期末复习：两个计数原理的应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦排列组合三大核心模块，以题载知构建从计数原理到排列限制再到分组分配的递进逻辑，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两个计数原理的应用|4例+4变式|含分配、选择、新定义、路径等情境，强调分类分步计数|计数原理为基础，延伸至实际问题的模型转化| |元素（位置）有限制的排列问题|4例+4变式|涉及特殊元素/位置、相邻不相邻、顺序固定等限制条件|基于计数原理，强化排列中限制条件的处理策略| |分组分配问题|6例+6变式|包含均匀/非均匀分组、不同对象分配，结合多选情境|综合计数原理与排列，实现复杂分配问题的系统化解决|

期末复习：两个计数原理的应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题专项训练 期末复习：两个计数原理的应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题专项训练 考点目录 两个计数原理的应用 元素（位置）有限制的排列问题 分组分配问题 考点一 两个计数原理的应用 例1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（   ）种. A．90 B．60 C．150 D．140 例2．（25-26高二下·陕西咸阳·阶段检测）甲、乙、丙三人去看电影，每人可在“疯狂动物城2”、“长安的荔枝”、“得闲谨制”及“开心岭”的四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（    ） A．64 B．62 C．63 D．24 例3．（25-26高二下·重庆·期中）若自然数使得作竖式加法不发生进位现象，则称为“可加数”，例如不产生进位，所以是“可加数”，产生了进位现象，所以不是“可加数”.那么在小于的三位自然数中，“可加数”共有_____个. 例4．（25-26高二下·广西南宁·期中）智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答） 变式1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）如图，对一个正五边形的五个区域进行涂色，要求同一个区域只涂一种颜色，相邻的两个区域涂不同的颜色.现有红、黄、蓝3种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方案数为（    ） A．24 B．28 C．30 D．36 变式2．（25-26高二下·河南濮阳·月考）为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·吉林长春·期中）用4种颜色为四个词组“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，要求每个词组颜色相同，相邻词组不同色，共有______种涂色方法． 变式4．（25-26高二下·甘肃陇南·期中）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为____________. 考点二 元素（位置）有限制的排列问题 例1．（2026·江苏连云港·模拟预测）某单位7月1日至7月3日计划安排6个人值班，要求每人值班1天，每天安排两人，若小王不能值7月1日，小李不能值7月3日，则不同的值班方法有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．56种 例2．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则课程“礼”必须排在“御”前面的不同排法共有（     ） A．504 B．480 C．360 D．240 例3．（25-26高二下·吉林通化·期中）本学期辉南六中高二年级准备举办一场课本剧展演，前8个班级每班准备了1个节目，杨老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中1班和2班都要表演《屈原》，因此需要分开排；3班和4班要表演的分别是《雷雨》第一集——铺垫矛盾和《雷雨》第二集——真相爆发，所以需要相邻且按序表演，则杨老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 例4．（25-26高二下·广东·期中）将甲、乙、丙、丁等8个人平均分成两组：第一组和第二组，在第一组中选择2人干工作C，其余2人干工作D；在第二组中选择1人干工作E，其余3人干工作C，已知甲不能干工作C，乙要干工作D，丙不与丁在同一组，则分配方式总数为______．（用数字作答） 变式1．（25-26高二下·天津·期中）从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·吉林长春·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有（     ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 变式3．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则总共有________种不同的填法． 变式4．（25-26高二下·广东揭阳·期中）3名女生和3名男生站成一排拍照留影，男生甲不站两端，女生乙和丙必须相邻，一共有___________种不同的站法．（用数字回答） 考点三 分组分配问题 例1．（2026·安徽六安·模拟预测）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 例2．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）将A、B、C、D、E、F六名志愿者分配到两个不同的地点开展工作，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 例3．（25-26高二下·重庆渝北·期中·多选）我校高二5名同学（包含甲、乙、丙、丁、戊），下列说法正确的是（    ） A．5名同学报名参加机器人和足球两个兴趣小组，每人只能选1个小组，则不同的报名方法有20种 B．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种 C．5名同学排成一排，甲站最中间，则不同的排法有24种 D．将5名同学分配到3个班级进行爱国主义教育，每班至少1名同学，则不同的分配方法有240种 例4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测·多选）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山．小明与父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则下列结论正确的是（    ） A．3人选择的地点均不同的方法总数为60 B．恰有2人选一个地方的方法总数为15 C．恰有1人选泰山的方法总数为48 D．至少1人选泰山的方法总数60 例5．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）现有4男4女共8人，从中选取6人分配到A，B两个单位，每个单位3人，其中A单位要求接收的3人中，女性的人数多于男性，B单位要求接收的3人中，至少有1名女性，则不同的分配方法数为______. 例6．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，且老师甲和同学乙必须去同一个补给站，则不同的安排方法有______种.（用数字作答） 变式1．（25-26高二下·安徽安庆·期中）甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（    ） A．360种 B．480种 C．540种 D．720种 变式2．（25-26高二下·吉林长春·期中）有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．300 B．360 C．390 D．420 变式3．（25-26高二下·重庆·阶段检测·多选）将12瓶完全相同的矿泉水随机分给8位建筑工人（含甲、乙），每人至少分得1瓶，则（    ） A．不同的分法种数为300 B．不同的分法种数为330 C．甲和乙都分得2瓶的分法种数为21 D．甲和乙都分得2瓶的分法种数为28 变式4．（25-26高二下·广东梅州·期中·多选）现在安排甲、乙、丙、丁、戊五位学生去实习，有3间工厂a、b、c可供选择，每个学生去哪间工厂可自由选择，每位学生只能去其中1间工厂实习，则下列说法正确的有（   ） A．五位学生去实习的不同安排方案有125种 B．若每间工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有150种 C．若a工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有211种 D．若每间工厂必须要有学生去，且甲、乙不去同一间工厂，则不同的实习安排方案有114种 变式5．（25-26高二下·重庆·阶段检测）五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有___________种. 变式6．（25-26高二下·重庆·期中）现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：两个计数原理的应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题专项训练 期末复习：两个计数原理的应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题专项训练 考点目录 两个计数原理的应用 元素（位置）有限制的排列问题 分组分配问题 考点一 两个计数原理的应用 例1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（   ）种. A．90 B．60 C．150 D．140 【答案】A 【分析】先确定分配人数只能是2，2，1，分组时注意除以消除重复，最后将3组全排列到3个不同社区 【详解】5人只能按照2，2，1分组，分组方法有，将分好的3组分别派往3个不同社区：， 则不同安排方法共有 例2．（25-26高二下·陕西咸阳·阶段检测）甲、乙、丙三人去看电影，每人可在“疯狂动物城2”、“长安的荔枝”、“得闲谨制”及“开心岭”的四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（    ） A．64 B．62 C．63 D．24 【答案】A 【分析】利用分步乘法计数原理，计算三人独立选择电影的选法乘积即可得到结果. 【详解】计算三人选择电影的总选法，分三步完成： 第一步，甲从4部电影中任选1部，共有4种不同的选法； 第二步，乙从4部电影中任选1部，共有4种不同的选法； 第三步，丙从4部电影中任选1部，共有4种不同的选法. 根据分步乘法计数原理，不同的选法总种数为. 例3．（25-26高二下·重庆·期中）若自然数使得作竖式加法不发生进位现象，则称为“可加数”，例如不产生进位，所以是“可加数”，产生了进位现象，所以不是“可加数”.那么在小于的三位自然数中，“可加数”共有_____个. 【答案】 【分析】按百位数字进行分类讨论，利用计数原理可得答案. 【详解】在小于的三位自然数中， 当百位为或或时，“可加数”需满足个位数字可能为、、，十位数字可能为、、、， 此时满足条件的可加数个数为个， 当百位数字为时，在的所有自然数中任取一个自然数， 不妨设， 则都会产生进位现象， 故百位数字为的三位“可加数”不存在. 综上所述，满足条件的三位“可加数”的个数为个. 例4．（25-26高二下·广西南宁·期中）智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答） 【答案】 【分析】求出向正北、正南、正东、正西方向移动的步数，再根据排列组合的知识求解即可. 【详解】以舞台中心为坐标原点，则的初始位置为，    设在6秒内，机器人向正北方向移动步，正南方向移动步， 因为最后要回到原点， 所以向正东和正西移动的距离相等，设为步， 由题意可得， 所以， 所以当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，（舍）； 综上，一共有种移动方法. 变式1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）如图，对一个正五边形的五个区域进行涂色，要求同一个区域只涂一种颜色，相邻的两个区域涂不同的颜色.现有红、黄、蓝3种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方案数为（    ） A．24 B．28 C．30 D．36 【答案】C 【分析】A与C同色时，先涂A，B，C，再分D选择与B同色和B不同色求解；当A与C不同色时，先涂A，B，C再分D选择与A同色和B同色求解. 【详解】当A与C同色时，A有3种涂法，B有2种涂法，C有1种涂法， D选择与B同色时，E选择剩下的1种颜色，有1种涂法， D选择与B不同色时，则选择剩下的1种颜色，E选择与B同色，有1种涂法， 共有种涂法； 当A与C不同色时，A有3种涂法，B有2种涂法，C有1种涂法， D选择与A同色时，E可以选择B或C同色，有2种涂法， D选择与B同色时， E选择与C同色， 共有， 综上：共有种涂法. 变式2．（25-26高二下·河南濮阳·月考）为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先排列2个小品和1个戏曲节目，排列数为：， 3个非唱歌节目排好后，形成4个空位，将3个唱歌节目插入4个空位中， 排列数为：， 故总安排方法数为：． 变式3．（25-26高二下·吉林长春·期中）用4种颜色为四个词组“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，要求每个词组颜色相同，相邻词组不同色，共有______种涂色方法． 【答案】108 【详解】分类讨论，根据题意，若用四种颜色时，则有种涂色方法； 若只用三种颜色时，则“爱国，诚信”或“爱国，友善”或“敬业，友善”中有一组是同色，先选三种颜色种选法，再从上述中选一个同色的有种选法，则共有种涂色方法； 若只用两种颜色时，则“爱国，诚信”同色，“敬业，友善”同色，先选两种颜色种选法，则共有种涂色方法， 因此，综上所述，共有种涂色方法. 变式4．（25-26高二下·甘肃陇南·期中）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为____________. 【答案】 【分析】考虑为真数时，对数值只能为；然后考虑从除以外的其余各数任取两数分别作为对数的底数和真数，减去对数值重复的情况，即可得解. 【详解】由于1只能作真数，底数可为其余8个数字中的任意一个，所形成的8个对数式的值均为0， 从除1以外的其余各数任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成个对数式， 其中，，，， 因此，不同的对数值的个数为. 考点二 元素（位置）有限制的排列问题 例1．（2026·江苏连云港·模拟预测）某单位7月1日至7月3日计划安排6个人值班，要求每人值班1天，每天安排两人，若小王不能值7月1日，小李不能值7月3日，则不同的值班方法有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．56种 【答案】B 【分析】采用间接法求解，先计算无约束的总安排数，扣除小王值1日、小李值3日的不符合情况，再加回重复扣除的小王值1日且小李值3日的情况. 【详解】计算无约束条件的总安排数： 从6人中选2人值7月1日，剩余4人选2人值7月2日，最后2人值7月3日，总方法数为 计算不符合要求的情况： 小王值7月1日：1号已确定小王，从剩余5人中选1人同值1号，剩余4人分两组值2、3日，方法数为 小李值7月3日：3号已确定小李，从剩余5人中选1人同值3号，剩余4人分两组值1、2日，方法数为 小王值7月1日且小李值7月3日：1号从剩余4人中选1人，3号从剩余3人中选1人，剩下2人值2号，方法数为 符合要求的安排数为，即不同的值班方法有42种. 例2．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则课程“礼”必须排在“御”前面的不同排法共有（     ） A．504 B．480 C．360 D．240 【答案】C 【分析】考虑到“礼”与“御”的相对位置只有2种，即可求出排法. 【详解】“礼”与“御”的相对位置有2种（“礼”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 所求排法数为种，即课程“礼”必须排在“御”前面的不同排法共有360种. 例3．（25-26高二下·吉林通化·期中）本学期辉南六中高二年级准备举办一场课本剧展演，前8个班级每班准备了1个节目，杨老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中1班和2班都要表演《屈原》，因此需要分开排；3班和4班要表演的分别是《雷雨》第一集——铺垫矛盾和《雷雨》第二集——真相爆发，所以需要相邻且按序表演，则杨老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 【答案】3600 【分析】先采用捆绑相邻的元素，在插空处理不相邻的元素，使用分分步乘法原理计算出总方案即可. 【详解】把3班和4班捆绑为1个整体，且3班必须要在4班之前，所以内部只有1种排列顺序， 除去1班和2班，剩下的元素为3班和4班整体加上其余四个班级，共5个元素，共有种排法， 5个元素排好后共产生6个空位，从6个空位中选2个插入1班和2班，有种排法， 因此总方案共有种. 例4．（25-26高二下·广东·期中）将甲、乙、丙、丁等8个人平均分成两组：第一组和第二组，在第一组中选择2人干工作C，其余2人干工作D；在第二组中选择1人干工作E，其余3人干工作C，已知甲不能干工作C，乙要干工作D，丙不与丁在同一组，则分配方式总数为______．（用数字作答） 【答案】68 【分析】先考虑丙在第一组，丁在第二组的情况，此时分甲在第一组和甲在第二组两种情况讨论，再结合对称性得丙在第二组，丁在第一组的情况，进而得答案. 【详解】不妨考虑丙在第一组，丁在第二组．显然乙必然在第一组． 若甲在第一组，则剩余4人中1人进第一组与丙共干工作C，剩余3人进入第二组，而这3人与丁中1人干工作E，剩余3人干工作C，故共有种． 若甲在第二组，则剩余4人中2人进第二组与丁干工作C，剩余2人进第一组与丙干工作，其中1人干工作D，剩余2人干工作C，故此时共有种． 所以，丙在第一组，丁在第二组的分配情况共有种， 同理，由对称性可知,丙在第二组，丁在第一组的分配情况也有种， 所以，总分配方式共种． 变式1．（25-26高二下·天津·期中）从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式求解. 【详解】当选出的两个偶数不含时，这两个偶数从中选取， 此时个位有种取法，百位和十位有种取法，故构成的三位数有个， 当选出的两个偶数不含时，必在十位，百位有种取法，个位有种取法， 构成的三位数有个， 所以共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为. 变式2．（2026·吉林长春·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有（     ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 【答案】B 【详解】甲不站在两端，则甲有种站法，甲和乙不相邻，则乙有种站法， 则不同的排列方式有种. 变式3．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则总共有________种不同的填法． 【答案】 【详解】从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，总共有种不同的填法． 变式4．（25-26高二下·广东揭阳·期中）3名女生和3名男生站成一排拍照留影，男生甲不站两端，女生乙和丙必须相邻，一共有___________种不同的站法．（用数字回答） 【答案】144 【详解】乙丙看成一个整体，共有2种站法； 将乙丙整体、另一名女生、甲、另两名男生看作5个元素排列， 甲不能排在首尾，故甲可从中间3个位置中任选一个，有3种方法， 剩下四个元素全排列有种， 由分步乘法计算可得共有种. 考点三 分组分配问题 例1．（2026·安徽六安·模拟预测）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 【答案】D 【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种. 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种. 所以不同的分配方案有种. 例2．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）将A、B、C、D、E、F六名志愿者分配到两个不同的地点开展工作，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】已知A、B必须在同一组，视为一个整体， 已知每组至少2人，则其余4人中可选0，1，2人加入A、B组，对应组合数为， 已知两组所在地点不同，共有2种选择， 故总的分配方案为：种． 例3．（25-26高二下·重庆渝北·期中·多选）我校高二5名同学（包含甲、乙、丙、丁、戊），下列说法正确的是（    ） A．5名同学报名参加机器人和足球两个兴趣小组，每人只能选1个小组，则不同的报名方法有20种 B．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种 C．5名同学排成一排，甲站最中间，则不同的排法有24种 D．将5名同学分配到3个班级进行爱国主义教育，每班至少1名同学，则不同的分配方法有240种 【答案】BC 【分析】结合分步计数原理、捆绑法、插空法、分组分配原理，逐个计算选项判断. 【详解】选项A：每名同学有2种报名选择，由分步乘法计数原理，总报名方法为种，A错误. 选项B：先将甲乙捆绑，内部排列共种；将甲乙整体与戊全排列，共种，排完后产生3个空位； 将丙丁插入空位保证不相邻，共种，总排法为种，B正确. 选项C：甲在最中间位置固定，剩余4名同学在其余4个位置全排列，共种排法，C正确. 选项D：先分组再分配，分组分两类：①3,1,1型，分组数为种；②2,2,1型，分组数为种，共25种分组， 再将3组分配到3个班共A33=6种，总分配方法为种，D错误。 例4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测·多选）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山．小明与父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则下列结论正确的是（    ） A．3人选择的地点均不同的方法总数为60 B．恰有2人选一个地方的方法总数为15 C．恰有1人选泰山的方法总数为48 D．至少1人选泰山的方法总数60 【答案】AC 【详解】 选项A：3人选择的地点均不同，即从5座山中选3座分配给3人排列，方法总数为，所以A正确； 选项B：恰有2人选同一个地方，相当于将3人分成2组，有种分法，这2组从5座山中选2座山排列，共有种方法， 所以恰有2人选一个地方的方法总数为种方法，所以B错误； 选项C：恰有1人选泰山，先从3人中选出1人选泰山有种选法，剩余2人每人可从除泰山外的4座山中任选，总方法数为，所以C正确； 选项D：3人每人选一个地方的总方法数为，无人选泰山的方法数为，故至少1人选泰山的方法总数为，所以D错误. 例5．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）现有4男4女共8人，从中选取6人分配到A，B两个单位，每个单位3人，其中A单位要求接收的3人中，女性的人数多于男性，B单位要求接收的3人中，至少有1名女性，则不同的分配方法数为______. 【答案】240 【分析】首先把分配情况分为三类，①A组2女1男，B组1女2男；②A组2女1男，B组2女1男；③A组3女0男，B组1女2男.然后再计算每一类的分配方法数. 【详解】分三类： 第一类：A组2女1男，B组1女2男，此时分配方法有：； 第二类：A组2女1男，B组2女1男，此时分配方法有：； 第三类：A组3女0男，B组1女2男，此时分配方法有：， 所以分配方法共有. 例6．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，且老师甲和同学乙必须去同一个补给站，则不同的安排方法有______种.（用数字作答） 【答案】72 【分析】分为两种情况：老师甲和同学乙所在的站只有乙一位同学和老师甲和同学乙所在的站还有一位同学，按照分步乘法计数原理，先安排老师，后安排学生，计算各自的情况数并相乘可得结果. 【详解】根据题意，老师甲和同学乙必须去同一个补给站，分为两种情况： ①老师甲和同学乙所在的站只有乙一位同学， 先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有种情况； 再分配学生，除了乙之外的3名学生分成两组“2,1” ，分配到2个补给站，有种情况； 按照乘法原理有种安排方法， ②老师甲和同学乙所在的站还有一位同学， 先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有种情况； 再分配学生，除了乙之外的3名学生，先选1人到老师甲和同学乙所在的站，余下2人分配到2个补给站，有种情况； 则有种安排方法， 所以老师甲和同学乙必须去同一个补给站不同的安排方法有种安排方法. 变式1．（25-26高二下·安徽安庆·期中）甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（    ） A．360种 B．480种 C．540种 D．720种 【答案】C 【分析】先将6个人分成3组，每组至少一人，求出总的分法数，再将这3组人，分配到3个活动项目中去，即可得答案. 【详解】将6个人分成3组，每组至少一人： 当三组人数为4，1，1时，有种分法； 当三组人数为3，2，1时，有种分法； 当三组人数为2，2，2时，有种分法； 所以一共有， 将这三组人数分别分配到3个活动项目中去， 所以共有种分配方式. 变式2．（25-26高二下·吉林长春·期中）有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．300 B．360 C．390 D．420 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合求解即可． 【详解】当5人中恰有三人被录用，则不同的录用情况数为； 当5人中恰有四人被录用，则不同的录用情况数为； 当5人全部被录用，则不同的录用情况数为； 故不同的录用情况数为． 变式3．（25-26高二下·重庆·阶段检测·多选）将12瓶完全相同的矿泉水随机分给8位建筑工人（含甲、乙），每人至少分得1瓶，则（    ） A．不同的分法种数为300 B．不同的分法种数为330 C．甲和乙都分得2瓶的分法种数为21 D．甲和乙都分得2瓶的分法种数为28 【答案】BC 【详解】若每人至少分得1瓶，则由隔板法可得分法种数为，A错误，B正确. 若甲和乙都分得2瓶，则将其余8瓶分给6位建筑工人，由隔板法可得分法种数为，C正确，D错误. 变式4．（25-26高二下·广东梅州·期中·多选）现在安排甲、乙、丙、丁、戊五位学生去实习，有3间工厂a、b、c可供选择，每个学生去哪间工厂可自由选择，每位学生只能去其中1间工厂实习，则下列说法正确的有（   ） A．五位学生去实习的不同安排方案有125种 B．若每间工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有150种 C．若a工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有211种 D．若每间工厂必须要有学生去，且甲、乙不去同一间工厂，则不同的实习安排方案有114种 【答案】BCD 【分析】A选项：用分步乘法计数原理计算总安排数；B选项：对学生进行分组，再将分好的组进行排列；C选项：用间接法计算即可；D选项：用间接法计算，计算每间工厂都有人的总方案数，再减去每间工厂都有人且甲乙同厂的方案数. 【详解】A：，错误； 选项B，每间工厂都有学生，需要先把5人分成3个非空组，有两种分组情况： 人数按分：种， 人数按分：种， 总方案：种，正确； 选项C，工厂必须有学生，用总方案减去工厂没有学生的方案： 种，正确； 选项D，由B知，每间工厂都有学生，总方案150种，减去甲乙同厂的情况即可： 将甲乙绑定为1个整体，相当于4个元素分到3个工厂，每个工厂非空， 方案数为种， 因此甲乙不同厂的方案数：种，正确. 变式5．（25-26高二下·重庆·阶段检测）五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有___________种. 【答案】150 【分析】根据题意，按照和两种方案进行分组分配，利用排列组合公式计算即可. 【详解】依题意，可以按照和两种方案进行分组分配. 当按照分组时，有种方案； 当按照分组时，有种方案. 故不同的方案有种. 变式6．（25-26高二下·重庆·期中）现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 【答案】100 【分析】先分组，然后将含甲同学的小组分配到数学或物理小组，再分配另外两个小组即可. 【详解】第一步，将五人分成三个小组，各小组人数有和两类情况， 当按照分组时，有种分组方法， 当按照分组时，有， 所以总的分组方法有种； 第二步，将含有甲的小组分到数学或物理兴趣小组，有2种方法； 第三步，将剩余两组分配到另外两个兴趣小组，有种方法. 又分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种方法. 2 学科网（北京）股份有限公司 $