精品解析：2026年河南省平顶山市鲁山县第九教研区中考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年2月2日，全国春运正式启动，交通部门提前准备，应对未来40天约95亿人次的跨区域人员流动．数据95亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，一个含角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 7. 如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 8. 数学课上，王老师拿出正面分别写有“E”“I”“O”“K”的四张不透明卡片，它们除正面字母不同外其他完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片均是元音字母的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，，上的点C，D分别在直径的两侧，若平分，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在平行四边形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为（单位：），的长度为（单位：），与的函数图象如图2所示．当的面积为时，的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作元，那么购买劳动工具支出290元，记作_________． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是___________． 13. 某校为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开设了“烹饪、园艺、电工、木工、缝纫”五大类劳动课程．学校需要招聘一位烹饪教师，小李笔试得10分，实际烹饪操作得8分，若按笔试占，实际烹饪操作占的比例计算总成绩，则他的总成绩是_______分． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，再将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形按此方式连续旋转次得到菱形．已知菱形的边长为1，，则点的坐标为_______． 15. 如图，在等腰直角三角形中，，，点D是的中点，点M是的中点，点E在上运动（点E不与点B重合，可与点M重合），将沿所在直线翻折到的位置，交于点F．当为等腰三角形时，则__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 某中学为了解该校学生对航天知识的掌握情况，举行了航天知识测试，并从七、八年级各随机抽取了20名学生的测试成绩x（百分制），进行了整理、描述和分析，信息如下： 【数据收集】 七年级20名学生的测试成绩：99 81 88 90 85 100 86 87 92 79 90 93 94 88 87 88 75 88 84 98 八年级20名学生的测试成绩在这一组的是85 85 86 87 87 87． 【数据整理】 年级 七年级 2 2 a 5 3 八年级 3 5 6 4 2 【数据分析】 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88.6 b 88 38.64 八年级 86 87 c 52.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________． （2）在这次测试活动中，小东的测试成绩是87分，在他所属的样本中位于中等偏上水平，那么小东是_______年级的学生． （3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可） 18. 如图，在中，，点B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 19. 隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了锐角三角函数以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①； ②； ③； ④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内； ②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 20. 图1是1970年6月在洛阳市关林钢厂出土的唐代文物——金银平脱鸾凤花鸟纹铜镜的图片．铜镜为八瓣葵花形，淇淇同学为了找到最接近它外接圆的圆心，在其边缘标注了A，B，C三点． （1）请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中画出圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图3，淇淇同学正确地画出了圆心O，连接，，，过点C作的平行线交过点A的切线于点D，量得，，． ①求证：； ②求铜镜的半径．（结果精确到．参考数据：） 21. 开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． （1）求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． （2）某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 22. 网球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后网球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分． 【发现问题】 在探究实践活动中，爱思考的小明发现发球后网球的竖直高度y（单位：m）随网球的水平距离x（单位：m）的变化而变化． 【提出问题】 网球的竖直高度y与网球的水平距离x之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小明经过测量和计算得到某次发球后，网球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 10 12 … 竖直高度y/m … 建立如图所示的平面直角坐标系，网球从发出到落地的过程中竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系式（）． 【解决问题】 （1）根据以上数据，求y与x之间的函数关系式． （2）已知球网与O点的水平距离为12m，高度为0.91m，球场的边界与O点的水平距离为24m．判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由． 23. 综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“矩形”为研究对象，结合旋转开展探究． 【问题情境】 如图1，在矩形中，M为直线上的点（不与点B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，点P为线段上一点，连接和，，交于点H． （1）【初步探究】奋进小组提出的问题：如图2，若，点M与点A重合，P为的中点，则的值是________，与的位置关系是_______． （2）【深入探究】智慧小组提出的问题：如图3，若，，，且，写出的值及与的位置关系，并就图3的情形，说明理由． （3）【拓展延伸】创新小组突发奇想提出的问题：将问题迁移到在平面直角坐标系中，使得正方形的边在x轴上，如图4．若P为的中点，，，，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：观察各选项图形，只有C选项中的图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， ∴C选项符合题意． 2. 2026年2月2日，全国春运正式启动，交通部门提前准备，应对未来40天约95亿人次的跨区域人员流动．数据95亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：95亿． 3. 下图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：从上面看到的图形，即俯视图为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，正确，故D符合题意． 5. 已知，一个含角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质得出，再由平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】B 【解析】 【分析】先求得每个不等式的解集，再找到它们的公共部分即为该不等式组的解集，进而可得答案． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 7. 如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理可得，，结合得到，由此得出，那么，再代入线段关系求解即可． 【详解】解：∵为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 8. 数学课上，王老师拿出正面分别写有“E”“I”“O”“K”的四张不透明卡片，它们除正面字母不同外其他完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片均是元音字母的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列表得到所有等可能的结果，再从中找出满足题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：如表： E I O K E ——— （ （ I —— O —— K —— 一共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片均是元音字母的有6种可能的结果， ∴两次抽取的卡片均是元音字母的概率为． 9. 如图，是的直径，，上的点C，D分别在直径的两侧，若平分，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直径所对圆周角为直角得，结合角平分线算出圆周角为，再利用圆周角定理得到圆心角、均为，求出圆半径，分别计算直角三角形与扇形的面积，二者相加即为阴影面积． 【详解】解析 ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， 如图，连接， 由圆周角定理可知， ， ∵， ∴， ， ∴． 10. 如图1，在平行四边形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为（单位：），的长度为（单位：），与的函数图象如图2所示．当的面积为时，的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，解直角三角形，根据函数图象可得当时，点P在上运动，当时，点P在上运动，则，过点A作于H，可求出，则，可证明当的面积为时，点P在线段上，则此时有，据此求解即可． 【详解】解：由图2可知，当时，点P在上运动， 当时，点P在上运动， ∴， 如图所示，过点A作于H，则， ∴， 当点P在线段时， ∴当的面积为时，点P在线段上， ∴此时有， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作元，那么购买劳动工具支出290元，记作_________． 【答案】元 【解析】 【详解】解：如果收入380元记作元，那么支出290元记作元． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是___________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式与根的关系，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． ∴m的取值范围是且， ∴m的值可以是1（答案不唯一）． 13. 某校为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开设了“烹饪、园艺、电工、木工、缝纫”五大类劳动课程．学校需要招聘一位烹饪教师，小李笔试得10分，实际烹饪操作得8分，若按笔试占，实际烹饪操作占的比例计算总成绩，则他的总成绩是_______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的求解方法解答即可． 【详解】解：小李的总成绩：（分）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，再将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形按此方式连续旋转次得到菱形．已知菱形的边长为1，，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，根据菱形的边长为1，，证明是等边三角形，得出，求出，得出，连接，根据旋转可得，得出旋转周期为8，每旋转8次，图形回到原位，旋转2026次的位置与旋转2次的位置相同，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵菱形的边长为1，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， 根据旋转可得， ∵， ∴旋转周期为8，每旋转8次，图形回到原位， ∵， ∴旋转2026次的位置与旋转2次的位置相同， 旋转2次共顺时针转了， 原沿y轴正方向，顺时针转后，位于x正半轴上， 因此． 15. 如图，在等腰直角三角形中，，，点D是的中点，点M是的中点，点E在上运动（点E不与点B重合，可与点M重合），将沿所在直线翻折到的位置，交于点F．当为等腰三角形时，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，分为，，三种情况分别求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴有，，三种情况． ①当时，则， 由折叠的性质，可得， 设，则． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴此情况不成立； ②当时，有． 由折叠的性质，可得， 设，则， ∴． 在中，， ∴． 如图1，过点E作于点G． 在中，，则， 在中，∵， ∴，， ∵点D是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，有， 由折叠的性质，可得， 设，则， ∴． 在中，． ∴． ∴． 连接， ∵是等腰直角三角形，点D是的中点， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴此时点E与点M重合，如图2． ∵是等腰直角三角形，，， ∴． ∵点M是的中点， ∴． ∴． 综上所述，的值为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先负整数指数幂和零指数幂运算、二次根式的运算，再加减运算即可解答； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某中学为了解该校学生对航天知识的掌握情况，举行了航天知识测试，并从七、八年级各随机抽取了20名学生的测试成绩x（百分制），进行了整理、描述和分析，信息如下： 【数据收集】 七年级20名学生的测试成绩：99 81 88 90 85 100 86 87 92 79 90 93 94 88 87 88 75 88 84 98 八年级20名学生的测试成绩在这一组的是85 85 86 87 87 87． 【数据整理】 年级 七年级 2 2 a 5 3 八年级 3 5 6 4 2 【数据分析】 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88.6 b 88 38.64 八年级 86 87 c 52.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________． （2）在这次测试活动中，小东的测试成绩是87分，在他所属的样本中位于中等偏上水平，那么小东是_______年级的学生． （3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1）8，88，85.5 （2）八 （3）七年级的成绩更好． 理由如下：七年级学生测试成绩的平均数、中位数和众数均大于八年级，且方差比八年级小，成绩更稳定，所以七年级的成绩更好（理由不唯一） 【解析】 【分析】（1）先由七年级的样本容量减去已知组的频数求得a，再根据众数和中位数定义求解b、c即可； （2）根据两个年级的中位数和小东的测试成绩可得答案； （3）根据表格数据，结合各统计量的意义可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，； 七年级学生测试成绩88出现的次数最多，∴． 由表格知，八年级20名学生的测试成绩从小到大排列后，第10，11位数分别是85，86， 故中位数； 【小问2详解】 解：由题意知，七年级学生测试成绩的中位数为88，八年级学生测试成绩的中位数为85.5，小东的测试成绩是87分，， ∵在他所属的样本中位于中等偏上水平， ∴小东是八年级的学生． 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，，点B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点D、C的坐标代入中得，然后解方程分别求得m、k值即可解答； （2）过点D分别作于点E，于点F，由（1）可得，点，根据D为的中点，求出点A坐标，结合坐标与图形性质求得，．，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点和点都是反比例函数图象上的点， ∴， 解得，（舍去）． ∴． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：过点D分别作于点E，于点F，如图． 由（1）知， ∴点，点， ∴，，，， ∴． ∵D为的中点， ∴， ∴，． ∴． ∴． 19. 隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了锐角三角函数以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①； ②； ③； ④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内； ②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 【答案】天堂的高度约为 【解析】 【分析】如图，过点E作，交于点N，交于点M，证明，利用相似三角形的性质，结合已知求解即可． 【详解】解：如图，过点E作，交于点N，交于点M，则四边形和四边形均为矩形， ∴，，， 则，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：天堂的高度约为． 20. 图1是1970年6月在洛阳市关林钢厂出土的唐代文物——金银平脱鸾凤花鸟纹铜镜的图片．铜镜为八瓣葵花形，淇淇同学为了找到最接近它外接圆的圆心，在其边缘标注了A，B，C三点． （1）请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中画出圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图3，淇淇同学正确地画出了圆心O，连接，，，过点C作的平行线交过点A的切线于点D，量得，，． ①求证：； ②求铜镜的半径．（结果精确到．参考数据：） 【答案】（1）如图所示，点O即为所求作的圆心． （2）①证明：如图，连接并延长交于点E． ∵与相切， ∴． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴． ∴． ∴垂直平分． ∴； ②铜镜的半径约为 【解析】 【分析】（1）连接，，分别作线段，的垂直平分线，两条线段垂直平分线的交点O，根据圆的定义可得点O即为求作； （2）①连接并延长交于点E．先根据圆的切线性质得到，再证明四边形为平行四边形得到，则可得到，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可证得结论； ②先利用垂径定理和勾股定理求得，．连接，设铜镜的半径为，利用勾股定理列方程求解r值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵，， ∴． 在中，． 连接，如图，设铜镜的半径为， 则， 在中，， ∴，整理得， ∴，解得． 答：铜镜的半径约为． 21. 开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． （1）求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． （2）某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】（1）款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元 （2）共有3种购买方案 （3）当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元，根据“用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件”列分式方程，求解并检验即可； （2）设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据“购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元”列不等式求解即可； （3）在（2）的条件下，令表示总费用，求出一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元， 由题意，得，解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．则． 答：款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元． 【小问2详解】 解：设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据题意，得 ，解得． 款纪念品的数量不少于款纪念品数量的一半， ， 解得． ． 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种购买方案． 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，令表示总费用，则． ， 随着的增大而增大． 当时，取得最小值， 最小值为． 答：当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元． 22. 网球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后网球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分． 【发现问题】 在探究实践活动中，爱思考的小明发现发球后网球的竖直高度y（单位：m）随网球的水平距离x（单位：m）的变化而变化． 【提出问题】 网球的竖直高度y与网球的水平距离x之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小明经过测量和计算得到某次发球后，网球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 10 12 … 竖直高度y/m … 建立如图所示的平面直角坐标系，网球从发出到落地的过程中竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系式（）． 【解决问题】 （1）根据以上数据，求y与x之间的函数关系式． （2）已知球网与O点的水平距离为12m，高度为0.91m，球场的边界与O点的水平距离为24m．判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由． 【答案】（1） （2）这次发球能过网，不会出界，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出解析式是解题的关键． （1）先根据表格得顶点坐标，然后设顶点式，再代入一个点坐标即可求解； （2）将，分别代入函数解析式，求出函数值，即可求解． 【小问1详解】 解：由表格得抛物线的顶点为， ∴设解析式为：， 又∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：这次发球能过网，不会出界， 理由：当时，， ∴这次能过网， 当时，， ∴这次发球不会出界． 23. 综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“矩形”为研究对象，结合旋转开展探究． 【问题情境】 如图1，在矩形中，M为直线上的点（不与点B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，点P为线段上一点，连接和，，交于点H． （1）【初步探究】奋进小组提出的问题：如图2，若，点M与点A重合，P为的中点，则的值是________，与的位置关系是_______． （2）【深入探究】智慧小组提出的问题：如图3，若，，，且，写出的值及与的位置关系，并就图3的情形，说明理由． （3）【拓展延伸】创新小组突发奇想提出的问题：将问题迁移到在平面直角坐标系中，使得正方形的边在x轴上，如图4．若P为的中点，，，，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）， （2），． 理由：∵， ∴为等腰直角三角形． ∴， 如图，设与交于点E， ∵线段绕点C逆时针旋转得到线段， ∴点M，B，N共线，垂直平分． ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵． 又∵，， ∴，又，， ∴． ∴，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为正方形，设与交于点E，根据旋转性质可得点M，B，N共线，垂直平分，则有，分别证明和，利用全等三角形的性质推导出，，进而可求解； （2）先证明为等腰直角三角形得到，设与交于点E，根据旋转性质得到点M，B，N共线，垂直平分，则．证明．得到，结合已知得到，证明得到，，进而可求解； （3）分两种情况：①当点M在点B的左边时；②当点M在点B的右侧时，结合已知求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形为正方形， ∴，，， 如图，设与交于点E， ∵点M与点A重合，线段绕点C逆时针旋转得到线段， ∴点M，B，N共线，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵P为的中点，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况： ①如图1，当点M在点B的左边时，过N作，交延长线于Q，过M作，交延长线于F， 则四边形是矩形，， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵P为的中点， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴，此时点P与原点重合， ∴点M的坐标为； ②如图2，当点M在点B的右侧时， 同理可得， ∴， ∴． ∴点M的坐标为． 综上可知，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $