精品解析：2026年湖南省长沙市岳麓区长沙麓山国际实验学校中考前模拟数学试题

2025-2026-2 初三保温考试数学试卷 一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分) 1. 下列实数中，为有理数的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数有分数、整数，根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：．不能开平方，是无理数，故该选项不符合题意； ．为无理数，故该选项不符合题意； ．不能开平方，是无理数，故该选项不符合题意； ．1是整数，是有理数，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B选项，∵，该选项符合题意； C选项，，该选项不符合题意； D选项，，该选项不符合题意． 4. 我国在量子通信领域整体处于国际领先地位．在量子通信中，某设备能处理的数据量为每秒比特，若持续工作100秒，总处理数据量约为（单位：比特）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“总处理数据量=每秒处理数据量×工作时间”列式，再根据同底数幂的乘法法则计算得到结果． 【详解】解：由题意可知，总处理数据量等于每秒处理数据量乘工作时间， ∵每秒处理数据量为比特，工作时间为秒，且， ∴总处理数据量为． 5. 某小组的一次数学检测成绩统计如下（单位：分）：76，90，64，100，84，64，73．则这组数据的众数和中位数分别是（） A. 64，76 B. 64，100 C. 76，64 D. 64，84 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数．把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数． 【详解】解：∵这组数据中64出现的次数最多， ∴这组数据的众数是64； ∵这组数据从小到大排列为：64、64、73、76、84、90、100，处于中间位置的数是76， ∴这组数据的中位数是76． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是众数以及中位数，掌握众数以及中位数的定义是解此题的关键． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键． 7. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当时， C. 它的图象与y轴交于点 D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质；根据判断A，根据图象性质判断B和D，根据当时，判断C即可． 【详解】解：A．∵，∴y随x的增大而增大，故错误； B． 当时，，故错误； C．当时，，∴它的图象与y轴交于点，故正确； D． 它的图象经过第一、三、四象限，故错误． 故选：C． 9. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，余数得4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界地球日（4月22日）是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期四 D. 星期天 【答案】D 【解析】 【分析】按照题目给出的计算规则，先找到4月对应的密码数字，再加上日期求和，计算和除以7的余数，根据余数对应得到星期几即可. 【详解】解：∵ 密码从左到右12个数字依次对应1到12月，4月对应第4个数字，密码为033614625035， ∴ 4月对应的密码数字是6，计算和得 ， ∵ ，余数为0，根据规则余数0对应星期天， ∴ 2035年4月22日是星期天. 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 12. 中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：运墨而五色具，五色：焦、浓、重、淡、清，美术老师想从这五色中随机选择一色让学生重点练习，则选中浓的概率为_______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，确定总等可能结果数和符合条件的结果数后，利用概率公式求解即可． 【详解】解：从焦、浓、重、淡、清五色中随机选择一色，共有种等可能的结果， 其中选中浓的结果有种， 根据概率公式可得，选中浓的概率为． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程的根的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，整理得， 将代入 得：． 14. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆；延长交于，如图所示：根据六边形是正六边形，，利用外角和求得，再求出正六边形内角， 利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：延长交于，如图所示： 六边形是正六边形，， ， ， ， 故答案为． 15. 如图，和是以为位似中心的位似图形，已知的面积为1，，则的面积为______． 【答案】 4 【解析】 【分析】由位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比；由 得 ，即位似比为 ；位似图形面积比等于位似比的平方，从而求出  的面积． 【详解】解：和 是以  为位似中心的位似图形， ，且位似比为 ， ， ，  位似比 ​， 位似图形面积比等于位似比的平方， ​， ， ． 16. 孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第_____步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质（不等式两边除以同一个数时，需考虑数的正负性），熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 分析每一步推理是否遵循不等式两边除以一个数时“除数不能为0且需考虑正负对不等号方向的影响”这一基本法则． 【详解】第一步：根据命题条件直接得出，这是对条件的直接引用，严谨． 第二步：将移项得到，移项法则应用正确，严谨． 第三步：对因式分解为，因式分解法则应用正确，严谨． 第四步：在两边除以时，没有考虑的正负性．根据不等式的基本性质：不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变；除以同一个负数，不等号方向改变．但此处未分析是正还是负，直接除以，推理不严谨． 第五步：由移项得到，移项法则应用正确，但因第四步不严谨，导致结论错误． 综上，上述推理过程中，第四步是不严谨的． 故答案为④． 三、解答题(本大题共 9 小题) 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值∶其中 【答案】，． 【解析】 【详解】解： 当时，原式． 19. 如图，在中，点D在边上，阅读以下作图步骤： ①以点 C为圆心，适当长为半径画弧，交于点 M，交于点 N； ②以点 D为圆心，的长为半径画弧，交 于点 ； ③以点 为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点 ； ④连接 并延长，交 于点 E． （1）由作图，可知: ，请证明你的结论． （2）若 且，求的长． 【答案】（1）结论：（或）， 证明如下：由作图可得：，，， ∴（）， ∴， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据作图步骤提取和的边的等量关系，因为三边对应相等，所以用判定两个三角形全等，进而得到对应角相等． （2）由第一问得到的等角，可推出与平行，所以与构成“A”型相似。根据已知的与的比例，得到相似三角形的相似比，结合的长度，利用相似三角形对应边成比例求出的长，再计算的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， ∴， ∴ ​，  ∵， ∴​， ∵， ∴ ，  解得，  ∴． 20. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟．”某校为了解学生完成作业的时间情况，对全校名学生进行问卷调查，把完成作业的时间（据悉全部学生完成作业的时间均在分钟）分为5个等级（：；：；：；：；：，并随机抽取了部分学生的调查问卷进行分析，根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取了___________名学生的调查问卷； （2）___________，___________； （3）补全频数分布直方图； （4）请你估计全校名学生中，书面作业平均完成时间不超过分钟的学生人数． 【答案】（1） （2）； （3）见解析 （4）名 【解析】 【分析】（）利用等级的频数与对应占比，通过除法计算出本次调查抽取的学生总数为名； （）先根据等级的频数和总人数算出其占比，确定的值；再用减去其他等级的占比，算出等级的占比，确定的值； （）根据总人数和各等级的占比，计算出等级的人数，据此补全频数分布直方图； （）先算出样本中作业时间不超过分钟的学生占比，再用全校总人数乘以该占比，估计出全校对应人数为名． 【小问1详解】 解：已知等级频数为，占比， （名）． 【小问2详解】 解：等级频数为， ∴ ∵ ∴． 【小问3详解】 解：频数分布直方图中的学生人数为（名）， 的学生人数为（名）． 补全频数分布直方图如解图； 【小问4详解】 解： （名）， 答：估计全校名学生中，书面作业平均完成时间不超过分钟的学生人数为名． 21. “低碳环保绿色出行”，某地生态环境主管部门开展形式多样、内容丰富的宣传活动，提升低碳意识，推动形成绿色生产生活方式．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励员工低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．积分可通过乘坐公共交通工具和步行获得（乘坐公共交通工具按次数计，步行按每100步计），已知乘坐3次公共交通工具+步行1300步可获得43个碳积分，乘坐1次公共交通工具+步行2800步可获得38个碳积分． （1）求乘坐1次公共交通工具和步行100步分别可获得多少个碳积分？ （2）小湘当月工作22天，每日上下班各出行1次，她规划了两种固定的绿色出行方式，方式一：1次公共交通（中途不下车）+步行600步，方式二：步行4100步，该公司规定每月需至少累计至1500积分才能兑换权益，则小湘当月最多选多少次方式一出行？ 【答案】（1）乘坐1次公共交通工具可获得10个碳积分，步行100步可获得1个碳积分 （2）当月最多选12次方式一出行 【解析】 【分析】（1）设乘坐1次公共交通工具可获得个碳积分，步行100步可获得个碳积分，根据题意列出方程组求解即可； （2）设选方式一出行次，则选方式二出行次，根据题意列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设乘坐1次公共交通工具可获得个碳积分，步行100步可获得个碳积分， 由题意得， 解得， 答：乘坐1次公共交通工具可获得10个碳积分，步行100步可获得1个碳积分； 【小问2详解】 解：设选方式一出行次，则选方式二出行次， 由题意得， 解得， 为非负整数， 最大可取12， 答：小湘当月最多选12次方式一出行． 22. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，，，点，分别是，的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，结合菱形的判定即可证明； （2）方法一：如解图①，连接，根据题意得出，设，则，确定，再由三角形中位线的性质得出，然后结合图形求面积即可； 方法二：过点作于点，同理得出，利用三角函数求解确定，再由勾股定理得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：点分别是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ． 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：方法一：如解图，连接， 四边形是菱形，， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理得 ， ， ， 点分别为的中点， ， 点是的中点，， ， ， ． 方法二：如解图②，过点作于点， 四边形是菱形，， ， 在中，， 设，则． 由勾股定理得， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， ，即， 在中，， 由勾股定理得， ． 23. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 24. 在脱贫攻坚与乡村振兴的伟大事业中，各地人民互帮互助、携手共富．受此启发，数学兴趣小组定义了“帮扶函数”与“帮扶点”．若两个函数，均为关于x的函数，当有且只有两个x的值使得 时，称与互为“帮扶函数”．若使得 时的两个x的值分别为 ，（）且当时，对应的函数值为m，时，对应的函数值为n，则点和称为函数与的“帮扶点”． （1）下列几组函数中与互为“帮扶函数”的有 (填序号) ① ， ；②，；③ ，． （2）已知 ，，函数与的“帮扶点”为A、B．若二次函数与互为“帮扶函数”，且与的“帮扶点”也是A、B，二次函数的图象还过点点 P 为线段AB上不与A、B重合的一动点，过点P 作平行于 y轴的直线分别交二次函数与二次函数的图像于 M、N两点，分别连接、、、，请判断 是否为定值．若是定值，求出其定值；若不是定值，请说明理由． （3）在(2)的条件下，若函数 当时，函数h的最大值为 求t的值． 【答案】（1）② （2）是定值，定值为2 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“帮扶函数”的定义逐一验证即可； （2）先求出，，及和直线的解析式，然后设，再根据图形分别求得，，即可求得答案； （3）先求出，再分，，，等四种情况讨论，在各自范围内列方程求解即可． 【小问1详解】 解：对于①，当时，， 去分母，得， ， ， ①不符合题意； 对于②，当时，， 去分母并整理，得， 解得，， 当时，， 当时，， 与互为“帮扶函数”，和是函数与的“帮扶点”； ②符合题意； 对于③，当时，， 移项，得 ， 两边平方，得， 整理，得， 解得，， ， ， ， ③不符合题意； 【小问2详解】 解：是定值，值为2．理由如下： 与互为“帮扶函数”， ， 解得，， 当时，， 当时，， 不妨设，， 设， 则， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：由（2）知，， 当时，， 且当时，h有最大值； 当时，； 当时，若和，则， 解得，（舍去）， ， ， ， 分三种情况讨论： 当时，最大值在处， ， 解得（不合题意，舍去）， 当时，最大值在处， ， 解得（不合题意，舍去）， 当时，最大值在处， ， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，最大值在处， ， 解得，（不合题意，舍去）， 综上所述，符合题意的t的值是或． 25. 如图，四边形内接于，为⊙O的直径，点C，D在的同侧，延长交的延长线于点 E，过点 A 作交 于点 M，令的半径为r． （1）求证:． （2）若 求的值． （3）令求(用含r的式子表示) 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）2026 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得．由圆内接四边形性质得．即得． （2）过点D作于点G，连接，，由得到，，得，由，得，运用勾股定理求出，由等腰直角三角形性质得；证明，得，得，运用勾股定理求出，；得，根据等腰直角三角形性质得，得，运用三角形面积公式求得，根据，得，即得． （3）先根据得到与的关系，得．证明，得，即得．利用​​，得​．根据，得，可得，得​．即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作于点G，连接，， 则． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵和同高（顶点为，底在上）， ∴​​， ∴​． 又（两角对应相等）， ∴， ∴​． ∴， ∴​． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2 初三保温考试数学试卷 一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分) 1. 下列实数中，为有理数的是（ ） A. B. C. D. 1 2. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国在量子通信领域整体处于国际领先地位．在量子通信中，某设备能处理的数据量为每秒比特，若持续工作100秒，总处理数据量约为（单位：比特）（ ） A. B. C. D. 5. 某小组的一次数学检测成绩统计如下（单位：分）：76，90，64，100，84，64，73．则这组数据的众数和中位数分别是（） A. 64，76 B. 64，100 C. 76，64 D. 64，84 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当时， C. 它的图象与y轴交于点 D. 它的图象经过第一、二、三象限 9. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，余数得4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界地球日（4月22日）是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期四 D. 星期天 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 12. 中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：运墨而五色具，五色：焦、浓、重、淡、清，美术老师想从这五色中随机选择一色让学生重点练习，则选中浓的概率为_______． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为__________． 14. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，和是以为位似中心的位似图形，已知的面积为1，，则的面积为______． 16. 孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第_____步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 三、解答题(本大题共 9 小题) 17. 计算：． 18. 先化简，再求值∶其中 19. 如图，在中，点D在边上，阅读以下作图步骤： ①以点 C为圆心，适当长为半径画弧，交于点 M，交于点 N； ②以点 D为圆心，的长为半径画弧，交 于点 ； ③以点 为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点 ； ④连接 并延长，交 于点 E． （1）由作图，可知: ，请证明你的结论． （2）若 且，求的长． 20. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟．”某校为了解学生完成作业的时间情况，对全校名学生进行问卷调查，把完成作业的时间（据悉全部学生完成作业的时间均在分钟）分为5个等级（：；：；：；：；：，并随机抽取了部分学生的调查问卷进行分析，根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取了___________名学生的调查问卷； （2）___________，___________； （3）补全频数分布直方图； （4）请你估计全校名学生中，书面作业平均完成时间不超过分钟的学生人数． 21. “低碳环保绿色出行”，某地生态环境主管部门开展形式多样、内容丰富的宣传活动，提升低碳意识，推动形成绿色生产生活方式．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励员工低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．积分可通过乘坐公共交通工具和步行获得（乘坐公共交通工具按次数计，步行按每100步计），已知乘坐3次公共交通工具+步行1300步可获得43个碳积分，乘坐1次公共交通工具+步行2800步可获得38个碳积分． （1）求乘坐1次公共交通工具和步行100步分别可获得多少个碳积分？ （2）小湘当月工作22天，每日上下班各出行1次，她规划了两种固定的绿色出行方式，方式一：1次公共交通（中途不下车）+步行600步，方式二：步行4100步，该公司规定每月需至少累计至1500积分才能兑换权益，则小湘当月最多选多少次方式一出行？ 22. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，，，点，分别是，的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，求平行四边形的面积． 23. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 24. 在脱贫攻坚与乡村振兴的伟大事业中，各地人民互帮互助、携手共富．受此启发，数学兴趣小组定义了“帮扶函数”与“帮扶点”．若两个函数，均为关于x的函数，当有且只有两个x的值使得 时，称与互为“帮扶函数”．若使得 时的两个x的值分别为 ，（）且当时，对应的函数值为m，时，对应的函数值为n，则点和称为函数与的“帮扶点”． （1）下列几组函数中与互为“帮扶函数”的有 (填序号) ① ， ；②，；③ ，． （2）已知 ，，函数与的“帮扶点”为A、B．若二次函数与互为“帮扶函数”，且与的“帮扶点”也是A、B，二次函数的图象还过点点 P 为线段AB上不与A、B重合的一动点，过点P 作平行于 y轴的直线分别交二次函数与二次函数的图像于 M、N两点，分别连接、、、，请判断 是否为定值．若是定值，求出其定值；若不是定值，请说明理由． （3）在(2)的条件下，若函数 当时，函数h的最大值为 求t的值． 25. 如图，四边形内接于，为⊙O的直径，点C，D在的同侧，延长交的延长线于点 E，过点 A 作交 于点 M，令的半径为r． （1）求证:． （2）若 求的值． （3）令求(用含r的式子表示) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $