期末复习提升专题训练：向量数量积的坐标表示-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 聚焦向量数量积坐标运算，通过分层训练构建从基础计算到几何应用的知识逻辑链，强化运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础达标|6题|坐标运算、模与夹角计算、垂直判定|从坐标表示直接应用到数量积性质初步辨析| |能力提升|3题|参数范围求解、综合垂直问题|深化数量积与向量模、夹角的关联，培养推理意识| |拓展探究|1题|平面几何建模与最值|几何问题向量化，体现模型意识与应用能力|

专题　向量数量积的坐标表示 A层 基础达标练 1.若向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　) A.1 B.-1 C.-6 D.6 2.已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a与b的夹角的余弦值为(　　) A. B.- C.± D. 3.(多选题)设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列叙述正确的是(　　) A.若k=-3,则a与b的夹角为钝角 B.|a|的最小值为2 C.与b垂直的单位向量只能为 D.若|a|=2|b|,则k=±2 4.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 5.已知向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,则|a-2b|=(　　) A.8 B.4 C.10 D.8 6.已知点A(1,1),B(0,2),C(-1,-1),则上的投影向量为(　　) A.() B. (-,-) C.() D.(-,-) B层 能力提升练 7.若向量a=(2,x+1),b=(x+2,6),a和b的夹角为锐角,则实数x的取值范围为　　　　　. 8.已知向量a=(1,2),b=(2,3),若(a-λb)⊥2b,则λ=　　　　.  9.已知向量a=(1,2),b=(3,-2). (1)求|a-b|的值; (2)已知|c|=,且(2a+c)⊥c,求向量a与向量c的夹角. C层 拓展探究练 10.在平面四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,AD=4,连接AC,∠ACD=90°,∠CAD=30°. (1)求; (2)若E为线段AD上的动点,求的最小值. 参考答案 1.D　因为a=(2,-1),b=(-1,2),所以(2a+b)·a=(3,0)·(2,-1)=3×2+0=6.故选D. 2.B　由向量a+b=(2,-8),a-b=(-8,16), 得a=(-3,4),b=(5,-12),所以|a|=5,|b|=13,a·b=-63,所以a与b夹角的余弦值cos θ==-故选B. 3.AB　当k=-3时,a·b=k-2=-5<0,且a与b不共线,则a与b的夹角是钝角,所以A正确; |a|=2,当且仅当k=0时取等号,所以|a|的最小值为2,B正确; 设与b垂直的单位向量为(x,y), 则解得与b垂直的单位向量为,所以C不正确; 若|a|=2|b|,可得=2, 解得k=2或k=-2,所以D不正确.故选AB. 4.C　不妨设e1=(1,0),e2=,则a=2e1+e2=,b=-3e1+2e2=(-2,), 所以a·b=(-2,)=-,|a|=,|b|= 设a,b的夹角为θ,则cos θ==- 又0°≤θ≤180°,所以θ=120°.故选C. 5.B　因为向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,所以a·b=6-2m=0,解得m=3,所以b=(1,3),a-2b=(4,-8),所以|a-2b|==4故选B. 6.C　因为A(1,1),B(0,2),C(-1,-1), 所以=(-1,1),=(-1,-3), cos<>==-, 所以向量的夹角为钝角,因此向量上的投影向量与方向相反,而||·|cos<>|=, 所以上的投影向量为||·|cos<>|·(-)=-(-,-)=(). 故选C. 7. (-,2)∪(2,+∞)　∵a和b的夹角为锐角,∴a·b=2(x+2)+6(x+1)=8x+10>0,∴x>-,又a,b不共线,∴2×6-(x+1)(x+2)≠0,∴x≠-5且x≠2,∴实数x的取值范围为(-,2)∪(2,+∞).故答案为(-,2)∪(2,+∞). 8　因为向量a=(1,2),b=(2,3),所以a-λb=(1-2λ,2-3λ),2b=(4,6). 因为(a-λb)⊥2b,所以(a-λb)·2b=(1-2λ)×4+(2-3λ)×6=0,解得λ= 9.解 (1)因为a=(1,2),b=(3,-2),所以a-b=(-2,4),所以|a-b|==2 (2)设向量a,c的夹角为θ, 因为a=(1,2),|c|=,且(2a+c)⊥c, 所以|a|=,(2a+c)·c=0,可得2a·c+c2=0, 2|a||c|cos θ+|c|2=0,即2cos θ+10=0, 解得cos θ=- 因为θ∈[0,π],所以θ=,即向量a与向量c的夹角为 10.解 (1)如图,以B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 由于AD=4,∠ACD=90°,∠CAD=30°,故CD=2,AC=2 ∵AB=BC,∴BC=,AB=3, ∴B(0,0),C(,0),A(0,3),D(2,1), ∴=(-,0)·(,1)=-3. (2)不妨设=t(0≤t≤1), 则+t=(0,3)+t(2,-2)=(2t,3-2t), =(-,0)+(2t,3-2t)=(2t-,3-2t), ∴=2t(2t-)+(3-2t)2=16t2-18t+9=16, 故当t=时,取得最小值为 4 学科网（北京）股份有限公司 $