精品解析：江西新余市部分校2025-2026学年高一下学期6月训练数学试卷

高一数学训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，满足，，则在上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 5 B. C. D. 5. 若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知复数z的共轭复数为，且，则（ ） A. B. 5 C. D. 6 7. （ ） A. B. 2 C. D. 8. 某次航展中，地面雷达显示：三架无人机A，B，C（A，B，C均视为质点）在同一水平面上，且，，A，B均以的速度沿正东方向匀速直线飞行，B在A的正北方向处，在直线的西侧的C保持的速度紧随其后．忽略其他因素，若要求A，B，C完成一字型编队（A，B，C三点共线），则所需的最短时间为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，每个小方格的边长均为1，复数，在复平面内的对应点分别为A，B，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内的对应点位于第三象限 10. 为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点（ ） A. 横坐标伸长到原来的3倍，再向左平移个单位长度 B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 D. 向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 11. 若函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的值域为 C. D. 在上的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部为______． 13. 若，且，，则_____． 14. 如图，圆A的直径，点A在圆B上，P是圆A上的动点，Q是圆B上的动点，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求外接圆的面积； （2）若，求的周长． 16. 已知三个点，，． （1）求向量与的夹角； （2）若四边形是等腰梯形，且，求点D的坐标． 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）已知，，且，，求的值． 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若函数在上恰有7个零点，求a的取值范围． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）证明：． （2）求的最小值． （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得：. 2. 已知平面向量，满足，，则在上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影数量的公式结合条件即可求解. 【详解】由题意得在上的投影数量为. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助同角三角函数基本关系将弦化为切后计算即可得. 【详解】. 4. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理，得. 5. 若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由正切函数的最小正周期公式算出，再由对称中心公式求出对称中心. 【详解】依题意，，所以，所以， 令，解得， 所以对称中心为. 6. 已知复数z的共轭复数为，且，则（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】设，，，则，， 所以，， 因为，所以，， 则，解得，故，. 7. （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，利用倍角公式可得，再结合辅助角公式化简即可. 【详解】因为， 且， 所以原式. 8. 某次航展中，地面雷达显示：三架无人机A，B，C（A，B，C均视为质点）在同一水平面上，且，，A，B均以的速度沿正东方向匀速直线飞行，B在A的正北方向处，在直线的西侧的C保持的速度紧随其后．忽略其他因素，若要求A，B，C完成一字型编队（A，B，C三点共线），则所需的最短时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先建立坐标系，用余弦定理求出的边，再用三角形等面积求C横坐标，进而得到C的坐标，接着写出飞行秒后三点坐标，最后利用A，B，C共线的条件即可解出所需的最短时间. 【详解】以无人机A的初始位置为原点，正东为轴正方向，正北为轴正方向，如图: 初始时刻，C在直线（轴）的西侧，故， 已知，在中，由余弦定理： ，代入可得， 又，即， 解得，， 得（两点纵坐标介于0和70之间），即初始， 由A，B速度向东,C速度向东,则： ， A，B横坐标相同，连线是竖直线，由A，B，C三点共线， C横坐标也等于，即， 那么. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，每个小方格的边长均为1，复数，在复平面内的对应点分别为A，B，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内的对应点位于第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据点 ， 在复平面内的坐标写出 ，，再分别进行复数的加法、数乘和除法运算，判断各选项． 【详解】由图可知，点的坐标为 ，点的坐标为 ， 所以因此A正确，B错误． 对于C， 的实部为0，虚部不为0，所以为纯虚数，C正确． 对于D， 其实部和虚部均为负数，所以其对应点位于第三象限，D正确． 10. 为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点（ ） A. 横坐标伸长到原来的3倍，再向左平移个单位长度 B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 D. 向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查三角函数图像的平移与伸缩变换，默认初始变换的基础函数为，需要逐个验证选项的变换结果 【详解】选项A,先将横坐标伸长到原来的3倍，得到，再向左平移个单位长度，得到，和目标函数不一致，A错误. 选项B，先将横坐标缩短到原来的，得到，再向右平移个单位长度，得到，和目标函数完全一致，B正确. 选项C，先向右平移个单位长度，得到，再把横坐标缩短到原来的，得到，和目标函数不一致，C错误. 选项D，先向右平移个单位长度，得到，再把横坐标缩短到原来的，得到，和目标函数完全一致，D正确. 11. 若函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的值域为 C. D. 在上的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角函数和差化积，积化和差公式可得，通过验证判断A，根据正弦函数的有界性判断B，根据，结合三角函数的有界性和单调性即可判断C，不等式，可转化为或且，由此可得结论. 【详解】由积化和差公式， 则， ， 即， 又因为和差化积公式 ， 则，. 若的图象关于直线对称，则， ， 等式成立，因此的图象关于直线对称，A正确； 设，即， 结合可得和互为相反数且绝对值为1， 若，则，则， 若，则，则， 均不满足和互为相反数，即取不到1，B错误； ， ， 则 已知在上单调递增，则， 即，即，C正确； ，即， 在区间上，， 则不等式等价于（当 时），及时的点， 时，，此时，符合， ，的区间是， 即， 故在上解集为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为. 13. 若，且，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式将原方程因式分解，得到，再结合正切二倍角公式化简求出的值. 【详解】由题意得，即， 则，因为，所以， 则，解得. 14. 如图，圆A的直径，点A在圆B上，P是圆A上的动点，Q是圆B上的动点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立适当平面直角坐标系，借助三角函数表示出、，再利用数量积公式及辅助角公式可得，由，可得，再利用三角恒等变换求出的最小值以及最大值即可得解. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系， 则、、，设、， 则、， 则 ，其中， 因 ， 则，因， 则， 又 ， 因，则当时，取得最小值，即； 又 ， 因，则当时，取得最大值24，即. ，故的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求外接圆的面积； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【小问1详解】 设外接圆的半径为R．由正弦定理，得， 所以外接圆的面积为． 【小问2详解】 由余弦定理，得， 得，得 故的周长为． 16. 已知三个点，，． （1）求向量与的夹角； （2）若四边形是等腰梯形，且，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用向量夹角的计算公式； （2）运用向量平行的相关条件加上等腰梯形求出具体坐标. 【小问1详解】 因为， ， ， ， ， 所以． 故向量与的夹角为． 【小问2详解】 设点D的坐标为， 则，． 由题意得，，，则， 解得，故点D的坐标为． 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）已知，，且，，求的值． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式、辅助角公式将化简为正弦型函数的标准形式，结合正弦函数的单调递增区间列不等式求解，即可得到的单调递增区间. （2）先根据、的函数值求解、，结合、的取值范围确定、所在象限，进而求得对应的余弦值；再利用三角诱导公式将转化为关于、的余弦和角形式，代入计算即可得到结果. 【小问1详解】 ． 由，，得，， 所以的单调递增区间为，． 【小问2详解】 由，， 得，． 由，，得，， 所以，． 故 ． 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若函数在上恰有7个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由图中两个关于零点中心对称的点，先确定一个零点，再利用相邻零点间的距离求周期和；结合图象经过的点求与； （2）令，将自变量区间转化为角的区间，再根据余弦函数在相应区间上的单调性求值域．（3）令 ，先统计方程 在给定区间内的零点个数，再研究方程 的两个根分别应落在哪两个区间，最后利用两根之积为1求的范围． 【小问1详解】 由图可知，图象经过点 和 ，这两点关于点 中心对称，所以 图中 与 是相邻两个零点，因此从而 在 处，图象由正变负，所以 解得 由 ，得 ． 又因为 ，所以解得 ． 故 【小问2详解】 令 当时， 将该区间中的角同时加上，不改变余弦值，得到 在上，余弦函数由减小到；在上，余弦函数由增大到． 所以从而 故在上的值域为． 【小问3详解】 令 当时， 在该区间内，函数的图象如下． 将区间依次分成 在这四个区间上，依次单调递减、单调递增、单调递减、单调递增，端点函数值依次为 因此，方程的根数为： 当时，有4个不同的根； 当时，有3个不同的根； 当时，有2个不同的根； 当时，有2个不同的根；当时，有1个根． 函数的零点满足 令，则 满足 要使在给定区间上恰有7个零点，上述方程必须有两个不同的实根，其中一个根对应4个 ，另一个根对应3个 ． 因此，可设其中一个根为 ，且 由两根之积为1，另一个根为． 因为，所以它恰好落在 内，对应3个 ． 反之，任取，两个根与分别对应4个和3个，共得到7个零点． 由两根之和为，得 对勾函数在上单调递增，时，时， 故的取值范围为 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）证明：． （2）求的最小值． （3）求的最小值． 【答案】（1）已知． 由余弦定理，得， 则， 所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将已知等式中的替换为边的表达式，代入化简整理，即可推导出待证式； （2）结合第一问得到的边的等量关系，用余弦定理将表示为仅含的分式，再利用基本不等式即可求得的最小值； （3）利用正弦定理、三角恒等变换将边的条件转化为，结合三角形内角正切关系换元构造一元二次方程，利用判别式求解的最小值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得． 由余弦定理得． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 故的最小值为． 【小问3详解】 由（1）知，由正弦定理得， 得，得， 得， 得， 得． 由题可知有意义，因此都不是直角， 由（2）可知不是直角，所以不是直角三角形， 则， 等式两边同时除以， 得， 等式两边同时除以，得． 因为， 所以， 则． 设，，则． 令，则，， 即． 由，得． 当， 即时，取得最小值，且最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $