广东深圳市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷

**基本信息** 深圳高一数学期末模拟卷，覆盖复数、集合、三角函数等核心知识，通过分层设问与情境化设计，考查数学抽象、空间观念及数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数模、集合运算、向量数量积、函数性质|单选夯实基础，多选综合辨析（如第9题不等式性质推理）| |填空题|3题15分|向量共线、棱台体积、解三角形最值|侧重空间想象（第13题棱台体积）与运算能力| |解答题|5题77分|函数奇偶性与单调性、频率分布直方图与概率、立体几何证明与线面角、解三角形、三角函数与不等式恒成立|情境化（16题植物果实重量分析）、分层设问（19题三问递进），体现逻辑推理与数学表达|

广东省深圳市2025-2026学年下学期高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知单位向量，满足，则（   ） A． B．4 C． D．3 5．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 6．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 10．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上的最大值为2 D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 11．如图，在正四棱柱中，，E，F，N分别是棱，，的中点，P是上一点，Q在平面内，则（     ）    A．平面 B．直线与是异面直线 C．当取得最小值时，的最小值为 D．多面体的外接球与内切球的半径之比为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量，，若，则______． 13．如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，且，则该棱台的体积为__________． 14．在中，角所对的边分别为，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 16．（15分） 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 17．（15分） 已知平面平面，. (1)求证： (2)若是正三角形，，求直线和平面所成角的正切值. 18．（17分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 19．（17分） 已知函数． (1)若，且，求角； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市2025-2026学年下学期高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，则. 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，，则 3．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，，则， 又，在区间内，仅有， 故，解得：，则. 4．已知单位向量，满足，则（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【详解】由，得， 即，，所以， 所以． 5．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 6．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； 对于C，根据面面垂直的性质定理可知C正确； 对于D，若，则或与相交，故D错误． 7．已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 8．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【答案】D 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，求得，，即可判断；对D，求得即可判断. 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 10．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上的最大值为2 D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】ABD 【分析】AB选项代入验证即可，C项根据所给范围求出的范围再求最值，D项，根据“左加右减”的规律化简即可 【详解】对于A，代入，得，即点在与轴交点上， 符合三角函数关于与轴交点中心对称，故A对； 对于B，代入，得，即时，取得最值， 符合三角函数关于过取得最值处点的横坐标且与轴平行的直线对称，故B对； 对于C，当时，，所以，故最大值为，不是，C错误； 对于D，向左平移个单位长度后，得到新函数为，故D正确. 11．如图，在正四棱柱中，，E，F，N分别是棱，，的中点，P是上一点，Q在平面内，则（     ）    A．平面 B．直线与是异面直线 C．当取得最小值时，的最小值为 D．多面体的外接球与内切球的半径之比为 【答案】ACD 【分析】法一：利用线面垂直的判定定理，根据正方体的垂直关系，找垂直直线即可判断A选项；利用找平行关系证明四点共面，即可判断直线是否异面判断B选项；根据垂直距离最小计算最小值判断C选项；利用正四面体外接球与内切球半径的结论判断D选项． 法二：根据正四棱柱的垂直特点，建立空间直角坐标系，利用坐标的方法解决ABC的问题；利用正四面体外接球与内切球半径的结论判断D选项． 【详解】法一：    取的中点，连接，，，，，，； 因为正四棱柱中，侧棱垂直底面，底面为正方形， 则，，，平面， 故平面，则； 因为，故，四边形为正方形， 故，且，，平面， 故平面，则； 因为，且平面，则平面，A正确； 因为E，F分别是棱，的中点，则， 又因为，故， 故四点共面，故直线与不是异面直线，B错误； 当时，取得最小值， 在直角三角形中，， 因为， 即，解得， 此时， 当平面时，取最小，即点到平面的距离，为； 故的最小值为，C正确； 因为E，N分别是棱，的中点， 利用正方体的性质可知， 故为正四面体，棱长为， 外接球半径为，内切球半径为， 故，故D正确． 法二：    因为正四棱柱中，底面为正方形，侧棱与底面垂直， 故以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 因为， 故，，，，，，； 则，，； 则，且， 故，，因为，且平面， 故平面，A正确； 因为，， 则，故四点共面，故直线与不是异面直线，B错误； 设，则； 故， 当时，取最小值，最小为； 此时，平面时，取最小，即点到平面的距离，为； 故的最小值为，C正确．D选项解析同法一. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量，，若，则______． 【答案】或 【分析】先利用求出的值，再求出. 【详解】若，则，解得 ,或， ，， 当时，， 当时，. 13．如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，且，则该棱台的体积为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合正四棱台的结构特征求出该正四棱台的高，再求出其体积. 【详解】在正四棱台中，连接，取中点，连接， 由，得四边形为平行四边形， 则，而，于是， 则，由正四棱台的结构特征知平面平面， 平面，平面平面，得平面， 所以该棱台的体积. 14．在中，角所对的边分别为，则的最小值为___________. 【答案】3 【分析】首先根据余弦定理和角的范围求出，然后用将所求式子表示出来并化简，最后利用二次函数的最值可求得原式的最小值. 【详解】根据余弦定理得，因为，所以， 所以. 所以. 而. 当时，即时，取最大值为. 此时取最小值为. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)；在和上单调递减 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值，再根据初等函数结合反比例型函数判断单调性即可； （2）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； ，又为增函数， 在和上单调递减； （2）由于函数在和上单调递减，且该函数为奇函数 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得或， 因此，满足不等式的实数的取值范围是． 16．（15分） 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 【答案】(1) (2) 平均数为 ，中位数为 (3) 【分析】（1）由频率之和为1即可求出； （2）由频率分布直方图结合平均数和中位数求法即可求出； （3）列出任取2个的所有基本事件，即可求出概率. 【详解】（1）由图知，组距，由，得． （2）各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 所以， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 所以中位数满足关系， 由，解得． （3）由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个， 分别记为和， 从中任取2个的取法有： ， ， ，共21种取法， 其中都是优质果实的取法有，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率． 17．（15分） 已知平面平面，. (1)求证： (2)若是正三角形，，求直线和平面所成角的正切值. 【答案】(1)由平面平面，， 且平面平面，平面，则平面， 由平面，则； (2) 【详解】（1）略 （2）过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，故即为直线和平面所成角， 由平面，则，故中， 由是正三角形，且， 所以，，且为的中点，故， 所以，则， 所以直线和平面所成角的正切值为.    18．（17分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，即可求解； （2）由余弦定理得，结合三角形面积公式，即可求得； （3）利用三角形垂心的性质，可求得，，结合三角函数的性质，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由已知，得，即， 根据正弦定理，可得，化简得， 由余弦定理，得， 又，所以； （2）根据余弦定理，得，整理得， 又，，，代入整理得，解得， 又为边上的角平分线，所以，， 即， 化简得， 又，，所以，解得； （3）延长交于点，延长交于点， 因为点为的垂心，所以，， 设，则且， 所以，又， 在中，， 在中，，，所以， 在中，，同理可得， 所以 因为，所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. 19．（17分） 已知函数． (1)若，且，求角； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用和差角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再由给定函数值求出. （2）由（1）求出在上的范围，再利用换元法，结合函数单调性求出范围. （3）分别求出函数在上的值域、函数在的值域，再按分类，结合集合的包含关系列式求出范围. 【详解】（1）函数 ，由，得， 由，得，则，所以. （2）由（1）知，，不等式 ， 令，由，得，则， ，， 函数在上单调递增， 当时，，，因此， 所以实数的取值范围为. （3）函数，而，则， 即函数在上的值域为，由（1）知， 由，得，， 则函数在的值域为， 由对任意，总存在，使得成立， 得函数在的值域包含于函数在上的值域， 当时，，则，解得； 当时，成立，因此； 当时，，则，解得， 所以实数的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $