精品解析：山西省太原市师范学院附属中学2026年九年级中考前模拟数学试卷

太原师院附中2025-2026学年第二学期 九年级数学学科限时作业3 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 5月12日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，将卫星精准送入预定轨道，发射任务圆满成功．若向上飞行5千米记作千米，向下降落3千米记作（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【分析】根据“正”“负”的相对性，确定相反意义的量的表示方法． 【详解】解：∵题目规定向上飞行记为正，向下与向上是一对相反意义的量， ∴向下降落应记为负， ∴向下降落3千米记作千米． 2. 武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘除法、完全平方公式、积的乘方法则，逐个计算选项即可得到正确结果． 【详解】解：对于选项A：根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ，A错误． 对于选项B：根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． ，B错误． 对于选项C：展开多项式计算得： ，C错误． 对于选项D：根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积，幂的乘方底数不变，指数相乘． ，D正确． 4. 下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的定义， 根据“从左面看几何体，所看到的视图是左视图”即可求解．画轮廓线时，看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】解：由题意得，此领奖台的左视图是： 故选：C． 5. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数． 【详解】解：如图： ∵水面和杯底互相平行， ， ， ， ∵水中的两条折射光线平行， ． 6. 如图为一款跳方格游戏的路线图，游戏规则规定：按照路线图所示线路，每次只能随机跳一格至相邻的方格（可返回上一个方格，但不能原地跳），则小宇从方格出发，连续跳两次后回到方格的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中连续跳两次后回到方格的结果有4种， （连续跳两次后回到方格）． 7. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，即可选出正确选项． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 8. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 9. 酸碱中和反应是一种放热反应．图甲是室温下将一定体积的稀盐酸溶液置于烧杯中，通过温度传感器记录初始温度，然后逐滴加入等浓度的氢氧化钠溶液，并持续搅拌使反应充分进行，在此过程中，数据采集器连续采集温度数据，并在计算机上显示．如图乙所示是溶液温度随时间的变化图象．则下列说法不正确的是（ ） A. 反应开始前，稀盐酸溶液的温度为 B. 混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降 C. 0至20s时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同 D. 混合溶液的温度不低于时，持续的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A．由图可知，反应开始前，稀盐酸溶液的温度为，原说法正确； B．由图可知，混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降，原说法正确； C．由图可知，至时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同，原说法正确； D．由图可知，混合溶液的温度不低于时，持续的时间，原说法错误． 10. 如图，在边长为的正六边形中，以为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用正六边形内角与边长性质证、为直角三角形，得出，进而得圆心角，再用两个直角三角形的面积和减去该圆心角的扇形面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是边长为的正六边形， ∴，每个内角为，平分， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 同理得，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简二次根式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为： 12. 某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 _________．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 【答案】0.96 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：观察上表，可以发现，合格工件的频率稳定在0.960附近，合格的概率约为0.96． 故答案为：0.96． 13. 如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵点的坐标为，且以原点为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点在第一象限的对应点的坐标为，即为． 14. 在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 15. 如图，矩形，点、点分别是、的中点，连接、，且平分，点为上靠近点的三等分点，连接，已知，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长、交于点，过点作于点，证明得到，，根据题意得，进而得到，结合平分，推出，则，由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， 点是的中点， ， ， ， ，， 点是的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， 点为上靠近点的三等分点， ， ，， ， ，即， ，， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算及化简： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，是的直径，直线与相切于点，是圆内接三角形，小李发现与相等，他的思路是：连接……请按照小李的思路补充完善证明过程． 【答案】证明：连接， 直线与相切于点， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】连接，根据圆的切线性质可得，根据圆周角定理可得，则，推出，根据圆周角定理得到，即可得证． 【详解】略 18. 为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对太原市甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图； b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数； 平均数 中位数 众数 甲 m 70 乙 64 （1）填空： ， ， （2）甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差分别为，，则 （填“>”“=”或“<”）； （3）由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为67分钟．你认为将数据改正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、方差与原来相比是否有变化?若有变化，请指出是变大还是变小． 【答案】（1），， （2） （3）平均数、方差都发生变化；平均数变大，方差变小 【解析】 【分析】（1）考查平均数，中位数，众数的定义，观察折线图计算即可； （2）考查数据的方差，方差反应的是数据的波动程度，数据越集中，方差越小；数据越分散，方差越大，图中明显可以看出甲校学生平均运动时长的数据更为分散，故方差更大； （3）当其他数据不变，一个数据变大则平均数变大，变小则平均数变小，而分钟相比于分钟而言更靠近平均值，即数据波动程度变小，因此方差变小． 【小问1详解】 解：由图可知，， 将甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长按从小到大排列为：， 故由中位数定义知， 众数是统计数据中出现次数最多的那个， 由图可知乙校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长有天都为分钟， 故． 【小问2详解】 解：从图中明显可以看出甲校学生平均运动时长的数据更为分散，故方差更大， ． 【小问3详解】 解：因为当其他数据不变时，一个数据变大则平均数变大，实际值，所以平均值变大； 甲校学生平均运动时长的数据平均值为分钟，实际值比更接近平均值， 因此数据改正后数据波动程度更小，方差变小． 19. 列分式方程解应用题： 为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】原计划大巴车平均每小时行驶45千米． 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决实际应用问题，设原计划大巴车平均每小时行驶千米，则实际平均每小时行驶千米，根据时间关系列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设原计划大巴车平均每小时行驶千米，则 ， 解得：， 经检验符合题意； 答：原计划大巴车平均每小时行驶45千米． 20. 综合实践活动中，某数学课外活动小组用他们刚学过的锐角三角函数知识开展了测量“学校新建的图书馆楼顶上旗杆的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量旗杆的高度 测量方案 如图，代表旗杆的高度，在地面，处用两个高度相同的测角仪分别测得旗杆顶端的仰角，，并测得之间的距离，，均代表测角仪的高度． 说明：点，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 测角仪的高度 参考数据 ，，． 任务一：根据多次测量取平均值的原理，表中___________，___________； 任务二：据建筑人员介绍图书馆楼高为，求旗杆高度． 【答案】任务一：，；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意，取两次测量值的平均值，即可求解； （2）连接，交于点，依题意得出，，进而解，，求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：任务一：， 故答案为：．，； 任务二：如图， 依题意，，，， 连接，交于点，， 四边形为矩形，则， ∴， 在中， ， ， ， 在中， 答：旗杆高度为． 21. 阅读与思考 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】 （1）如图3，在四边形中，，，．求：①与的位置关系为： ；② ．（填“>”，“<”或“=”） 【深度探究】 （2）如图4，在中，．将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． 【方法应用】 （3）如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ． 【答案】（1）①平行；②= （2）令， 由旋转得，，，，， ， ，则， ， ， ， ， ， 四边形为双等四边形； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明可得结论； （2）根据双等四边形的定义进行证明； （3）分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， 故答案为：①平行；②＝； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述，或或． 22. 某中学课外科技实践社团设计了一款航模飞行器，其飞行轨迹可抽象为抛物线的一段．通过在水平安全线上点发射飞行器的实验，测得飞行器相对于出发点的水平飞行距离（单位：）与飞行高度（单位：）的部分对应数据如表： 飞行水平距离 0 10 20 30 40 50 … 飞行高度 0 22 40 54 64 70 … 根据上面的信息，解决下列问题： （1）求飞行器飞行高度关于水平距离的函数解析式． （2）求飞行器飞行的最大高度． （3）①求飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离． ②社团在水平安全线上搭建了高度可调节的发射平台，当平台高度改变时，飞行器的飞行轨迹可看作原抛物线沿竖直方向平移得到．在水平安全线上设置回收区域，点到点的距离为，的长为．调整发射平台的高度，若飞行器能落在回收区域内（不包括端点，），请直接写出发射平台相对于安全线的高度的取值范围． 【答案】（1） （2）飞行器飞行的最大高度是72米 （3）①飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离是120米；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用（抛物线的平移与一元二次方程的求解），解题的关键是根据平移规律写出新函数解析式，再结合落点范围列不等式求解． （1）设二次函数一般式，代入表格数据，用待定系数法求解析式； （2）将解析式配方为顶点式，直接读出顶点纵坐标即最大高度； （3）①令，解一元二次方程，取正根得到落回安全线的水平距离；②根据平移得到新函数，令取正根，结合落点在列不等式，求解的范围． 【小问1详解】 解：设飞行器飞行高度关于水平距离的函数解析式为 将；；代入，得 解得 ∴函数解析式为 【小问2详解】 解： ∵， ∴当时，． 答：飞行器飞行的最大高度为． 【小问3详解】 ①令，则 解得 答：飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离为 ②发射平台高度为时，轨迹对应的函数为 令，得 整理得 由求根公式，取正根 由题意，得 解左侧不等式： 解右侧不等式： 综上，． 故答案为：． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，正方形中，，点E，F分别是边，的中点，连接，点G是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，． 猜想证明： （1）针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现，请你证明这一结论； 操作探究： （2）“善思小组”提出问题：如图2，当点G为线段的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （3）“创新小组”在认真分析了旋转到不同位置时的情形后，提出问题：若直线与直线交于点M，当为直角三角形时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）证明：线段绕点A逆时针方向旋转后得到， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）解：四边形为正方形；理由如下： 点E，F分别是边，的中点， ，， ，点G为线段的中点 ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形为正方形； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可证明结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合，，即可四边形的形状； （3）根据为直角三角形，可分两种情况讨论，当时，过点G作于点N，先证明四边形为正方形，再求，即得答案；当时，点G与点F重合，分别求出和的面积，即得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）分两种情况讨论： 当时，如图，过点G作于点N， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 四边形的面积为； 当时，如图，点G与点F重合， 此时，， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即， ，， 四边形的面积为； 综上说述，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握掌握相关判定与性质，用分类讨论思想来解题是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原师院附中2025-2026学年第二学期 九年级数学学科限时作业3 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 5月12日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，将卫星精准送入预定轨道，发射任务圆满成功．若向上飞行5千米记作千米，向下降落3千米记作（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 2. 武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图为一款跳方格游戏的路线图，游戏规则规定：按照路线图所示线路，每次只能随机跳一格至相邻的方格（可返回上一个方格，但不能原地跳），则小宇从方格出发，连续跳两次后回到方格的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 8. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 9. 酸碱中和反应是一种放热反应．图甲是室温下将一定体积的稀盐酸溶液置于烧杯中，通过温度传感器记录初始温度，然后逐滴加入等浓度的氢氧化钠溶液，并持续搅拌使反应充分进行，在此过程中，数据采集器连续采集温度数据，并在计算机上显示．如图乙所示是溶液温度随时间的变化图象．则下列说法不正确的是（ ） A. 反应开始前，稀盐酸溶液的温度为 B. 混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降 C. 0至20s时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同 D. 混合溶液的温度不低于时，持续的时间为 10. 如图，在边长为的正六边形中，以为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简二次根式：________． 12. 某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 _________．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 13. 如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 14. 在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 15. 如图，矩形，点、点分别是、的中点，连接、，且平分，点为上靠近点的三等分点，连接，已知，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算及化简： （1）计算：． （2）化简：． 17. 如图，是的直径，直线与相切于点，是圆内接三角形，小李发现与相等，他的思路是：连接……请按照小李的思路补充完善证明过程． 18. 为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对太原市甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图； b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数； 平均数 中位数 众数 甲 m 70 乙 64 （1）填空： ， ， （2）甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差分别为，，则 （填“>”“=”或“<”）； （3）由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为67分钟．你认为将数据改正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、方差与原来相比是否有变化?若有变化，请指出是变大还是变小． 19. 列分式方程解应用题： 为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？ 20. 综合实践活动中，某数学课外活动小组用他们刚学过的锐角三角函数知识开展了测量“学校新建的图书馆楼顶上旗杆的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量旗杆的高度 测量方案 如图，代表旗杆的高度，在地面，处用两个高度相同的测角仪分别测得旗杆顶端的仰角，，并测得之间的距离，，均代表测角仪的高度． 说明：点，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 测角仪的高度 参考数据 ，，． 任务一：根据多次测量取平均值的原理，表中___________，___________； 任务二：据建筑人员介绍图书馆楼高为，求旗杆高度． 21. 阅读与思考 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】 （1）如图3，在四边形中，，，．求：①与的位置关系为： ；② ．（填“>”，“<”或“=”） 【深度探究】 （2）如图4，在中，．将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． 【方法应用】 （3）如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ． 22. 某中学课外科技实践社团设计了一款航模飞行器，其飞行轨迹可抽象为抛物线的一段．通过在水平安全线上点发射飞行器的实验，测得飞行器相对于出发点的水平飞行距离（单位：）与飞行高度（单位：）的部分对应数据如表： 飞行水平距离 0 10 20 30 40 50 … 飞行高度 0 22 40 54 64 70 … 根据上面的信息，解决下列问题： （1）求飞行器飞行高度关于水平距离的函数解析式． （2）求飞行器飞行的最大高度． （3）①求飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离． ②社团在水平安全线上搭建了高度可调节的发射平台，当平台高度改变时，飞行器的飞行轨迹可看作原抛物线沿竖直方向平移得到．在水平安全线上设置回收区域，点到点的距离为，的长为．调整发射平台的高度，若飞行器能落在回收区域内（不包括端点，），请直接写出发射平台相对于安全线的高度的取值范围． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，正方形中，，点E，F分别是边，的中点，连接，点G是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，． 猜想证明： （1）针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现，请你证明这一结论； 操作探究： （2）“善思小组”提出问题：如图2，当点G为线段的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （3）“创新小组”在认真分析了旋转到不同位置时的情形后，提出问题：若直线与直线交于点M，当为直角三角形时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $