探究对勾函数的图象与性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕对勾函数 \( y = x + \frac{1}{x} \) 的图象与性质展开，从国家电力集团太阳能发电厂设计的实际问题导入，将围墙长度优化转化为函数最值问题，通过问题探究链逐步引导学生研究定义域、奇偶性、单调性等性质，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 其亮点在于以真实情境和递进式问题驱动探究，结合描点法作图与信息技术观察图象，渗透数形结合思想，体现用数学眼光观察现实、用数学思维推理论证的核心素养。例如通过表格发现 \( f(x) = f(\frac{1}{x}) \) 规律，利用奇偶性简化研究，培养学生抽象能力与理性精神，助力学生建立知识联系，教师可提升教学针对性。

情景引入 国家电力集团为了利用开发太阳能，计划在西部平坦的戈壁上建造一个占地面积达的长方形太阳能发电厂，为了缩减成本，要怎样设计才能使长方形围墙的长与宽之和最短？ 求:的最小值？ 设长为： ,宽为： 1 km2 问题探究 问题1 当x为何值时，函数有最小值?最小值为多少？ 解： ， 当且仅当，即，等号成立 追问 当x为何值，函数有最小值？最小值为多少？ 在初中，我们知道y=x是正比例函数，是反比例函数.学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数.不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数.那么，将这两个函数相加构成的函数有哪些性质?这些性质与这两个函数的性质有联系吗? 探究函数的图象 与性质 探究与发现 问题探究 问题2 你认为可以从哪些方面研究这个函数？ 图象 （数） （形） 研究内容 定义域 值域 单调性 奇偶性 …… 追问 按照怎样的路径研究这个函数？ 解析式 部分性质 简化作图 猜想性质 代数论证 应用 问题探究 问题3 观察函数的表达式，你能快速得到什么性质？ 函数类型 定义域   值域   奇偶性   单调性 奇函数 利用对称性，我们可以简化对它的研究 问题4 请同学们完成如下的值对应表，并用描点法画出函数在第一象限内的图象. 问题探究 x … … y … … 观察表格，你能发现什么规律？ 问题探究 问题5 利用信息技术软件，得到函数在第一象限内的图象,观察第一象限的图象，你能发现什么性质？ 追问 你能证明你的发现呢？ 对勾函数/双勾函数 耐克函数 请将你的发现填写在以下表内： 问题探究 函数类型 定义域   值域   奇偶性   单调性 奇函数 问题探究 问题6 你能利用函数和的图象变化趋势说明函数的图象变化趋势吗？ 学以致用 国家电力集团为了利用开发太阳能，计划在西部平坦的戈壁上建造一个占地面积达的长方形太阳能发电厂，为了缩减成本，要怎样设计才能使长方形围墙的长与宽之和最短？ 追问 当x为何值，函数有最小值，最小值为多少？ 课堂小结 1.我们是从哪些方面研究函数的，又是按照什么路径来研究的？ 2.函数的图象和性质是什么？ 3.你能类比研究图象和性质的路径来函数的图象与性质吗？ 数形结合 类比 数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观，形缺数时难入微。” 极限 $