精品解析：2025年湖南省长沙市岳麓区长沙麓山国际实验学校中考三模数学试题

2024-2025-2初三保温考试数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 某一天，北京、沈阳、长沙、广州四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的城市是（ ） A. 北京 B. 沈阳 C. 长沙 D. 广州 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握负数小于、正数，以及两个负数比较大小的规则是解题的关键．根据有理数大小比较的规则，比较四个城市的最低气温，找出最小的温度对应的城市． 【详解】解：有理数大小比较中，负数小于和正数，两个负数比较绝对值大的反而小． ，，且， ． 又， 即沈阳的最低气温是四个城市中最低的． 故选： ． 2. 下面的图形是常见的安全标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. “交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键． 根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可． 【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到绿灯的概率是：． 故选：C． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了代数式的运算，涉及合并同类项、完全平方公式、积的乘方等知识点．解决本题的关键是根据运算法则计算出正确结果，根据计算的结果判断正误． 【详解】解：A选项：和不是同类项，不能合并，计算错误，故A选项错误； B选项：根据完全平方公式，可得：，错误，故B选项错误； C选项：根据积的乘方的公式，可得：，错误，故C选项错误； D选项：根据积的乘方的公式，可得：，故D选项错误． 故选：D． 5. 据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年和2024年全国居民人均可支配收入分别为3.7万元和4.5万元．设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查一元二次方程的实际应用，根据年平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【分析】解：设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为， 由题意，得： 故选B． 6. 在利用人工智能进行个性化训练的过程中，系统记录了甲、乙两名学生连续10组一分钟跳绳训练数据，经过计算，甲一分钟跳绳个数的方差为2.5，乙一分钟跳绳个数的方差为1.2，这说明（ ） A. 甲平均每组跳绳个数比乙多 B. 甲一分钟跳绳个数的波动比乙大 C. 乙平均每组跳绳个数比甲多 D. 乙一分钟跳绳个数的波动比甲大 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义，判断甲、乙跳绳个数波动情况以及平均个数能否确定．本题主要考查了方差的意义，熟练掌握方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小是解题的关键． 【详解】解： 方差反映一组数据的波动程度，方差越大，数据波动越大．题目中甲的方差为2.5，乙的方差为1.2，说明甲的波动比乙大． 选项B正确；选项D错误，因乙方差更小，波动更小．选项A、C涉及平均数比较，但题目未提供平均数信息，无法判断． 故选： ． 7. 如图，直线，被射线，所截，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行时同位角、内错角、同旁内角的关系是解题的关键．利用平行线的性质，找到与、相关的角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ． 故选： ． 8. 如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解． 【详解】解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键． 9. 已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系、二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点的判定方法是解题的关键．先根据一次函数图象确定、的符号，再据此分析二次函数的开口方向、对称轴位置和与轴交点情况，从而判断二次函数图象． 【详解】解：从一次函数的图象来看， 图象从左到右上升， ； 图象与轴交点在正半轴，即当时，， ． 对于二次函数： ， 二次函数图象开口向上，排除、选项； 对称轴为， ，， ，即对称轴在轴右侧； 当时，，即二次函数与轴交点在负半轴． 综上，符合条件的是选项． 故选： ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，且点落在反比例函数的图像上，则的值为（ ） A. B. 5 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得出边长，再结合三角函数求出点的坐标，最后代入反比例函数求出的值． 【详解】解： ∵四边形是菱形， ∴． 过点作轴于点， ，设，， 由勾股定理，即， ， ，又，则 ． ， ． ∵且， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即 ． 又∵点在反比例函数上， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理以及反比例函数的性质，熟练掌握菱形的边长相等、三角函数的定义、勾股定理的应用和反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 12. 若分式方程的解为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的基本步骤解答即可． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根． 【详解】解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根， 故答案为：． 13. 若，则_____ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及有理数乘法及减法运算，先由得到，将其整体代入代数式运算即可得到答案，熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：8． 14. 截至月日，电影《哪吒》全球总票房突破亿元，长沙万象城影院某天《哪吒》的票房累计约元，数字用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用公式（其中勾股定理求解得到的母线长为5）求解． 【详解】由已知得，母线长==5，半径为3， ∴圆锥的侧面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转．先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分，总共72分） 17. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，先约分，再进行减法运算，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 19. 如图，已知的顶点．将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，其中点分别为点的对应点． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，为所求， 的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，割补法求面积，掌握平移的性质是解题关键． （1）先把平移后的对应点求出，A平移后得对应点，B平移后对应点，C平移后的对应点，在描点画图即可； （2）把三角形面积看成矩形面积减去三个直角三角形面积即可． 【小问1详解】 解：的坐标为； 【小问2详解】 解：的面积． 20. 某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题． 【答案】（1）50 （2） 补全图形如下： （3）480名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用A、C、D的总人数除以所占比例即可求解； （2）先用“了解较少”的占比，用总人数减去A、C、D的人数即可得B的人数，据此即可补全条形统计图； （3）用样本估算总体即可． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生人数为：（名）； 【小问2详解】 “了解较少”所对应的圆心角度数为：， （人） 【小问3详解】 （名）， 估计全校有480名学生“非常了解”垃圾分类问题． 21. 探究：用尺规作图作过直线外一点作已知直线的平行线时，小美的作法是：①在直线上任取两点、，连接；②以为圆心长为半径画圆弧；③以为圆心长为半径画圆弧，两圆弧交于点；④作直线． 问题1：根据小美的作法，证明： 问题2：作的角平分线，交于点，若，求的长． 【答案】 问题1：证明：如图，连接， 由作图可得， ∴四边形是平行四边形， ∴； 问题2：如图所示，为的角平分线， 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，尺规作图——作线段和角平分线及等腰三角形的判定与性质． 问题1：连接，由作图可得，易证四边形是平行四边形，即可证明； 问题2：根据角平分线的作法作图即可；由问题1可知，即，易证，再根据四边形是平行四边形，推出，由即可求解． 【详解】问题1：略 问题2：由问题1可知，即， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 22. “茶颜悦色”是长沙网红奶茶品牌，以其独特的口味和精美的包装吸引无数游客．某门店销售两种口味的奶茶饮品，若购买3杯种口味奶茶饮品和4杯种口味奶茶饮品共需125元；若购买1杯A种口味奶茶饮品和3杯B种口味奶茶饮品共需75元． （1）A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是多少元一杯？ （2）若旅游团队需要购买两种口味奶茶饮品共30杯，其中种口味的数量至少比种口味的数量多5杯，怎样购买才能使总费用最少?并求出最少费用． 【答案】（1）A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是15元和20元一杯． （2）购买A种口味奶茶饮品12杯，则购买B种口味奶茶饮品18杯，费用最少，最少为540元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，以及根据一次函数增减性求最值．正确列出方程组和一次函数的关系式是解题的关键． （1）A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是x元和y元一杯，根据题意建立方程组，解方程组即可得解； （2）设购买A种口味奶茶饮品m杯，则购买B种口味奶茶饮品杯，总费用为w元，根据题意列不等式，求出m的取值范围，再根据题意列出w与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出w的最小值． 【小问1详解】 解：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是x元和y元一杯， 由题意得：， 解得 ． 答：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是15元和20元一杯． 【小问2详解】 解：设购买A种口味奶茶饮品m杯，则购买B种口味奶茶饮品杯，总费用为w元， 由题意得：， 解得， ， ， 随m的增大而减小． 当时，w取得最小值， ． 答：购买A种口味奶茶饮品12杯，则购买B种口味奶茶饮品18杯，费用最少，最少为540元． 23. 如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E， （1）求证：ABD∽DAF； （2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长． 【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中， ∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°， ∴∠ADB＋∠ABD＝90°， ∵AF⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADB＋∠DAF＝90°， ∴∠ABD＝∠DAF， 又∵∠BAD＝∠ADF， ∴ABD∽DAF； （2）16 【解析】 【分析】（1）先证明∠BAD＝∠ADF＝90°，进而可得∠ADB＋∠ABD＝90°，由AF⊥BD可得∠ADB＋∠DAF＝90°，进而可得∠ABD＝∠DAF，由此可证得ABD∽DAF； （2）根据BG＝3AD，AD＝BC可得CG＝2AD，由ADF∽GCF可得，再结合CD＝AB＝8可得CF＝，DF＝，由（1）得，由此可求得AD＝，进而可求得BG＝3AD＝，再利用勾股定理即可求得AG的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵在矩形ABCD中， ∴AD＝BC，AB＝CD＝8，AD//BC， ∵BG＝3AD，AD＝BC，BG＝BC＋CG， ∴CG＝2AD， ∵AD//BC， ∴ADF∽GCF， ∴， 又∵CD＝8， ∴CF＝，DF＝， ∵ABD∽DAF， ∴， ∴， 解得， ∴BG＝3AD＝， 在RtABG中，， ∴AG的长为16． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，若一个函数存在时，函数值，则称该函数为“函数”，此时点叫该函数的“点”． （1）下列函数中是“函数”的有：_____． ①；②；③ （2）是否存在一个整数值，使得函数的“点”的横坐标都为整数？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． （3）若二次函数是“函数”，其“点”间的水平距离为，且当时，函数的最小值为，试确定的值． 【答案】（1）② （2）存在，当或，函数的“点”的横坐标都为整数 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“函数”和“函数”的“点”的定义进行计算判断即可； （2）令，则，运用一元二次方程根与系数关系可得，根据“点”的横坐标都为整数，可得k的值； （3）根据题意可得，得，再由其“点”间的水平距离为，可得，运用根与系数关系即可得出，再根据，进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：①由，得：， ∴，方程无解， ∴不是“函数”； ②由，得：， ∴， ∴是“函数”，且“点”是； ③由，得：， ∵， ∴方程无解， ∴不是“函数”． 故答案为：②． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 令， 则， ∴， ∴， ∵函数的“点”的横坐标都为整数， ∴或． ∵两个点不重合， ∴， ∴存在，当或，函数的“点”的横坐标都为整数． 【小问3详解】 解：由，得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ①当时， 则时，函数的最小值， ∴，整理得， ∴， ∴； ②当时，与函数的最小值矛盾，则不成立， ③当时，即时， 则时，函数的最小值， ∴，整理得， ∴（舍去）或， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查反比例函数，二次函数与一次函数的交点问题、反比例函数和二次函数图象上点的坐标特征、解方程组、一元二次方程根的判别式及根与系数关系等，准确理解新定义“函数”和“点”，熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 25. 对于四边形，若其外接圆圆心和内切圆圆心都在四边形的某一条对角线上，则称该四边形为“直径关联四边形”．请根据定义，解答下列问题： （1）请判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①正方形一定是“直径关联四边形”；（ ） ②“直径关联四边形”一定有内角等于；（ ） ③如果四边形是“直径关联四边形”，则有．（ ） （2）如图，四边形是“直径关联四边形”，圆心在线段上，与、、、分别相切于点、、、，连接、，分别交于点、，设的半径为，的半径为． ①若，求的值． ②若，求的值． 【答案】（1）“√”，“√”，“√” （2）① ；②3 【解析】 【分析】（1）①正方形的外心和内心重合，符号定义，一定是“直径关联四边形”，故括号里打“√”； ②“直径关联四边形”一定有内角等于，故括号里打“√” ③如果四边形是“直径关联四边形”，根据切线长定理，得， 得. 故括号里打“√”． （2）①连接，根据题意，得，根据题意，得， 结合列式解答即可． ②连接，证明，利用三角形相似，正切函数的定义，解答即可． 【小问1详解】 解：①正方形的外心和内心重合，符号定义，一定是“直径关联四边形”，故括号里打“√”； ②“直径关联四边形”一定有内角等于，故括号里打“√”； ③如果四边形是“直径关联四边形”，根据切线长定理，得， ∴. 故括号里打“√”． 故答案为：“√”，“√”，“√”． 【小问2详解】 ①解：连接， 根据题意，得， ∵的圆心O在上， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 解得． ②解：连接， ∵的圆心O在上， ∴， ∴， ∵与、、、分别相切于点、、、， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，切线长定理，圆内接四边形的性质，正切函数的应用，三角形相似的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025-2初三保温考试数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 某一天，北京、沈阳、长沙、广州四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的城市是（ ） A. 北京 B. 沈阳 C. 长沙 D. 广州 2. 下面的图形是常见的安全标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年和2024年全国居民人均可支配收入分别为3.7万元和4.5万元．设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在利用人工智能进行个性化训练的过程中，系统记录了甲、乙两名学生连续10组一分钟跳绳训练数据，经过计算，甲一分钟跳绳个数的方差为2.5，乙一分钟跳绳个数的方差为1.2，这说明（ ） A. 甲平均每组跳绳个数比乙多 B. 甲一分钟跳绳个数的波动比乙大 C. 乙平均每组跳绳个数比甲多 D. 乙一分钟跳绳个数的波动比甲大 7. 如图，直线，被射线，所截，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 9. 已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，且点落在反比例函数的图像上，则的值为（ ） A. B. 5 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_________． 12. 若分式方程的解为_____ 13. 若，则_____ 14. 截至月日，电影《哪吒》全球总票房突破亿元，长沙万象城影院某天《哪吒》的票房累计约元，数字用科学记数法表示为______． 15. 如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为_______． 三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分，总共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知的顶点．将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，其中点分别为点的对应点． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）求的面积． 20. 某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题． 21. 探究：用尺规作图作过直线外一点作已知直线的平行线时，小美的作法是：①在直线上任取两点、，连接；②以为圆心长为半径画圆弧；③以为圆心长为半径画圆弧，两圆弧交于点；④作直线． 问题1：根据小美的作法，证明： 问题2：作的角平分线，交于点，若，求的长． 22. “茶颜悦色”是长沙网红奶茶品牌，以其独特的口味和精美的包装吸引无数游客．某门店销售两种口味的奶茶饮品，若购买3杯种口味奶茶饮品和4杯种口味奶茶饮品共需125元；若购买1杯A种口味奶茶饮品和3杯B种口味奶茶饮品共需75元． （1）A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是多少元一杯？ （2）若旅游团队需要购买两种口味奶茶饮品共30杯，其中种口味的数量至少比种口味的数量多5杯，怎样购买才能使总费用最少?并求出最少费用． 23. 如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E， （1）求证：ABD∽DAF； （2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长． 24. 在平面直角坐标系中，若一个函数存在时，函数值，则称该函数为“函数”，此时点叫该函数的“点”． （1）下列函数中是“函数”的有：_____． ①；②；③ （2）是否存在一个整数值，使得函数的“点”的横坐标都为整数？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． （3）若二次函数是“函数”，其“点”间的水平距离为，且当时，函数的最小值为，试确定的值． 25. 对于四边形，若其外接圆圆心和内切圆圆心都在四边形的某一条对角线上，则称该四边形为“直径关联四边形”．请根据定义，解答下列问题： （1）请判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①正方形一定是“直径关联四边形”；（ ） ②“直径关联四边形”一定有内角等于；（ ） ③如果四边形是“直径关联四边形”，则有．（ ） （2）如图，四边形是“直径关联四边形”，圆心在线段上，与、、、分别相切于点、、、，连接、，分别交于点、，设的半径为，的半径为． ①若，求的值． ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $