝　5　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣2|+|b﹣3|＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝2，b＝3， ∴a+b＝2+3＝5． 故答案为：5． 【变式训练2】（2025秋•灵武市校级期末）已知a为有理数，则|a﹣1|+1的最小值为　1　 ． 【分析】根据绝对值的非负性，|a﹣1|≥0，从而推导出表达式的最小值． 【解答】解：∵a为有理数， ∴|a﹣1|≥0， ∴|a﹣1|+1的最小值为1． 故答案为：1． 题型五：判断是否互为相反数 【典例精讲】（2026•瀍河区一模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．|+2|与|﹣2| B．﹣|+2|与+（﹣2） C．﹣（﹣2）与+（+2） D．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| 【分析】根据绝对值的性质公式、相反数的意义处理，对各式化简，再判断． 【解答】解：A．|+2|＝2，|﹣2|＝2，两者相等；本选项不符合题意； B．﹣|+2|＝﹣2，+（﹣2）＝﹣2，两者相等；本选项不符合题意； C．﹣（﹣2）＝2，+（+2）＝2，两者相等；本选项不符合题意； D．﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，两者互为相反数，本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（2026•湖南模拟）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2与 B．﹣（﹣3）和+|﹣3| C．﹣（﹣2）与﹣|﹣2| D．+（﹣5）与﹣（+5） 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0，判断出互为相反数的是哪组即可． 【解答】解：∵220， ∴2与不互为相反数； ﹣（﹣3）＝3，+|﹣3|＝3， ∴﹣（﹣3）和+|﹣3|不互为相反数； ﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2， ∵2+（﹣2）＝0， ∴﹣（﹣2）与﹣|﹣2|互为相反数； ∵+（﹣5）＝﹣5，﹣（+5）＝﹣5， ∴+（﹣5）与﹣（+5）不互为相反数． 故选：C． 【变式训练2】（2026•市南区校级模拟）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（﹣2）和2 B．+（﹣3）和﹣（+3） C．和﹣（﹣2） D．﹣（﹣5）和﹣|+5| 【分析】先化简各数，再根据互为相反数的定义逐项判断得结论． 【解答】解：A．﹣（﹣2）＝2，∴﹣（﹣2）与2不互为相反数，故A选项不符合题意； B．+（﹣3）＝﹣3，﹣（+3）＝﹣3，∴+（﹣3）与﹣（+3）不互为相反数，故B选项不符合题意； C．﹣（﹣2）＝2，，∴﹣（﹣2）与不互为相反数，故C选项不符合题意； D．﹣（﹣5）＝5，﹣|+5|＝﹣5∴﹣（﹣5）与﹣|+5|（﹣5）不互为相反数，故D选项符合题意． 故选：D． 题型六：绝对值的意义 【典例精讲】（2025秋•青羊区校级期末）已知abc＞0，则的值为　4或0　 ． 【分析】由abc＞0可知，a、b、c的符号有两种可能：全正或两负一正．当全正时，每个绝对值与自身比值为1，abc为正其与绝对值比值也为1，求和得4．当两负一正时，两个负数的绝对值与自身比值为﹣1，正数为1，abc因两负相乘为正再乘正仍为正，其与绝对值比值为1，求和得0． 【解答】解：分析abc＞0的情况： 当a＞0，b＞0，c＞0时：，，，1， 原式＝1+1+1+1＝4； 当a、b、c中有两个负数、一个正数时（不妨设a＜0，b＜0，c＞0）：1，，1，abc＝（﹣a）（﹣b）c＝abc＞0， 故， 原式＝﹣1+（﹣1）+1+1＝0， 综上，原式的值为4或0． 故答案为：4或0． 【变式训练1】（2025秋•凤城市期末）已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是Q ． 【分析】根据各点到原点的距离进行判断即可． 【解答】解：∵点Q到原点的距离最远， ∴点Q的绝对值最大． 故答案为：Q． 【变式训练2】（2025春•绥棱县校级期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． [解决问题]解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， 则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0， 则1（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值． 【分析】根据abc＜0，判断出a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出a，b，c的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【解答】解：由条件可知a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时， 则， ②当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设a＜0，b＞0，c＞0， 则， 综上所述，代数式的值为﹣3或1． 题型七：利用绝对值比较大小 【典例精讲】（2025秋•长海县期中）比较大小：﹣（﹣1 ） 　＞　 ﹣|﹣1.35|．（填“＜”、“＞”或“＝”） 【分析】分别化简后，再根据有理数大小的比较方法进行解答即可． 【解答】解：﹣（）＝1.6，而﹣|﹣1.35|＝﹣1.35， 由于1.6＞﹣1.35， 所以﹣（﹣1 ）＞﹣|﹣1.35|． 故答案为：＞． 【变式训练1】（2025秋•龙山区校级月考）比较与的大小． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【解答】解：1+（），1+（）， ∵、分子相同，分母不同，且8＜9， ∴， ∴． 【变式训练2】（2025秋•东昌府区校级月考）比较下列各组数的大小： （1）与； （2）与﹣0.012． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【解答】解：（1）∵，， ||，||， ， ∴； （2）∵||，|﹣0.012|＝0.012， 0.012， ∴0.012． 题型八：绝对值与相反数概念的理解 【典例精讲】（2025秋•博兴县期末）下列说法不正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定不小于它本身 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．任何数的绝对值都不是负数 D．任何有理数的绝对值都是正数 【分析】根据绝对值的性质对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、一个数的绝对值一定不小于它本身，正确，故本选项错误； B、互为相反数的两个数的绝对值相等，正确，故本选项错误； C、任何数的绝对值都不是负数，正确，故本选项错误； D、任何有理数的绝对值都是正数，错误，0的绝对值是0，0既不是正数也不是负数，故本选项正确． 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•大连期末）下列说法中正确的是（　　） A．-6是相反数 B．+6是相反数 C．正数与负数互为相反数 D．任何一个数都有相反数 【分析】根据有正数和负数，相反数的概念，逐一判断即可解答． 【解答】解：A．-6和6互为相反数，原说法错误，故A不符合题意； B．+6和-6互为相反数，原说法错误，故B不符合题意； C．正数与负数不一定互为相反数，故C不符合题意； D．任何一个数都有它的相反数，故D符合题意； 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•新罗区校级月考）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．绝对值最小的数是0 C．绝对值等于自身的数只有0和1 D．相反数等于自身的数只有0 【分析】根据正负数的定义，绝对值的性质、平方的性质即可判断． 【解答】解：A、B、D均正确，绝对值等于自身的数是所有非负数，所以C错误， 故选：C． 题型九：绝对值的几何意义 【典例精讲】（2025秋•雁塔区校级期末）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　3　 ，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　15　 ，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是　45　 ． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　|x+1|　 ，如果|AB|＝2，那么x是　1或﹣3　 ． （3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　4　 ． 【分析】（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离． （3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到﹣1，2和3距离的和，当x在﹣1和3之间的2时有最小值． 【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是|﹣20﹣（﹣5）|＝15．数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是|15﹣（﹣30）|＝45． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3． （3）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示：数轴上一点到﹣1，2和3距离的和， 当x在﹣1和3之间的2时有最小值是4． 故答案为：3，15，45；|x+1|，1或﹣3；4． 【变式训练1】（2025秋•龙马潭区期末）【阅读理解】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，根据绝对值的定义，|a|表示数轴上表示数a的点与原点的距离，那么数轴上两点A、B表示的数为a、b，则点A与点B之间的距离为AB＝|a﹣b|．例如：|a﹣2|的几何意义是数轴上数a所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|a+1|＝|a﹣（﹣1）|，所以|a+1|的几何意义就是数轴上数a所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 【问题解决】如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． （1）求AB的值； （2）若点M在A、B之间，求|m+4|+|m﹣8|的值； （3）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的求法计算即可； （2）根据条件去掉绝对值化简； （3）分类讨论，去掉绝对值并解方程即可． 【解答】解：（1）AB＝|﹣4﹣8|＝12； （2）根据题意得， |m+4|+|m﹣8| ＝|m﹣（﹣4）|+|m﹣8| ＝m﹣（﹣4）+8﹣m＝12； （3）当m＜﹣4时，|m+4|+|m﹣8|＝﹣（m+4）+[﹣（m﹣8）]＝20， m＝﹣8； 当m＞8时，|m+4|+|m﹣8|＝（m+4）+（m﹣8）＝20， m＝12； ∴m＝﹣8或12． 【变式训练2】（2025秋•芜湖期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　6　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　4或﹣2　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　2026　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　﹣2.5或2026.5　 ． 【分析】（1）根据题中结论解答即可； （2）|x﹣1|＝3的意义为：在数轴上表示x和表示1的两点的距离为3，据此解答可得； （3）|x+1|+|x﹣2025|表示x与﹣1两点的距离与x与2025两点的距离之和， 再分x在﹣1和2025之间和x不在﹣1和2025之间分别求解，综合可得结果； （4）由（3）的结论确定表示x的点在﹣1的左侧或在2025的右侧，再分类求解即可． 【解答】解：（1）由题得，|1﹣（﹣5）|＝|1+5|＝6， ∴数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是6． 故答案为：6； （2）由|x﹣1|＝3得，数轴上表示x和1的两点之间的距离是3． ∴x＝4或x＝﹣2． 故答案为：4或﹣2； （3）|x+1|+|x﹣2025|表示x与﹣1两点的距离与x与2025两点的距离之和， 当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（2025﹣x）＝2026； 当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于﹣1与2025两点的距离，又|﹣1﹣2025|＝2026， ∴当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于2026； 综上可知，当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|的值最小，最小值为2026． 故答案为：2026； （4）由（3）知，若|x+1|+|x﹣2025|＝2029， 则数x在﹣1的左侧或在2025的右侧，即x＜﹣1或x＞2025， 当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2025|＝﹣（x+1）﹣（x﹣2025）＝﹣2x+2024， 由﹣2x+2024＝2029，解得x＝﹣2.5； 当x＞2025时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（x﹣2025）＝2x﹣2024， 由2x﹣2024＝2029，解得x＝2026.5； 综上可知，x的值为﹣2.5或2026.5． 故答案为：﹣2.5或2026.5． 题型十：利用绝对值的几何意义求未知数的值 【典例精讲】（2026•望奎县校级二模）若|m|＝|﹣1|，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 【分析】根据绝对值的定义即可求解． 【解答】解：∵|﹣1|＝1， ∴|m|＝1， ∴m＝±1， 故选：C． 【变式训练1】（2026•南沙区一模）若|a|＝2，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．±2 【分析】根据绝对值的意义即可得到答案． 【解答】解：∵|a|＝2， ∴a＝±2． 故选：D． 【变式训练2】（2026•海门区校级模拟）若|﹣7|＝﹣a，则a的值是（　　） A．7 B．﹣7 C． D． 【分析】由绝对值的定义确定a的值，然后代入求解即可． 【解答】解：∵|﹣7|＝7＝﹣a， ∴a＝﹣7． 故选：B． 一、选择题 1．（2026•长清区模拟）绝对值等于3的数是（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．3或﹣3 【分析】根据绝对值的性质及其定义即可求解． 【解答】解：根据绝对值的概念可知：|3|＝3，|﹣3|＝3， ∴绝对值等于3的数是3或﹣3， 故选：D． 2．（2026•仓山区三模）下列各数是2026的相反数的是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：2026的相反数是﹣2026． 故选：B． 3．（2026•平房区二模）﹣（﹣7）的相反数是（　　） A．7 B．﹣7 C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣（﹣7）＝7， 7的相反数是﹣7． 故选：B． 4．（2026•兰州校级模拟）﹣|﹣5|的值是（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 【分析】根据相反数，绝对值的定义进行计算． 【解答】解：﹣|﹣5|＝﹣5． 故选：B． 17． 5．（2026•桥东区一模）若m与n互为相反数，则2（m+n）+3＝（　　） A．﹣5 B．3 C．﹣1 D．1 【分析】根据互为相反数的两数和为0，整体代入计算即可得到结果． 【解答】解：由题意得，m+n＝0， ∴2（m+n）+3＝2×0+3＝3． 故选：B． 二、填空题 6．（2025秋•温岭市期末）已知点A在数轴上的位置如图所示，则点A所表示的数的绝对值为　2　 ． 【分析】利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【解答】解：点A所表示的数的绝对值是2． 故答案为：2． 7．（2025秋•天津期末）的相反数是　　 ；﹣3.9的绝对值是　3.9　 ． 【分析】根据绝对值及相反数的定义即可求得答案． 【解答】解：的相反数是，﹣3.9的绝对值是3.9， 故答案为：；3.9． 8．（2025秋•洪湖市期末）一个数的相反数是最小的正整数，这个数是 　﹣1　 ． 【分析】先根据题意求出最小正整数，再根据相反数的定义进行解题即可． 【解答】解：由题可知，最小的正整数是1， 故可知这个数为﹣1． 故答案为：﹣1． 9．（2025秋•仁寿县期末）化简﹣（+8）＝　﹣8　 ． 【分析】直接利用相反数的定义和去括号法则化简得出答案． 【解答】解：﹣（+8）＝﹣8． 故答案为：﹣8． 10．（2025秋•周村区期末）﹣[+（﹣2）]＝　2　 ． 【分析】根据相反数的定义进行计算． 【解答】解：原式＝﹣（﹣2）＝2． 故答案为：2． 11．（2025秋•广元校级月考）化简：﹣（﹣|﹣7|）＝ 　7　 ． 【分析】先计算绝对值，再根据多重符号法则化简即可． 【解答】解：由题知， 因为|﹣7|＝7， 所以﹣（﹣|﹣7|）＝﹣（﹣7）＝7， 故答案为：7． 12．（2025秋•东海县月考）的相反数与绝对值的和等于　0　 ． 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，正数的绝对值是它本身，据此求出的相反数和绝对值，再求和即可得到答案． 【解答】解：的绝对值为，的相反数为， ∴的相反数与绝对值的和等于， 故答案为：0． 13．（2025秋•青龙县期末）若|a﹣4|+|b﹣6|＝0，则2a﹣b＝ 　2　 ． 【分析】由已知可得a＝4，b＝6，代入所求式子即可． 【解答】解：∵|a﹣4|+|b﹣6|＝0， ∴a＝4，b＝6， ∴2a﹣b＝2， 故答案为2． 三、解答题 14．（2025秋•福海县月考）化简下列各数． （1）+（﹣100）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）直接利用相反数的定义，进行化简即可； （2）直接利用相反数的定义，进行化简即可； （3）直接利用相反数的定义，进行化简即可； （4）根据绝对值的含义和求法计算即可． 【解答】解：（1）+（﹣100）＝﹣100； （2）； （3）； （4）[﹣（﹣4）]＝﹣4． 15．（2025秋•图木舒克校级月考）化简下列各数： （1）﹣（+3.5）＝　﹣3.5；　 ； （2）﹣（﹣11）＝　11；　 ； （3）　；　 ； （4）﹣[+（﹣5.8）]＝　5.8．　 ． 【分析】（1）根据相反数的定义，“+”可省略，“﹣”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数； （2）根据相反数的定义，“+”可省略，“﹣”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数； （3）根据相反数的定义，“+”可省略，“﹣”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数； （4）根据相反数的定义，“+”可省略，“﹣”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数． 【解答】解：（1）﹣（+3.5）＝﹣3.5， 故答案为：﹣3.5； （2）﹣（﹣11）＝11， 故答案为：11； （3）∵， ∴， 故答案为：1； （4）∵+（﹣5.8）＝﹣5.8， ∴﹣[+（﹣5.8）]＝﹣（﹣5.8）＝5.8， 故答案为：5.8． 16．（2025秋•德州月考）化简： （1）﹣（+7）＝　﹣7　 ； （2）+（﹣3.7）＝　﹣3.7　 ； （3）﹣（﹣2019）＝　2019　 ； （4）　　 ； （5）+[﹣（﹣8）]＝　8　 ； （6）　　 ； （7）　﹣3　 ； （8）　　 ； （9）　　 ； （10）　﹣21　 ； （11）　　 ； （12）　20　 ． 【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，分数的基本性质，进行求解即可． 【解答】解：（1）﹣（+7）＝﹣7； （2）+（﹣3.7）＝﹣3.7； （3）﹣（﹣2019）＝2019； （4）； （5）+[﹣（﹣8）]＝8； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）． 17．（2025秋•朝阳区校级月考）将下列各数在数轴上表示出来并用“＜”连接起来． ﹣（﹣1），+3.5，﹣|﹣3|，0，﹣2，150% 【分析】先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【解答】解：如图： ∴﹣|﹣3|＜﹣2＜0＜﹣（﹣1）＜150%＜+3.5 18．（2025秋•太和县月考）已知|x+4|+|y﹣7|+|z﹣3|＝0． （1）求x，y，z的值； （2）求|x|+|y|+|z|的值． 【分析】（1）由绝对值的非负性求解即可得到答案； （2）由（1）中x＝﹣4，y＝7，z＝3，代入代数式求值即可得到答案． 【解答】解：（1）∵|x+4|+|y﹣7|+|z﹣3|＝0， 又∵|x+4|≥0，|y﹣7|≥0，|z﹣3|≥0， ∴x+4＝0，y﹣7＝0，z﹣3＝0， 解得x＝﹣4，y＝7，z＝3； （2）由（1）得x＝﹣4，y＝7，z＝3， ∴|x|+|y|+|z|＝|﹣4|+|7|+|3|＝4+7+3＝11+3＝14． 19．（2025秋•梁园区月考）某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检验结果如下表． 型号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 长短/mm +0.5 ﹣0.2 +0.2 +0.1 ﹣0.3 ﹣0.2 （1）哪个零件的质量最好，请用绝对值的知识进行说明． （2）若规定与标准直径相差不大于0.2mm为合格产品，则这6件产品中有哪几件产品不合格？ 【分析】（1）计算出每个型号偏差的绝对值，再判断即可； （2）根据检验表格直接写出结果即可． 【解答】解：（1）|+0.5|＝0.5，|﹣0.2|＝0.2，|+0.2|＝0.2，|+0.1|＝0.1，|﹣0.3|＝0.3，|﹣0.2|＝0.2． 因为0.1＜0.2＜0.3＜0.5， 所以4号零件最好，因为与标准直径相差的绝对值最小． （2）∵|+0.5|＝0.5＞0.2，|+0.2|＝0.2，|﹣0.2|＝0.2， |+0.1|＝0.1＜0.2，|﹣0.3|＝0.3＞0.2，|﹣0.2|＝0.2， ∴若规定与标准直径相差不大于0.2mm为合格产品，则1号和5号产品不合格． 20．（2025秋•开鲁县月考）如下图所示，在数轴上，a，b，c对应的数，且b和c到原点距离相等，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）如果a，b，c对应的数分别为﹣3.7、﹣2.5、+2.5，则数轴上表示5与a的两点之间的距离是　8.7　 ；表示﹣4和c两点之间的距离是　6.5　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，则a到c的距离是　6.2　 ． （2）确定符号：a﹣b　＜　 0，c﹣b　＞　 0，b+c　＝　 0，a﹣c　＜　 0； （3）化简：|a|+|b|+|c| 【分析】（1）根据数轴上点的位置，以及数轴上两点间距离，即可得到结果； （2）根据数轴上a，b，c三点的位置，判断式子的正负，从而得到结果； （3）根据a，b，c的正负，化简即可得到结果． 【解答】解：（1）∵a对应的数为﹣3.7， ∴数轴上表示5与a的两点之间的距离是|5﹣（﹣3.7）|＝8.7， ∵c对应的数为+2.5， ∴表示﹣4和c两点之间的距离是|﹣4﹣（+2.5）|＝6.5， ∵a、c对应的数分别为﹣3.7、+2.5， ∴a到c的距离是|﹣3.7﹣（+2.5）|＝6.2． 故答案为：8.7，6.5，6.2． （2）∵|b|＝|c|，|a|＞|c|，a＜b＜0＜c， ∴b+c＝0，a﹣c＜0，a﹣b＜0，c﹣b＞0， 故答案为：＜，＞，＝，＜． （3）∵c＞0，a＜0，b＜0， ∴|a|+|b|+|c|＝﹣a﹣b+c． 21．（2025秋•怀仁市月考）阅读下列材料： 当a＞0时，如a＝3，则|a|＝3＝a，此时a的绝对值是它本身； 当a＝0时，|a|＝0，此时a的绝对值是0； 当a＜0时，如a＝﹣3，则|a|＝3＝﹣a，此时a的绝对值是它的相反数． 综上可得，． 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： （1）比较大小：|﹣5|　＝　 5，|3|　＞　 ﹣3；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）请仿照上述分类讨论的方法，分析|a|与﹣a的大小关系． 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析求解即可． 【解答】解：（1）|﹣5|＝﹣（﹣5）＝5，|3|＝3，而3＞﹣3，因此|3|＞﹣3， 故答案为：＝，＞； （2）当a＞0时，|a|＝a，而﹣a＜0，所以a＞﹣a， 当a＝0时，|a|＝﹣a＝0， 当a＜0时，|a|＝﹣a，而﹣a＞0，因此|a|＝﹣a， 综上所述，当a＞0时，|a|＞﹣a；当a≤0时，|a|＝﹣a． 22．（2025秋•广元校级月考）在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． [尝试运用] （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数﹣5，﹣1，3，那么点A到点B的距离是 　4　 ，点A到点C的距离是 　8　 （直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣3，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 　|x+3|+|x﹣1|　 （用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】 （3）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝8的x的所有值是 　5或﹣3　 ； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 　4　 ；当x的值在 　1≤x≤3　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是2，当x的值取3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是 　4　 ； （4）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值． 【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据数轴上两点距离的计算方法得到A、B之间的距离为|x+3|，A、C之间的距离为|x﹣1|即可； （3）①分x＜﹣1，x＞3，﹣1≤x≤3三种情况进行解答；②根据x的不同取值范围得出答案； （4）当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的值最小，最小值为1+3+5+…+97+99． 【解答】解：（1）由条件可知A到B的距离是|﹣5﹣（﹣1）|＝4，A到C的距离是|﹣5﹣3|＝8， 故答案为：4，8； （2）由条件可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x﹣1|， 故答案为：|x+3|+|x﹣1|； （3）①当x＜﹣1时，|x﹣3|+|x+1|＝8即3﹣x﹣x﹣1＝8，解得x＝﹣3， 当x＞3时，|x﹣3|+|x+1|＝8即x﹣3+x+1＝8，解得x＝5， 当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|表示﹣1，3在数轴上对应的两点之间的距离为4，不可能为8，则此情况不成立； 故满足的x的所有值是5或﹣3， 故答案为：5或﹣3； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值不变，且是m的最小值，最小值是3﹣（﹣1）＝4， 当x在1≤x≤3时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是|3﹣1|＝2， 当x的取值是3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是4， 故答案为：4，1≤x≤3，4； （4）当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值为． 23．（2025秋•抚州校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|；那么，表示﹣3和2两点之间的距离是　5　 ； （2）如果数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　6　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，并计算这些点表示的数的和． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离列式计算即可； （2）先根据a的取值范围去掉绝对值号，然后进行计算即可； （3）分x＜﹣2、﹣2≤x≤5和x＞5三种情况，分别化简绝对值，由此可得出符合条件的整数点，再相加即可． 【解答】解：（1）∵数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|， ∴﹣3和2两点之间的距离是|﹣3﹣2|＝5， 答：﹣3和2两点之间的距离是5， 故答案为：5； （2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间， ∴a+4＞0，a﹣2＜0， ∴|a+4|+|a﹣2|＝a+4+2﹣a＝6， 故答案为：6； （3）根据题意，可分以下三种情况： ①当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣5|＝﹣x﹣2+5﹣x＝﹣2x+3＞7， ②当﹣2≤x≤5时，|x+2|+|x﹣5|＝x+2+5﹣x＝7， ③当x＞5时，|x+2|+|x﹣5|＝x+2+x﹣5＝2x﹣3＞7， 则使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5， ∴﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12， 故这些点表示的数的和是12． 24．（2025秋•高新区校级月考）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，|x﹣2|表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，|x﹣1|+|x+2|可理解为在数轴上x对应的点分别到1和﹣2所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： （1）|x﹣3|可理解为x 与　3　 在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）请你结合数轴探究： ①|x﹣3|+|x+2|的最小值是　5　 ； ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的最小值为　8　 ； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【分析】（1）绝对值的几何意义，|x﹣a|表示x与a的差的绝对值，可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）|x﹣3|+|x+2|表示在数轴上x对应的点分别到3、﹣2所对应的点之间的距离之和，分别讨论x在﹣2的左侧、3的右侧或者﹣2和3中间时，距离之和的大小即可； （3）先建立数轴并设实验室的位置对应的数字为x，然后根据题目条件用x表示总成本，由（2）可得实验室建在A、C之间（包含A、C）时，有可能取得最小值，再分段计算出成本比较大小即可． 【解答】解：（1）|x﹣3|表示x与3的差的绝对值，可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：x，3． （2）①|x﹣3|+|x+2|表示在数轴上x对应的点分别到3、﹣2所对应的点之间的距离之和，当﹣2≤x≤3时，|x﹣3|+|x+2|的值为3﹣（﹣2）＝5，当x＜﹣2或x＞3时，|x﹣3|+|x+2|＞5，则|x﹣3|+|x+2|的最小值是5； 故答案为：5． ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|表示在数轴上x对应的点分别与﹣3、﹣6和2在数轴上所对应的点之间的距离之和，当x＝﹣3时，|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的值为2﹣（﹣6）＝8，当x≠﹣3时，|x+3|+|x+6|+|x﹣2|＞8，则|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的最小值是8； 故答案为：8． （3）以市民广场O为原点，A、B、C分别为﹣5、1、3建立数轴，设实验室P对应的数字为x， 总运输和包装成本为3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|，由（2）知﹣5≤x≤3时，总成本可能取到最小值， 当﹣5≤x≤1时，3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|＝20， 当1＜x≤3时，3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|＝4x+16， ∵1＜x≤3， ∴4x+16＞20． 则，当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是每千米20元/千份． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 绝对值与相反数 知识点一：绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 考点二：利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数. 2.绝对值比较大小：两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点三：相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 题型一：求一个数的绝对值 【典例精讲】（2026•石狮市模拟）化简的结果是（　　） A．﹣2 B． C． D． 【变式训练1】（2026•西安模拟）的绝对值是（　　） A． B． C．8 D．﹣8 【变式训练2】（2026•东营区一模）﹣2026的绝对值是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 题型二：绝对值的应用 【典例精讲】（2026•封开县二模）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A．﹣3.5 B．+2.5 C．﹣0.6 D．+0.7 【变式训练1】（2026•盐城二模）AI大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某厂四台接入AI大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确程度最高的是（　　） A．+0.03mm B．﹣0.02mm C．+0.02mm D．﹣0.01mm 【变式训练2】（2025秋•临淄区期末）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球最接近标准？（　　） A．﹣3.5 B．+0.7 C．﹣2.5 D．﹣0.6 题型三：求一个数的相反数 【典例精讲】（2026•临川区二模）﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 【变式训练1】（2026•郸城县校级二模）若一个数的相反数是﹣4，则这个数是（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【变式训练2】（2026•秦淮区校级模拟）若一个数的相反数是它本身．则这个数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定 题型四：绝对值的非负性 【典例精讲】（2025秋•苏州校级期末）若|m+3|与|n﹣7|互为相反数，求m+n的值为　　 ． 【变式训练1】（2025秋•邛崃市校级期末）若|a﹣2|+|b﹣3|＝0，则a+b＝　　 ． 【变式训练2】（2025秋•灵武市校级期末）已知a为有理数，则|a﹣1|+1的最小值为　　 ． 题型五：判断是否互为相反数 【典例精讲】（2026•瀍河区一模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．|+2|与|﹣2| B．﹣|+2|与+（﹣2） C．﹣（﹣2）与+（+2） D．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| 【变式训练1】（2026•湖南模拟）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2与 B．﹣（﹣3）和+|﹣3| C．﹣（﹣2）与﹣|﹣2| D．+（﹣5）与﹣（+5） 【变式训练2】（2026•市南区校级模拟）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（﹣2）和2 B．+（﹣3）和﹣（+3） C．和﹣（﹣2） D．﹣（﹣5）和﹣|+5| 题型六：绝对值的意义 【典例精讲】（2025秋•青羊区校级期末）已知abc＞0，则的值为　　 ． 【变式训练1】（2025秋•凤城市期末）已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是　　 ． 【变式训练2】（2025春•绥棱县校级期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． [解决问题]解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， 则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0， 则1（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值． 题型七：利用绝对值比较大小 【典例精讲】（2025秋•长海县期中）比较大小：﹣（﹣1 ） 　　 ﹣|﹣1.35|．（填“＜”、“＞”或“＝”） 【变式训练1】（2025秋•龙山区校级月考）比较与的大小． 【变式训练2】（2025秋•东昌府区校级月考）比较下列各组数的大小： （1）与； （2）与﹣0.012． 题型八：绝对值与相反数概念的理解 【典例精讲】（2025秋•博兴县期末）下列说法不正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定不小于它本身 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．任何数的绝对值都不是负数 D．任何有理数的绝对值都是正数 【变式训练1】（2025秋•大连期末）下列说法中正确的是（　　） A．-6是相反数 B．+6是相反数 C．正数与负数互为相反数 D．任何一个数都有相反数 【变式训练2】（2025秋•新罗区校级月考）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．绝对值最小的数是0 C．绝对值等于自身的数只有0和1 D．相反数等于自身的数只有0 题型九：绝对值的几何意义 【典例精讲】（2025秋•雁塔区校级期末）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　　 ，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　　 ，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是　　 ． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　　 ，如果|AB|＝2，那么x是　　 ． （3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　　 ． 【变式训练1】（2025秋•龙马潭区期末）【阅读理解】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，根据绝对值的定义，|a|表示数轴上表示数a的点与原点的距离，那么数轴上两点A、B表示的数为a、b，则点A与点B之间的距离为AB＝|a﹣b|．例如：|a﹣2|的几何意义是数轴上数a所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|a+1|＝|a﹣（﹣1）|，所以|a+1|的几何意义就是数轴上数a所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 【问题解决】如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． （1）求AB的值； （2）若点M在A、B之间，求|m+4|+|m﹣8|的值； （3）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值． 【变式训练2】（2025秋•芜湖期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　　 ． 题型十：利用绝对值的几何意义求未知数的值 【典例精讲】（2026•望奎县校级二模）若|m|＝|﹣1|，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 【变式训练1】（2026•南沙区一模）若|a|＝2，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．±2 【变式训练2】（2026•海门区校级模拟）若|﹣7|＝﹣a，则a的值是（　　） A．7 B．﹣7 C． D． 一、选择题 1．（2026•长清区模拟）绝对值等于3的数是（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．3或﹣3 2．（2026•仓山区三模）下列各数是2026的相反数的是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 3．（2026•平房区二模）﹣（﹣7）的相反数是（　　） A．7 B．﹣7 C． D． 4．（2026•兰州校级模拟）﹣|﹣5|的值是（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 5．（2026•桥东区一模）若m与n互为相反数，则2（m+n）+3＝（　　） A．﹣5 B．3 C．﹣1 D．1 二、填空题 6．（2025秋•温岭市期末）已知点A在数轴上的位置如图所示，则点A所表示的数的绝对值为　　 ． 7．（2025秋•天津期末）的相反数是　　 ；﹣3.9的绝对值是　　 ． 8．（2025秋•洪湖市期末）一个数的相反数是最小的正整数，这个数是 　　 ． 9．（2025秋•仁寿县期末）化简﹣（+8）＝　　 ． 10．（2025秋•周村区期末）﹣[+（﹣2）]＝　　 ． 11．（2025秋•广元校级月考）化简：﹣（﹣|﹣7|）＝ 　　 ． 12．（2025秋•东海县月考）的相反数与绝对值的和等于　　 ． 13．（2025秋•青龙县期末）若|a﹣4|+|b﹣6|＝0，则2a﹣b＝ 　　 ． 三、解答题 14．（2025秋•福海县月考）化简下列各数． （1）+（﹣100）； （2）； （3）； （4）． 15．（2025秋•图木舒克校级月考）化简下列各数： （1）﹣（+3.5）＝　　 ； （2）﹣（﹣11）＝　　 ； （3）　　 ； （4）﹣[+（﹣5.8）]＝　　 ． 16．（2025秋•德州月考）化简： （1）﹣（+7）＝　　 ； （2）+（﹣3.7）＝　　　 ； （3）﹣（﹣2019）＝　　 ； （4）　　 ； （5）+[﹣（﹣8）]＝　　 ； （6）　　 ； （7）　　　 ； （8）　　　 ； （9）　　 ； （10）　　　 ； （11）　　 ； （12）　　 ． 17．（2025秋•朝阳区校级月考）将下列各数在数轴上表示出来并用“＜”连接起来． ﹣（﹣1），+3.5，﹣|﹣3|，0，﹣2，150% 18．（2025秋•太和县月考）已知|x+4|+|y﹣7|+|z﹣3|＝0． （1）求x，y，z的值； （2）求|x|+|y|+|z|的值． 19．（2025秋•梁园区月考）某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检验结果如下表． 型号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 长短/mm +0.5 ﹣0.2 +0.2 +0.1 ﹣0.3 ﹣0.2 （1）哪个零件的质量最好，请用绝对值的知识进行说明． （2）若规定与标准直径相差不大于0.2mm为合格产品，则这6件产品中有哪几件产品不合格？ 20．（2025秋•开鲁县月考）如下图所示，在数轴上，a，b，c对应的数，且b和c到原点距离相等，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）如果a，b，c对应的数分别为﹣3.7、﹣2.5、+2.5，则数轴上表示5与a的两点之间的距离是　　　 ；表示﹣4和c两点之间的距离是　　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，则a到c的距离是　　 ． （2）确定符号：a﹣b　　　 0，c﹣b　　　 　 0，b+c　　　 　 0，a﹣c　　　 　 0； （3）化简：|a|+|b|+|c| 21．（2025秋•怀仁市月考）阅读下列材料： 当a＞0时，如a＝3，则|a|＝3＝a，此时a的绝对值是它本身； 当a＝0时，|a|＝0，此时a的绝对值是0； 当a＜0时，如a＝﹣3，则|a|＝3＝﹣a，此时a的绝对值是它的相反数． 综上可得，． 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： （1）比较大小：|﹣5|　　 5，|3|　　 ﹣3；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）请仿照上述分类讨论的方法，分析|a|与﹣a的大小关系． 22．（2025秋•广元校级月考）在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． [尝试运用] （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数﹣5，﹣1，3，那么点A到点B的距离是 　　 ，点A到点C的距离是　　 （直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣3，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 　　 （用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】 （3）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝8的x的所有值是 　　 ； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 　　 ；当x的值在 　　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是2，当x的值取3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是　　 ； （4）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值． 23．（2025秋•抚州校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|；那么，表示﹣3和2两点之间的距离是　　 ； （2）如果数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，并计算这些点表示的数的和． 24．（2025秋•高新区校级月考）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，|x﹣2|表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，|x﹣1|+|x+2|可理解为在数轴上x对应的点分别到1和﹣2所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： （1）|x﹣3|可理解为　　 与　　 在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）请你结合数轴探究： ①|x﹣3|+|x+2|的最小值是　　 ； ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的最小值为　　 ； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $