专题08平行四边形期末易错压轴专项训练(18大题型共计59道)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形全章高频易错与压轴题型，通过典题特征、易错点梳理及解题思路提炼，构建从性质判定到综合应用的系统性突破体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质与判定|6模块/18题|性质应用抓边角对角线关系，判定聚焦边、角、对角线条件组合|从概念辨析（如对角线性质）到定理应用（添条件、证明），形成“性质→判定→综合应用”逻辑链| |中位线|2模块/6题|中位线“平行且半长”性质，结合倍分关系转化线段|衔接三角形与平行四边形，强化图形间线段关系推导| |压轴综合|6模块/18题|最值用轴对称/垂线段最短，动点用代数式表示线段，存在性问题分类讨论对角线|融合几何变换（折叠）、动态问题与坐标系，培养模型意识与综合解题能力|

专题08平行四边形期末易错压轴专项训练 本专练聚焦平行四边形全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈 易错01.平行四边形的性质求解 易错02.平行四变形的性质证明 易错03.数图形中平行四边形的个数 易错04.添条件成为平行四边形 易错05.判断能否成为平行四边形 易错06.证明四边形是平行四边形 易错07.已知三点求平行四边形顶点个数 易错08.平行四边形判定与性质求解 易错09.平行四边形判定与性质证明 易错10.三角形中位线求解问题 易错11.三角形中位线证明问题 压轴12.平行四边形与最值问题 压轴13.平行四边形与动点问题 压轴14.平行四边形与折叠问题 压轴15.平行四边形与坐标系综合 压轴16.多结论判断题 压轴17.平行四边形与中位线综合 压轴18.平行四边形存在性问题 易错01.平行四边形的性质求解 典题特征：已知平行四边形边长、角度、对角线部分长度，求未知边长、内角度数、线段长度、周长或面积。 易错点：①混淆性质，误认为平行四边形对角线相等；②记错邻角互补、对角相等，角度计算出错；③忽略对角线互相平分，线段拆分计算失误。 1．如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为________． 【答案】15 【分析】由平行四边形的性质得，平行线与角平分线相结合，根据等角对等边可证，，由此可解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ． 2．如图，在中，于点，交的延长线于点．若，，且的周长为30，则的面积为（     ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】根据平行四边形周长可得邻边之和，利用面积法建立邻边之间的数量关系，联立求解即可得出边长，进而求得面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 的周长为30， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 3．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2)16 【分析】（1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得． 易错02.平行四边形的性质证明 典题特征：以平行四边形为背景，证明线段相等、线段平行、角相等。 易错点：①推理步骤跳步，缺少平行四边形的前提条件；②误用性质，强行套用对角线相关结论；③平行线、全等三角形结合时，等量关系推导错误。 4．如图，中，于点，于点．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】利用平行四边形的性质求得，，由垂直的定义求得，再利用证明，即可得到． 【详解】证明：略． 5．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作于点G，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，可得，，进而判定，再利用全等三角形的性质可证四边形为平行四边形． （2）根据线段的和差，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理，得， ∴． 6．如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，得，由是的中点，得，即可通过证明，根据全等三角形的性质得到，结合，得到，则可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得到结论． 【详解】证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 易错03.数图形中平行四边形的个数 典题特征：给出由多个小平行四边形拼接而成的组合图形，统计全部平行四边形数量。 易错点：①无顺序计数，出现重复数、漏数；②只数单个图形，漏掉组合形成的大平行四边形。 7．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义即可求解． 【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、 GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形， 共9个， 故选：C． 【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 8．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另外两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可以画（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：如图所示，最多能画5个平行四边形， 9．如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据两组对边分别平行的判定条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一分析． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∵ ∴可以通过选择两条平行于的线段和两条平行于的线段来构成新的平行四边形 ∴图中的平行四边形有： 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 ∴共有个平行四边形． 故选：D． 易错04.添条件成为平行四边形 典题特征：已知四边形部分条件，补充一个条件，使图形判定为平行四边形。 易错点：①添加无效条件，如仅“一组对边相等”；②混淆判定定理，添加矩形、梯形专属条件；③忽略题干已有条件，补充重复条件。 10．已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】平行四边形一般有五种判定方法，①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；本题根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加， ∵四边形中，， ∴四边形为平行四边形． 添加， ∵四边形中，， ∴四边形为平行四边形． 11．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 12．如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（     ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④ 【答案】C 【分析】根据已有条件：，结合平行四边形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：如图，已有条件：， ①添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ③添加，根据可得， 又， ∴， ∴， ∴可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ④添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； 综上：C符合题意． 易错05.判断能否成为平行四边形 典题特征：给出一组边、角、对角线的条件，判断依据现有条件能否判定为平行四边形。 易错点：①误将“一组对边平行，另一组对边相等”判定为平行四边形；②对角线条件区分不清，把对角线相等当作判定依据；③条件理解片面，仅凭局部特征下结论。 13．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A选项：， 四边形有一组对边互相平行，且互相平行的对边相等， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知访四边形一定是平行四边形， 故A选项符合题意； B选项：， 四边形有一组对边互相平行， 只有一组对边平行， 不能说明该四边形是平行四边形， 故B选项不符合题意； C选项：一组对边相等，另一组对边不一定相等， 不能说明该四边形是平行四边形， 故C选项不符合题意； D选项：， 四边形有一组对边互相平行， 又， 另一组对边不平行， 不能说明该四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意． 14．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，当，时，四边形是平行四边形，故D选项符合题意； A，B，C选项均无法判定四边形是平行四边形． 15．下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项，找出无法判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：选项：，，满足该条件的四边形可以是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 选项：，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：， ， 又， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 易错06.证明四边形是平行四边形 典题特征：结合平行线、全等三角形、线段等量关系，完整证明四边形为平行四边形。 易错点：①判定定理混用，条件与定理不匹配；②证明过程条件不足，强行得出结论；②书写格式不规范，推理逻辑混乱。 16．如图，四边形中，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 17．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加适当的条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． 【答案】解：可以添加条件：，理由如下： ∵的对角线与相交于点O， ∴， 又∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形．（答案不唯一） 【分析】从对角线的角度添加条件即可；利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可说明理由． 【详解】略 18．如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出，进而得出，同理可得，即可得出四边形为平行四边形． 【详解】证明：，为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ． 又为等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，得出是解题关键． 易错07.已知三点求平行四边形顶点个数 典题特征：平面内给出三个定点，找出第四个顶点，使四点构成平行四边形，统计点的数量。 易错点：①分类不全，只考虑一种构图情况，漏解；②重复计算同一个顶点；③不会区分以不同线段为对角线分类讨论。 19．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 20．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 21．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 易错08.平行四边形判定与性质求解 典题特征：先判定四边形为平行四边形，再利用性质计算边长、角度、线段长。 易错点：①判定环节出错，导致后续计算全部错误；②判定与性质衔接断裂，不会转化等量关系；③计算时忽略图形隐含限制条件。 22．如图，过的对角线上一点M分别作平行四边形两边的平行线与，若图中的的面积 的面积，则 ______． 【答案】300 【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形、，证，得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，相减即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，，， 四边形、是平行四边形， 在和中， ， ， 即和的面积相等； 同理和的面积相等，和的面积相等， 故四边形和四边形的面积相等，即． ， ， 23．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接、，若已知，且，则的面积为（   ） A．3 B．12 C．15 D．24 【答案】B 【分析】证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，且， ∴， ∵点在上， ∴． 24．如图，已知四边形是平行四边形，分别延长，至点，，使得，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，得到，，根据得到，即可得证； （2）由四边形是平行四边形，得到，，推出，，根据得到，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ． 易错09.平行四边形判定与性质证明 典题特征：先证四边形是平行四边形，再借助其性质完成线段、角度相关证明。 易错点：①判定定理选择不当，增加推理难度；②前后结论不会衔接，中间推导断层；③符号、等量代换出现低级错误。 25．如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，、分别在、上移动，且，则下列为定值的是（     ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 【答案】C 【分析】证明四边形，四边形是平行四边形，再进一步分析即可. 【详解】解： 在中，、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， 四边形，四边形是平行四边形， ∴与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项C正确； 选项A、D：、、、随、移动变化，线段长度，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 26．如图，平行四边形的对角线，交于点，，在上，，在上，，． 求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ，， 又， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， ． 【分析】由于四边形是平行四边形，则，，根据，，利用等式性质易得，，进而可证四边形是平行四边形，从而有． 【详解】略 27．如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，等量代换思想求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错10.三角形中位线求解问题 典题特征：已知三角形边长、周长，利用中位线定理求中位线长度、新图形周长、面积。 易错点：①记错中位线性质，混淆“平行”和“长度等于底边一半”两个结论；②多个中位线叠加计算时，线段关系梳理混乱；③面积比例计算出错。 28．如图，已知等边的周长为，点D．分别是边、的中点，连接，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 是等边三角形，且周长为 ， ， 分别是边的中点 ， 是的中位线 ， ． 29．如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】延长交于点M，构造等腰三角形，利用中位线定理得出线段长度． 【详解】解：如图，延长交于点M， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴为的中位线， ∴． 30．如图，在中，点在上，点是线段的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若点为的中点，，求的度数． 【答案】(1)证明：点是线段的中点， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由中点的性质得到，再由证明三角形全等； （2）根据已知可证为的中位线，得到，由平行线的性质结合全等的性质等量代换可得，即可得解． 【详解】（1）略； （2）解：当点为的中点时， 为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ． 易错11.三角形中位线证明问题 典题特征：借助三角形中位线，证明线段平行、线段倍分关系。 易错点：①不会准确找出中位线对应的三角形和底边；②倍分关系表述颠倒；③证明时未说明中点条件，直接套用中位线定理。 31．如图，在四边形中，已知，M、N、P分别是、、的中点，，，则的度数为 ___________． 【答案】/23度 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：、N、P分别是、、的中点， 为的中位线，为的中位线， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 32．如图，的对角线交于点O，平分交于点E，且连接．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、中位线的性质，解本题的关键在证得是等边三角形． 利用平行四边形的性质可得，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 平分， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴，故①正确； ， ， ， ∴，故②正确； ， ∴是的中点， ，故③错误； ， ， ， ，故④正确， 故正确的个数有3个， 故选：C． 33．如图，平分，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，为边的中点，连接．求证：． 【答案】见解析． 【分析】延长，交于点，证明，所以，即为边的中点，从而可得是的中位线，然后通过中位线的性质即可求证． 【详解】证明：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为边的中点， ∵为边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 压轴12.平行四边形与最值问题 典题特征：平行四边形背景下，动点沿线段运动，求线段长、线段和、周长的最大值或最小值。 解题思路：①结合轴对称、垂线段最短确定取最值的位置；②利用平行四边形性质转化线段；③代入数据计算最值，验证取值合理性。 34．如图，在中，，分别是上的动点，连接分别为、的中点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】连接，过点D作于点T．证明，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点T． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别为的中点， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 35．如图所示，在平行四边形中，，，点，分别是，边上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含30度的直角三角形，勾股定理，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接，过点D作于点G，由三角形中位线定理可得，即当时，即点M在G位置时，有最小值，此时最小，根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，求出，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点D作于点G， 点为的中点，点为的中点，， 是的中位线， ， 当时，即点M在G位置时，有最小值，此时最小， ∵在中，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为： 36．如图，在中，，，，为边上的动点，平分，交于，过作于，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识.解题的关键是作辅助线构造直角三角形，将转化为，从而将的最小值转化为线段的长． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，，过点作于点， 在中，，， ， ， ； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ； 平分， ， ， ， ， ； ， 为的中点， ，，， ， 为的中点， ， 垂直平分， ， ， ， 当，，三点共线时， 取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ， 的最小值为． 37．已知点D与点，，是平行四边形的四个顶点，则长的最小值为_______． 【答案】 【分析】讨论两种情形：①是对角线，②是边．是对角线时直线时，最小．是边时，，通过比较即可得出结论． 【详解】解：有两种情况：当为对角线时，记交于点F， ∵，设直线表达式为：， 则代入点C得：， ∴, 点C在直线上， 延长交x轴于点G，取中点H，连接， ∵点F是平行四边形对角线交点， ∴F为中点，，∴为的中位线， ∴，， ∴， 当时，最短， 由可知点C与点O的水平距离和铅锤距离均是， ∴，∴当时， ∴为等腰直角三角形， ∴，则， 设直线表达式为：，代入 得，∴， ∴直线表达式为：， 联立得：，解得， ∴， ∴， ∴最小值为； 当为平行四边形边时，则， 综上，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、垂线段最短，勾股定理等知识，学会分类讨论是解题的关键，灵活运用垂线段最短解决实际问题，属于中考常考题型． 压轴13.平行四边形与动点问题 典题特征：点在线段、射线上匀速运动，伴随线段、角度变化，设置计算、证明、分类讨论问题。 解题思路：①用含时间/路程的代数式表示动线段长度；②分阶段讨论动点位置；③结合平行四边形性质列等式、不等式求解；④汇总所有情况写出答案。 38．如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为________ 【答案】1 【分析】先推导出图形变化规律可知：当增大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大，进而求出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ， ∴， 由图形变化规律可知：由，，得为等腰三角形， ∴当变大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大， ∵动点，分别在边，上， ∴时，取得最大值，，， 此时， ∴． 39．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边、上的动点，其中点H不与点C重合，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得是的中位线，即，当取最小值时，则也为最小，则当时，取最小，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最小值时，则也为最小， ∴当时，取最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为． 40．如图，在中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设与交于点，以对角线交点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，将转化为两点间的距离，从而求得最小值． 【详解】解：设与交于点， 根据平行四边形性质，，， 以对角线交点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系：，，，，， 设， 则， 是平行四边形， ，， ， ， ， 则，可表示轴上动点到定点、的距离， 即， 当 、、三点共线时，取得最小值， ， 取得最小值． 41．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，当点P运动到的中点处时，的长为______， 的面积为______． 【答案】 6 【分析】图1和图2中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，然后利用勾股定理求出高，再由三角形中线等分面积即可求解． 【详解】解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，，    当点P从点A到点B时，对应图2中线段，得， 当点P从B到D时，对应图2中曲线，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， ∴， ∴在中，， ∴， 当点运动到的中点处时，． 压轴14.平行四边形与折叠问题 典题特征：将平行四边形沿某条直线折叠，产生重合线段、相等角，求解边长、角度、线段长度。 解题思路：①根据折叠性质，确定对应边、对应角相等；②结合平行四边形边角关系梳理等量；③利用勾股定理、方程思想列式计算。 42．如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则______． 【答案】10 【分析】由折叠得到，利用平行线的性质得到，进而得到，等边三角形的性质，结合三角形的外角推出，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵平行四边形纸片， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 43．将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 【答案】6 【分析】由题意易得，，则有，然后通过折叠的性质可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． 由第一次折叠可得， ∴， ∴． 由第二次折叠可得， ∴， ∴． ， ∴， ∴． ， ∴． ， ∴， ∴． 44．如图，在平行四边形纸片中，，，是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作，交的延长线于点，连接，根据平行四边形的性质，再根据三角形三边之间的关系可知当点共线时最小，然后根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，连接， 四边形是平行四边形，， ，． ，点是线段的中点， ，． 根据折叠的性质得． 根据三角形三边之间的关系，可得， 当点，，共线时，最小， ，， ， ． ，， ， ． ， 最小值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，折叠的性质等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 45．如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是对角线的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴； (2)证明：如图，延长交的延长线于，延长交的延长线于， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∴，即， 同理可得：， ∵， ∴， ∴，， ∴ 由（1）可得：， ∴， ∴，即， ∴； (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，证明，得出，由折叠的性质可得，即可得证； （2）延长交的延长线于，延长交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，，，证明，得出，，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，从而得出，即可得证； （3）过点作交的延长线于，过点作于，连接，求出，，从而即可得出，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，求出，证明是等腰直角三角形，得出，，再求出，最后由直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作交的延长线于，过点作于，连接，设交于点P， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于，则，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为． 压轴15.平行四边形与坐标系综合 典题特征：平面直角坐标系内给出顶点坐标，求未知点坐标、边长、面积，或判定图形形状。 解题思路：①利用坐标求线段长度、直线平行关系；②结合平行四边形对边平行且相等，列坐标等式；③分类讨论顶点位置，求出全部符合条件的坐标。 46．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行于x轴，点M的坐标是，点的坐标是，则点N的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得点、点的纵坐标相同，即，从而可得，再由平行四边形的性质并结合题意可得点、点关于点成中心对称，由此求解即可． 【详解】解：∵平行于x轴，点M的坐标是，点F的坐标是， ∴点、点的纵坐标相同，即， ∴， ∵在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点， ∴点、点关于点成中心对称， ∴点N的坐标是． 47．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，且，．将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质求得，进而根据旋转规律可得在旋转过程中点每次一循环．得出第次旋转结束时，点与点关于原点对称，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∵每次旋转，，故在旋转过程中点每次一循环． ， 故第次旋转结束时，点与点关于原点对称， 故点． 48．如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】先根据作图判断平分，再结合平行四边形的性质证明，轴，进而设，结合勾股定理，利用建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据作图可知：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点，点在轴的正半轴上， ∴轴，即轴， ∵， ∴设， ∴，， ∵， ∴，解得 ∴． 49．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点．点为直线上一动点，连接，过点O作，，以，为一组邻边构造平行四边形．连接，P点横坐标为t，用含t的代数式表示Q点坐标为_________，线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】先求出、两点的坐标，再根据旋转的性质得到点的坐标，点P在直线上移动，绕点O顺时针旋转得线段，所以点Q运动轨迹也是一条直线，然后根据A，B两点确定点Q运动轨迹的两点可得出该解析式和点H坐标，最后再根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：对于直线，令，可得，所以； 令，可得，解得，所以． 设，因为线段绕点顺时针旋转得到线段，所以，且， 过点作轴于点，过点作轴于点，则， 因为，， 所以， 在和中， ， 所以 ． 则，，所以， ∵始终为， 当点P移动到B点的位置时，点Q坐标为， 当点P移动到A点的位置时，点Q坐标为， 设点M坐标为，点N坐标为， 连接，设该直线的解析式为， 代入点M、点N，得：， 解得， ∴， 设， ∴由平行四边形的性质可得：， ∴ ， ∴当时，的值最小， ∴， 所以，线段的最小值为． 压轴16.多结论判断题 典题特征：结合图形变换、线段、角度关系，给出多个结论，判断正误。 解题思路：①逐一分析每个结论，结合平行四边形性质、全等、平行线知识推导；②对假结论举出反例；③最终统计正确结论个数。 50．如图，在中，，于点E，于点F，、交于点N，、的延长线交于点M．给出下面四个结论： ①；②点C是的中点；③；④当时，． 上述结论中，正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】由题意易得，，则有，然后可得是等腰直角三角形，，进而可得，最后依次排除选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 当时，， ∴，， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴，即点C是的中点，故②错误，需在这个前提条件下成立； 综上所述：正确结论的序号是①③④． 51．在中，对角线交于点平分交于，交于点，连接为上一点，连．下列结论：①；②；③若，则的面积为；④当时，的最小值为9；其中结论正确的序号为（   ） A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】证明是等边三角形，从而证明，可以判断①正确；根据平行四边形的性质可以判断②正确；过点O作于点M，求出，易证是的中位线，得到，，求出，过点O作于点M，求出，即可判断③正确；作点O关于的对称点Q，连接交于点N，连接交于点，故当G与点N重合时，取得最小值，根据勾股定理求解可以判断④正确． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，故①正确； 四边形是平行四边形，， ∴，故②正确； ③， ， ， ∴是的中位线， ，， ， ， ， 过点O作于点M， ， ∴， 的面积为，故③正确； 当时，则， ， ， ， 作点O关于的对称点Q，连接交于点N，连接交于点H， 故当G与点N重合时，取得最小值， 根据题意，得，， 延长交于点P，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 的最小值为9，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④． 52．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由于底边AC是已知的，因此先求出底边AC上的高，根据三角形的面积公式，即可判断结论①；由条件可知A，B为定点，E为动点，首先确定点的运动轨迹为一条直线，进而把问题转化为“将军饮马”模型，由此可判断结论②；根据点的运动轨迹，利用垂线段最短求出的最小值，继而判断结论③． 【详解】解：对于结论①，如图1所示，过点E作于点J，则， ∵ 四边形是平行四边形， ∴ , ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ (AAS)， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积不变，故结论①符合题意； 对于结论②，如图2，过点E作， 由上面已知， ∴ 点到直线的距离为， ∴ 点在直线上运动． 作点关于直线上的对称点，连接，，设交直线l于点T，交直线l于点F,则当点E和点F重合时取得最小值，最小值为的长，且易知点C在上． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在中，， ∴ 的最小值为，故结论②不符合题意； 对于结论③，∵ 点在直线上运动， ∴ ， ∴的最小值为，故结论③符合题意； 综上可知，结论①③符合题意． 压轴17.平行四边形与中位线综合 典题特征：图形同时包含平行四边形和三角形中位线，融合证明、计算类问题。 解题思路：①先用中位线定理得到平行、倍分关系；②结合平行四边形性质转化边角条件；③分步完成推理或计算。 53．如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 【答案】10 【分析】由平行四边形的性质得点是的中点，得出是的中位线，由中位线的性质得，进而即可求解． 【详解】解：在中，对角线和相交于点， 点是的中点， 点是边的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长为． 54．如图，平行四边形中，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．4 【答案】A 【分析】证明，三角形的中位线定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果. 【详解】解：∵平行四边形中，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F，G分别是和的中点，，， ∴， ∴. 55．如图，在中，为上一点，过作直线交于点，交于点，，为的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平行四边形的性质推出，再结合全等三角形的判定与性质证明是的中点，最后利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴，即为的中点． ∵为的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． 56．如图、在中，点E在上，． (1)若平分，求的面积． (2)若点E是的中点，点F是的中点，连接交于点G．求的长． 【答案】(1)32 (2)2 【分析】（1）作于F，根据可知长度，根据角平分线以及平行线的性质可知，进而可用面积公式求解； （2）取DE中点H，连，可证是平行四边形，根据三角形的中位线以及平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）作于F， ， 平分， ∴, ， ， ， （2）取DE中点H，连，则． ∵点F是的中点，点H是的中点， ∵点E是BC的中点，， ∴是平行四边形， ． 压轴18.平行四边形存在性问题 典题特征：已知部分定点、定直线，探究是否存在动点，使四点构成平行四边形，求点坐标或线段长。 解题思路：①分类讨论，分别以已知任意两点连线为平行四边形对角线；②根据平行四边形对角线互相平分、对边相等列方程；③求解并检验，排除不符合题意的点。 57．如图，是平行四边形的边的中点，，点从点出发沿射线以的速度匀速运动，连接，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则点运动的时间是______秒． 【答案】 或 【分析】设运动时间为秒，根据平行四边形的性质得出且，由中点定义得出，根据平行四边形的判定定理可知当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分点在线段上和点在的延长线上两种情况列方程求解即可． 【详解】解：设点运动的时间是秒，则， 四边形是平行四边形， ，， 点是的中点， ， 点在射线上， ， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 分两种情况讨论： 当点在线段上时，， ， 解得； 当点在的延长线上时， ， ， 解得； 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点运动的时间是秒或秒． 58．如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止，同时点也停止，在运动以后，以、、、四点组成平行四边形的次数有______________次． 【答案】3 【分析】根据当时，那么以、、、四点组成平行四边形，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形， 的速度是秒， 两点运动的时间为秒， 当点的运动路线是，，此时方程，此时不符合题意； 当点的运动路线是，，解得； 当点的运动路线是，，解得； 当点的运动路线是，，解得． ∴在运动以后，以、、、四点组成平行四边形的次数有次． 59．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线交轴负半轴于点，且． (1)点的坐标为__________，直线的表达式为__________． (2)为直线上一动点，在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）先将点代入，求出直线的表达式，进而求出点的坐标，利用勾股定理求出，结合求出点的坐标，最后使用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）以点的对角顶点分三类讨论，结合平行四边形的性质和中点公式，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的表达式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴点在轴负半轴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：假设存在，设点的坐标为，点的坐标为， ①当为对角线时， ∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为； ②当为对角线时， 同理可得， 解得， ∴点的坐标为； ③当为对角线时， 同理可得， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，假设成立，点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08平行四边形期末易错压轴专项训练 本专练聚焦平行四边形全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈 易错01.平行四边形的性质求解 易错02.平行四变形的性质证明 易错03.数图形中平行四边形的个数 易错04.添条件成为平行四边形 易错05.判断能否成为平行四边形 易错06.证明四边形是平行四边形 易错07.已知三点求平行四边形顶点个数 易错08.平行四边形判定与性质求解 易错09.平行四边形判定与性质证明 易错10.三角形中位线求解问题 易错11.三角形中位线证明问题 压轴12.平行四边形与最值问题 压轴13.平行四边形与动点问题 压轴14.平行四边形与折叠问题 压轴15.平行四边形与坐标系综合 压轴16.多结论判断题 压轴17.平行四边形与中位线综合 压轴18.平行四边形存在性问题 易错01.平行四边形的性质求解 典题特征：已知平行四边形边长、角度、对角线部分长度，求未知边长、内角度数、线段长度、周长或面积。 易错点：①混淆性质，误认为平行四边形对角线相等；②记错邻角互补、对角相等，角度计算出错；③忽略对角线互相平分，线段拆分计算失误。 1．如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为________． 2．如图，在中，于点，交的延长线于点．若，，且的周长为30，则的面积为（     ） A．10 B．20 C．40 D．80 3．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 易错02.平行四边形的性质证明 典题特征：以平行四边形为背景，证明线段相等、线段平行、角相等。 易错点：①推理步骤跳步，缺少平行四边形的前提条件；②误用性质，强行套用对角线相关结论；③平行线、全等三角形结合时，等量关系推导错误。 4．如图，中，于点，于点．求证：． 5．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作于点G，若，，求四边形的面积． 6．如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 易错03.数图形中平行四边形的个数 典题特征：给出由多个小平行四边形拼接而成的组合图形，统计全部平行四边形数量。 易错点：①无顺序计数，出现重复数、漏数；②只数单个图形，漏掉组合形成的大平行四边形。 7．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 8．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另外两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可以画（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 易错04.添条件成为平行四边形 典题特征：已知四边形部分条件，补充一个条件，使图形判定为平行四边形。 易错点：①添加无效条件，如仅“一组对边相等”；②混淆判定定理，添加矩形、梯形专属条件；③忽略题干已有条件，补充重复条件。 10．已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形． 11．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 12．如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（     ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④ 易错05.判断能否成为平行四边形 典题特征：给出一组边、角、对角线的条件，判断依据现有条件能否判定为平行四边形。 易错点：①误将“一组对边平行，另一组对边相等”判定为平行四边形；②对角线条件区分不清，把对角线相等当作判定依据；③条件理解片面，仅凭局部特征下结论。 13．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 14．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 15．下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（     ）． A．， B．， C．， D．， 易错06.证明四边形是平行四边形 典题特征：结合平行线、全等三角形、线段等量关系，完整证明四边形为平行四边形。 易错点：①判定定理混用，条件与定理不匹配；②证明过程条件不足，强行得出结论；②书写格式不规范，推理逻辑混乱。 16．如图，四边形中，，．求证：四边形为平行四边形． 17．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加适当的条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． 18．如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 易错07.已知三点求平行四边形顶点个数 典题特征：平面内给出三个定点，找出第四个顶点，使四点构成平行四边形，统计点的数量。 易错点：①分类不全，只考虑一种构图情况，漏解；②重复计算同一个顶点；③不会区分以不同线段为对角线分类讨论。 19．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 20．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 21．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 易错08.平行四边形判定与性质求解 典题特征：先判定四边形为平行四边形，再利用性质计算边长、角度、线段长。 易错点：①判定环节出错，导致后续计算全部错误；②判定与性质衔接断裂，不会转化等量关系；③计算时忽略图形隐含限制条件。 22．如图，过的对角线上一点M分别作平行四边形两边的平行线与，若图中的的面积 的面积，则 ______． 23．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接、，若已知，且，则的面积为（   ） A．3 B．12 C．15 D．24 24．如图，已知四边形是平行四边形，分别延长，至点，，使得，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的度数． 易错09.平行四边形判定与性质证明 典题特征：先证四边形是平行四边形，再借助其性质完成线段、角度相关证明。 易错点：①判定定理选择不当，增加推理难度；②前后结论不会衔接，中间推导断层；③符号、等量代换出现低级错误。 25．如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，、分别在、上移动，且，则下列为定值的是（     ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 26．如图，平行四边形的对角线，交于点，，在上，，在上，，． 求证：． 27．如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 易错10.三角形中位线求解问题 典题特征：已知三角形边长、周长，利用中位线定理求中位线长度、新图形周长、面积。 易错点：①记错中位线性质，混淆“平行”和“长度等于底边一半”两个结论；②多个中位线叠加计算时，线段关系梳理混乱；③面积比例计算出错。 28．如图，已知等边的周长为，点D．分别是边、的中点，连接，则（     ） A． B． C． D． 29．如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为__________． 30．如图，在中，点在上，点是线段的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若点为的中点，，求的度数． 易错11.三角形中位线证明问题 典题特征：借助三角形中位线，证明线段平行、线段倍分关系。 易错点：①不会准确找出中位线对应的三角形和底边；②倍分关系表述颠倒；③证明时未说明中点条件，直接套用中位线定理。 31．如图，在四边形中，已知，M、N、P分别是、、的中点，，，则的度数为 ___________． 32．如图，的对角线交于点O，平分交于点E，且连接．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．如图，平分，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，为边的中点，连接．求证：． 压轴12.平行四边形与最值问题 典题特征：平行四边形背景下，动点沿线段运动，求线段长、线段和、周长的最大值或最小值。 解题思路：①结合轴对称、垂线段最短确定取最值的位置；②利用平行四边形性质转化线段；③代入数据计算最值，验证取值合理性。 34．如图，在中，，分别是上的动点，连接分别为、的中点，则的最小值是______． 35．如图所示，在平行四边形中，，，点，分别是，边上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为________． 36．如图，在中，，，，为边上的动点，平分，交于，过作于，连接，则的最小值为________． 37．已知点D与点，，是平行四边形的四个顶点，则长的最小值为_______． 压轴13.平行四边形与动点问题 典题特征：点在线段、射线上匀速运动，伴随线段、角度变化，设置计算、证明、分类讨论问题。 解题思路：①用含时间/路程的代数式表示动线段长度；②分阶段讨论动点位置；③结合平行四边形性质列等式、不等式求解；④汇总所有情况写出答案。 38．如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为________ 39．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边、上的动点，其中点H不与点C重合，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为______． 40．如图，在中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 41．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，当点P运动到的中点处时，的长为______， 的面积为______． 压轴14.平行四边形与折叠问题 典题特征：将平行四边形沿某条直线折叠，产生重合线段、相等角，求解边长、角度、线段长度。 解题思路：①根据折叠性质，确定对应边、对应角相等；②结合平行四边形边角关系梳理等量；③利用勾股定理、方程思想列式计算。 42．如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则______． 43．将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 44．如图，在平行四边形纸片中，，，是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 45．如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，，，，求的长． 压轴15.平行四边形与坐标系综合 典题特征：平面直角坐标系内给出顶点坐标，求未知点坐标、边长、面积，或判定图形形状。 解题思路：①利用坐标求线段长度、直线平行关系；②结合平行四边形对边平行且相等，列坐标等式；③分类讨论顶点位置，求出全部符合条件的坐标。 46．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行于x轴，点M的坐标是，点的坐标是，则点N的坐标是（     ） A． B． C． D． 47．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，且，．将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 48．如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 49．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点．点为直线上一动点，连接，过点O作，，以，为一组邻边构造平行四边形．连接，P点横坐标为t，用含t的代数式表示Q点坐标为_________，线段的最小值为_____． 压轴16.多结论判断题 典题特征：结合图形变换、线段、角度关系，给出多个结论，判断正误。 解题思路：①逐一分析每个结论，结合平行四边形性质、全等、平行线知识推导；②对假结论举出反例；③最终统计正确结论个数。 50．如图，在中，，于点E，于点F，、交于点N，、的延长线交于点M．给出下面四个结论： ①；②点C是的中点；③；④当时，． 上述结论中，正确结论的序号是______． 51．在中，对角线交于点平分交于，交于点，连接为上一点，连．下列结论：①；②；③若，则的面积为；④当时，的最小值为9；其中结论正确的序号为（   ） A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 52．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 压轴17.平行四边形与中位线综合 典题特征：图形同时包含平行四边形和三角形中位线，融合证明、计算类问题。 解题思路：①先用中位线定理得到平行、倍分关系；②结合平行四边形性质转化边角条件；③分步完成推理或计算。 53．如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 54．如图，平行四边形中，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．4 55．如图，在中，为上一点，过作直线交于点，交于点，，为的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 56．如图、在中，点E在上，． (1)若平分，求的面积． (2)若点E是的中点，点F是的中点，连接交于点G．求的长． 压轴18.平行四边形存在性问题 典题特征：已知部分定点、定直线，探究是否存在动点，使四点构成平行四边形，求点坐标或线段长。 解题思路：①分类讨论，分别以已知任意两点连线为平行四边形对角线；②根据平行四边形对角线互相平分、对边相等列方程；③求解并检验，排除不符合题意的点。 57．如图，是平行四边形的边的中点，，点从点出发沿射线以的速度匀速运动，连接，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则点运动的时间是______秒． 58．如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止，同时点也停止，在运动以后，以、、、四点组成平行四边形的次数有______________次． 59．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线交轴负半轴于点，且． (1)点的坐标为__________，直线的表达式为__________． (2)为直线上一动点，在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $