广东省2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学试卷02

**基本信息** 覆盖人教A版必修二全册，以人工智能培训、体育成绩统计等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配高一期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数几何意义、线面关系、独立事件|单选基础巩固（如方差计算），多选综合辨析（如三角形形状判断）| |填空题|3题/15分|纯虚数、互斥事件概率、二面角|结合折叠问题（如正方形折成二面角），考查空间想象| |解答题|5题/77分|统计图表分析、立体几何证明与存在性问题、解三角形|以人工智能培训为情境（第16题）考查独立事件概率，四棱锥存在性问题（第18题）体现逻辑推理，分层抽样与方差计算（第15题）培养数据观念|

广东省2026年高一数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是虚数单位，，且z的共轭复数为，则在复平面内对应的点关于虚轴对称的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由题意得 ，则， 可得在复平面内对应的点为，其关于虚轴对称的点为， 得到该点在第二象限，故B正确. 2．已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因的平均数为1，方差为2，则， 于是数据的平均数为， 又，则， 于是数据的方差为： . 3．设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，则与平面平行或或相交，故A错误； 对于B，因为，，故，而，故，故B正确； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则与平面的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误. 4．抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（    ） A． B． C．A、B互斥 D．A、B相互对立 【答案】A 【分析】分别求事件A与事件B结合互斥、对立事件判断BCD；结合古典概型判断A. 【详解】抛2枚硬币，总事件有：正正、正反、反正、反反， 则事件A：正正、正反；事件B：正反、反反； 可知事件A与事件B不相等，故B错误； 事件AB：正反，可知事件A、B不互斥，更不可能对立，故CD错误； 则，，故，故A正确； 故选：A. 5．若平面向量共起点时两两夹角相等，且，则（ ） A． B．6 C．3或6 D．或6 【答案】D 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，共起点时两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 . 综上所述：或. 6．中，的对边分别为，若且，则的形状是（   ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．顶角为的等腰三角形 【答案】C 【分析】由向量条件可先证得，即是以为顶角的等腰三角形；再结合面积条件求出 ，故该三角形为等腰直角三角形. 【详解】由题意，， 又因为，所以， 展开得， 因为， 代入上式，得， 即，整理得， 由于三角形内角满足， 故，于是， 即，所以是以为顶角的等腰三角形. 由且 ，得 另一方面， 又由余弦定理， 从而得到， 解得， 即， 即， 所以， 因为，所以， 故，于是， 从而，因此是等腰直角三角形. 7．已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（   ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B相互独立，则 C．若 ，则事件与B相互独立 D．若，则 【答案】D 【分析】根据互斥事件概率加法公式计算可判断A，利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B；利用独立事件的概念可判断C；由交事件的定义可判断D. 【详解】对于A，若与互斥，则，故A正确； 对于B，若与相互独立，则， 所以，，故B正确； 对于C，若，且， 所以，事件与相互独立，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 故选：D 8．在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（ ） A．4∶5 B．5∶7 C．10∶17 D．8∶19 【答案】D 【分析】根据，确定点的位置，经过，，三点的平面将三棱柱分为两部分，通过补形确定经过三点的平面，利用棱柱、棱台的体积计算方法，得到，两部分的体积，最终求得比值. 【详解】取的中点，连接，； ，，即点在线段上，. 过点作，分别交，于点，. 平面是过点，，三点的平面. 设，直三棱柱的高为. . ，，； ； 直三棱柱被平面分成，两部分的体积较小）， ，则； . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了50名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（    ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这50名学生的竞赛成绩的上四分位数为85 C．估计这50名学生的竞赛成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 【答案】ABD 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即可. 【详解】由，可得，故A正确； 前三个矩形的面积和为， 第四个矩形面积为 ，估计这50名学生的竞赛成绩的上四分位数为，故B正确； 由成绩的频率分布直方图易知，这名学生的竞赛成绩的众数为，故C 错误； 总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确. 故选：ABD 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（     ） A．若，则 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【详解】选项A：因为在三角形中大角对大边，所以在中，当时，则，故A正确； 选项B：由，根据诱导公式可得， 因此，故B正确； 选项C：若，由余弦定理得，仅能说明角为锐角， 无法保证均为锐角，不能判定是锐角三角形，故C错误； 选项D：若，由余弦定理得，说明角为钝角， 则是钝角三角形，故D正确. 11．已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的轨迹长度为 D．当时，取最小值 【答案】AC 【分析】根据题意，得到点在线段上，证得平面平面，可判定A正确；由，结合锥体的体积公式，可判定B错误；由点的轨迹为线段，可判定C正确；当时，得到为线段的中点，求得，将等边和矩形展开在一个平面上，结合余弦定理，求得的最小值，可判定D错误. 【详解】由其中，且， 可得三点共线，即在线段上， 对于A，连接， 在正方体，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以A正确； 对于B，因为在线段上，且平面， 所以，所以B错误； 对于C，因为在线段上，即点的轨迹为线段， 在直角中，可得，所以C正确； 对于D，当时，可得为线段的中点， 此时，， 所以， 又因为在线段上，将等边和矩形展开在一个平面上， 如图所示，设点展开后为点，连接， 在中，可得， 由余弦定理得， 因为，可得，即取最小值为，所以D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，若复数是纯虚数，则_____. 【答案】1 【详解】， 又为纯虚数，所以， 解得． 13．抽奖箱中共6个球，这6个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标有数字1，2，3，4，5，6中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则两个球之间的数字标号互质的概率为_______________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】随机抽出两个球的样本空间，共15个， 两个球之间的数字标号互质的事件，共11个， 所以两个球之间的数字标号互质的概率为. 故答案为： 14．把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______. 【答案】/0.75 【分析】设的中点为，连接，根据题意易得即为二面角的平面角，故，设分别为的中点，连接，可得（或其补角）为异面直线AB与CD所成角，进而求解即可. 【详解】设的中点为，连接， 在正方形中，， 因此折叠后，即为二面角的平面角，故， 设分别为的中点，连接， 则，即（或其补角）为异面直线AB与CD所成角， 设正方形的边长为2，则， 又，，则，则， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及60%分位数 (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到0.1） 【答案】(1)， (2)6人 (3)62.4；39.9 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1的性质建立方程，求出的值，再根据分位数的定义确定60. （2）先计算出、、三组的总人数，以及组的人数，再根据分层抽样的抽样比例计算该组应抽取的人数. （3）先根据频率分布直方图求出和两组的人数，用加权平均法计算两组成绩的总平均数，再结合分层方差的计算公式计算总方差. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得 由已知得：60%分位数应在70-80之间，. （2）由频率分布直方图知，样本考核成绩在，， 的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的学生人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的学生中抽取（人）. （3）由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 所以总平均数， 总方差. 16．人工智能大模型在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景．某公司为了提高人工智能应用能力，拟组织、两部门的员工参加培训． (1)已知该公司、两部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； (2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解； （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. 【详解】（1）记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间为： ，共15种， 选取2人全部来自部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 17．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的数量积，结合三角函数性质求解即可. （2）根据正弦定理、辅助角公式及正弦函数性质求解即可. （3）根据三角形面积公式得到，根据为中点得到，结合向量数量积的运算律得到，代入余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意， 又，所以． 又，所以或，所以. （2）因为，， 由正弦定理得：，则，． 易知， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． 所以，所以，则． 所以的取值范围是． （3）由题意知，，所以． 因为为中点，所以， 两边平方得：， 代入并整理：， 由余弦定理：， 所以． 18．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2026年高一数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是虚数单位，，且z的共轭复数为，则在复平面内对应的点关于虚轴对称的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 4．抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（    ） A． B． C．A、B互斥 D．A、B相互对立 5．若平面向量共起点时两两夹角相等，且，则（ ） A． B．6 C．3或6 D．或6 6．中，的对边分别为，若且，则的形状是（   ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．顶角为的等腰三角形 7．已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（   ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B相互独立，则 C．若 ，则事件与B相互独立 D．若，则 8．在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（ ） A．4∶5 B．5∶7 C．10∶17 D．8∶19 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了50名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（    ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这50名学生的竞赛成绩的上四分位数为85 C．估计这50名学生的竞赛成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（     ） A．若，则 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 11．已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的轨迹长度为 D．当时，取最小值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，若复数是纯虚数，则_____. 13．抽奖箱中共6个球，这6个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标有数字1，2，3，4，5，6中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则两个球之间的数字标号互质的概率为_______________． 14．把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及60%分位数 (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到0.1） 16．人工智能大模型在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景．某公司为了提高人工智能应用能力，拟组织、两部门的员工参加培训． (1)已知该公司、两部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； (2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 17．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 18．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $