精品解析：江西鹰潭市余江区第一中学2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试题

高一下学期第三次月考数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，故的虚部为. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】设条件：“”，条件：“”，当，，所以能推出； 当，，此时不一定为0，所以不能推出. 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积可求的值. 【详解】, 故选：A. 4. 函数，的图象大致为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可． 【详解】由，， 可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，故可排除选项C、D， 当时，可得，可排除选项B， 所以该函数的图象大致为选项A． 5. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 6. 已知，，且，，则为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 由两角和的正切公式得， 而，，可得， 故，因此． 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ，因为在上单调递增， 所以，又因为，所以 即，综上. 8. 函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对原式化简后通过零点个数对其定义域求解并判断范围即可. 【详解】， 若，则. 依题意，在上的零点个数，即函数与直线在上的交点个数， 又因为以及,， 可得能取到这三个点而取不到， 因此，解得. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量垂直时的坐标公式判断选项A；根据已知条件，利用向量线性运算的坐标形式，建立等量关系判断选项；根据投影向量的公式，代入坐标求值即可判断选项；根据向量夹角为锐角可得数量积大于，验证共线时的的取值，即可判断选项. 【详解】解：选项A，， ， 又，，， 解得，A正确； 选项B，，， ，解得，B正确； 选项C，在上的投影向量为，则，所以， 代入坐标得，化简得，易知方程无解，C错误； 选项D，与夹角为锐角，，解得， 若与共线，则，解得， 而当时，取不到，因此与夹角为锐角时，，正确. 10. 若函数在上单调递增，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 的最大值为 C. 的最小值为-2 D. 的最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简函数，再结合正弦型函数的对称性、单调性逐一判断每个选项. 【详解】 对于A：因为，所以关于对称，A正确； 对于B：由，得， 因为，所以，即， 所以的最大值为，B正确； 对于C：因为，所以，又在单调递增， 由，可得，, 所以， 所以，即的最小值为，C正确； 对于D：由C分析可知，无最大值，D错误. 11. 已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（ ） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. 不等式的解集为 D. 令，则方程在上有个解，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据单调递增区间求出最小正周期，再利用周期公式求出，判断选项A；利用正切函数对称中心的性质判断选项B；利用正切函数的单调性判断选项C；根据的性质和图像，结合已知条件，判断选项D． 【详解】选项A：函数其中一个单调递增区间为， 该函数的最小正周期，依题意，，则，故A正确； 选项B：因正切函数的对称中心满足，解得， 当时，，即是对称中心，故B正确； 选项C：，即，， 解得，故C错误； 选项D：因函数和的图象均关于对称， 如图，两函数图象共个交点且两两关于对称， ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在中，已知，角______. 【答案】 【解析】 【详解】因为中，已知， 由余弦定理得， 因为，所以. 13. 已知角的终边上有一点P的坐标是，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】因角的终边上点P的坐标是，则， 所以. 14. 已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点满足，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意由三角函数的周期性得出的长，并用的横坐标之差表示，再结合的中点函数值取最值即可求解． 【详解】由题意设，， 因为，所以， 所以，所以， 点和点的中点坐标为， 所以， 所以，即， 解得，所以， 所以， 所以 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最小值；最大值 【解析】 【分析】（1）根据题意结合五点法求函数解析式； （2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解. 【小问1详解】 由图可知：函数的周期， 又，所以. 又因为，即， 则，即. 且，可知，所以. 【小问2详解】 由的图象向右平移个单位长度后得， 因为，令， 当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值. 16. 已知，，． （1）求函数的解析式； （2）求在上的最大值和最小值． （3）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）最大值，最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算规则计算得到展开式，再利用二倍角公式、辅助角公式化简整理，即可得到的解析式； （2）由求出的取值范围，结合正弦函数的性质，即可计算出的最大、最小值； （3）先由​结合B的范围求出角B，再利用余弦定理得到边的关系，结合基本不等式求最大值，进而得到周长最大值. 【详解】（1）由， 则. （2）当时，. 则当（即）时，取得的最大值为1； 当（即）时，取得的最小值为. 故的最大值为，最小值为. （3），即， 为的内角，. 故. . 则. 又，由余弦定理， 得，即. 由均值不等式得：， 即，从而， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形． 周长最大值：. 17. 在中，角的对边分别是，且，. （1）求角的大小； （2）若边上的中线，求的面积. （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简即可求出； （2）根据题意列出，化简得，又由余弦定理得即可求出； （3）利用定理得到，再利用为锐角三角形，得到，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 由有， ，即， ，，又，故． 【小问2详解】 由平方得， 所以，即，所以， 又由余弦定理得，所以， 所以的面积为. 【小问3详解】 由题意得，又， ， 又为锐角三角形，则有，得， 所以，所以，故． 18. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在上(异于点，)，过作，，垂足分别为，，记，四边形的周长为，面积为． （1）分别求出和l关于的函数解析式，并将解析式化简为的形式，其中； （2）当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【答案】（1），； （2）当为时，面积S有最大值，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定的几何图形，求出面积及周期的函数关系，再利用三角恒等变换化成指定形式. （2）由（1）的结论，利用正弦函数的性质求出指定区间上的最大值. 【小问1详解】 由，扇形是半径为1，得， 则的面积， 由，得， 同理， 因此 ， 所以S关于的函数解析式为； ， 所以关于的函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 则当，即时，取得最大值， 所以当为时，面积有最大值，最大值为. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量. （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先将函数化简为的形式，从而得到伴随向量的坐标，再根据向量模的计算公式即可求出； （2）先根据伴随函数的定义求出的表达式，进而求出的值，再利用正弦定理求出，最后根据余弦定理即可求出； （3）先根据伴随函数的定义求出函数的表达式，再化简方程，分类讨论并画出的图象，然后将问题转化为两个函数有交点问题，最后根据函数图象的交点情况即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意得， ，. 【小问2详解】 函数为向量的伴随函数， ， ，或， 即或（舍）， 又，由正弦定理得，，即，， 所以，即， 由余弦定理得，即， 即. 【小问3详解】 函数为向量的伴随函数，， 又关于的方程为， ，即 记 ∴ 作出函数的图像，如图所示，   方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 图象与直线有四个交点， ，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期第三次月考数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 函数，的图象大致为（   ） A. B. C. D. 5. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，，则为（ ） A. B. C. D. 或 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 10. 若函数在上单调递增，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 的最大值为 C. 的最小值为-2 D. 的最大值为2 11. 已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（ ） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. 不等式的解集为 D. 令，则方程在上有个解，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在中，已知，角______. 13. 已知角的终边上有一点P的坐标是，则________． 14. 已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点满足，则实数__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 16. 已知，，． （1）求函数的解析式； （2）求在上的最大值和最小值． （3）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 17. 在中，角的对边分别是，且，. （1）求角的大小； （2）若边上的中线，求的面积. （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 18. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在上(异于点，)，过作，，垂足分别为，，记，四边形的周长为，面积为． （1）分别求出和l关于的函数解析式，并将解析式化简为的形式，其中； （2）当为何值时，有最大值？并求出最大值． 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量. （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $