期末复习提升专题训练：用样本估计总体-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 聚焦用样本估计总体，通过数字特征计算与频率分布直方图应用，系统构建从样本到总体的估计方法体系，培养数据观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字特征计算|5题（1,2,5,7,8）|平均数/方差/百分位数计算，数据变换对数字特征的影响规律|从样本数据到数字特征，理解集中趋势与离散程度的概念生成| |频率分布直方图应用|3题（4,6,10）|频率估算、中位数/众数确定、百分位数求解步骤|通过图形直观表达数据分布，建立图表与数字特征的关联| |分层抽样与总体估计|2题（3,9）|分层抽样中总体方差合成方法，样本估计总体的实际应用|从分层样本到总体推断，体现统计推断的逻辑链条|

专题　用样本估计总体 1.甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数及其标准差s如表所示,则选送决赛的最佳人选应是(　　) 选手 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s 2.5 2.5 2.8 3 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.某班经典阅读小组有5名成员,暑假期间他们每个人阅读的书本数分别为3,5,4,2,1,则这组数据的上四分位数为(　　) A.2 B.3 C.3.5 D.4 3.某学校高一、高二年级共1 000人,其中高一年级400人,现按照年级进行等比例分层随机抽样调查学生身高,得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为165 cm,170 cm和样本标准差分别为3,4,则总体方差s2=(　　) A.18.5 B.19.2 C.19.4 D.20 4.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:h),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据频率分布直方图,估计这200名学生每周的自习时间数据的第30百分位数为(　　) A.22 B.21.25 C.22.5 D.25 5.(多选题)给定一组数5,5,4,3,3,3,2,2,2,1,则(　　) A.平均数为3 B.众数为2和3 C.方差为 D.第85百分位数为4.5 6.(多选题)某学校有1 000名学生,为更好地了解学生数学学习情况,随机抽取了100名学生进行测试,测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的有(　　) A.频率分布直方图中a的值为0.005 B.估计这100名学生成绩的中位数约为77 C.估计这100名学生成绩的众数为80 D.估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为160 7.一组数据的平均数是28,方差是4,若将这组数据中的每一个数据都加上20,得到一组新数据,则所得新数据的平均数是　　　　,方差是　　　　.  8.某学校高一年级共有三个班,按优秀率进行评选.一班有30人,优秀率为30%;二班有35人,优秀率为60%;三班有35人,优秀率为40%,则全年级优秀率为　　　　.  9.某公司准备盖大楼,有两块土地可供征用,但两块土地都崎岖不平,需要平整.现对每块土地确定房基基准高度,然后在两块土地上分别适当另取10点,用水平仪测得各点对基准的相对标高(单位:cm)如下表所示: 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 -45 76 47 -26 135 84 -61 -38 76 92 乙 74 120 100 -70 -44 95 63 -50 57 -25 问:哪一块土地较容易平整? 10.为了调查物理课程的学习情况,某校组织了高一年级学生进行了物理测试.根据测试成绩(总分100分),将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,其频率分布直方图如图所示. (1)求图中a的值; (2)试估计本次物理测试成绩的平均分;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (3)该校准备对本次物理测试成绩优异(将成绩从高到低排列,排在前13%的为优异)的学生进行嘉奖,则受嘉奖的学生分数不低于多少? 参考答案 1.B　平均数反映平均水平大小,标准差表明稳定性.标准差越小,稳定性越好.乙的平均数大并且标准差小,故选乙.故选B. 2.D　将样本数据从小到大排列依次为1,2,3,4,5.因为5×75%=3.75,所以这组数据的上四分位数为4.故选D. 3.B　高一与高二学生数之比为2∶3,总体样本平均数为165+170=168(cm), s2=[(165-168)2+32]+[(170-168)2+42]=19.2.故选B. 4.C　由频率分布直方图可知,区间[17.5,20)对应的频率P1=2.5×0.02=0.05,区间[20,22.5)对应的频率P2=2.5×0.1=0.25,P1+P2=0.3,0.3处对应自习时间值恰为22.5,故这200名学生每周的自习时间数据的第30百分位数为22.5.故选C. 5.ABC　选项A,此组数据的平均数为(5+5+4+3+3+3+2+2+2+1)=3,故A正确; 选项B,此组数据中3出现3次,2出现3次,5出现2次,4出现1次,1出现1次,则此组数据的众数为2和3,故B正确; 选项C,此组数据的方差为[(5-3)2×2+(4-3)2+(3-3)2×3+(2-3)2×3+(1-3)2]=,故C正确; 选项D,将此组数据从小到大排列为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,10×85%=8.5,但8.5不是整数,则第85百分位数为第9个数字5,故D错误.故选ABC. 6.AB　对于A,由频率分布直方图的性质得 (2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,解得a=0.005,故A正确; 对于B,因为中位数就是频率分布直方图面积的一半所对应的值, 由频率分布直方图易知,中位数应在70~80之间, 不妨设为70+x,于是可得10×(2a+3a)+7a·x=0.5,因为a=0.005,解得x≈7.14, 于是这100名学生成绩的中位数为70+x≈77,故B正确; 对于C,估计这100名学生数学考试成绩的众数为=75,故C错误; 对于D,估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为3×0.005×10×1 000=150,故D错误. 故选AB. 7.48　4　设该组数据为x1,x2,…,xn,则新数据为x1+20,x2+20,…,xn+20. 因为=28, 所以'=+20=28+20=48. 因为s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2], 所以s'2={[x1+20-(+20)]2+[x2+20-(+20)]2+…+[xn+20-(+20)]2}=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=s2=4. 8.44%　依题意得,全年级优秀率为 100%=44%. 故答案为44%. 9.解 [-45+76+47+(-26)+135+84+(-61)+(-38)+76+92]==34, [(-45-34)2+(76-34)2+(47-34)2+(-26-34)2+(135-34)2+(84-34)2+(-61-34)2+(-38-34)2+(76-34)2+(92-34)2]=43 812=4 381.2. [74+120+100+(-70)+(-44)+95+63+(-50)+57+(-25)]==32, [(74-32)2+(120-32)2+(100-32)2+(-70-32)2+(-44-32)2+(95-32)2+(63-32)2+(-50-32)2+(57-32)2+(-25-32)2]=4 5840=4 584. 因为,所以甲块土地比较容易平整. 10.解 (1)由(0.005+0.010+0.015×2+a+0.030)×10=1,解得a=0.025. (2)45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.1=71,故本次物理测试成绩的平均分为71. (3)设受嘉奖的学生分数不低于x分,因为[80,90),[90,100]对应的频率分别为0.15,0.1,所以(90-x)×0.015+0.1=0.13,解得x=88,故受嘉奖的学生分数不低于88分. 5 学科网（北京）股份有限公司 $