福建省泉州市实验学校2025-2026学年九年级下学期段考数学试卷（九）

**基本信息** 融合文化传承与科技情境，梯度设计考查数学抽象、推理及数据意识，适配九年级段考综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|有理数、轴对称、三视图、概率等|第2题以十二花神纹样考轴对称，体现文化传承；第5题结合AI软件主题，渗透科技前沿| |填空题|6/24|正负数、一次函数、加权平均数等|第16题正六边形密铺规律探究，考查空间观念与创新意识| |解答题|9/86|统计分析、全等证明、二次函数、圆综合等|第20题树叶长宽比统计分析，培养数据意识；第24题圆上分点分法探究，发展推理能力与抽象思维|

2025-2026学年福建省泉州市实验学校九年级（下）段考数学试卷（九） 一．选择题（共10小题，每小题4分） 1．（4分）在有理数﹣2，﹣3，2，3中（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 2．（4分）美术课上，同学们欣赏十二花神纹样，感受花卉与节气文化的融合．下列四种纹样图案中（　　） A．【一月】梅花 B．【五月】石榴花 C．【十一月】茶花 D．【十二月】水仙花 3．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）要使得式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 5．（4分）九（1）班为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，若小辰和小轩从中任意选择一个主题，则两人选择的主题不同的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）把两块分别含30°角和含45°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间．若∠AEF＝35°，则∠GHD的度数为（　　） A．55° B．45° C．40° D．35° 7．（4分）已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息（　　） A．30 B．38 C．39 D．41 8．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，作直径BD．若∠BAC＝40°（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 9．（4分）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三，不足四．问人数、物价各几何？”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，物价是（　　） A．41 B．45 C．53 D．59 10．（4分）二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3）．若y1y2y3＜0，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，每小题4分） 11．（4分）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作“+50元”，记作 　 　 元． 12．（4分）已知一次函数y＝ax+2，如果函数值y随着自变量x的增大而增大，则写出一个符合条件的a的值：　 　 ． 13．（4分）4月23日是世界读书日．某校举行以“书与远方”为主题的演讲比赛．小吴同学的“演讲内容”得96分，“语言表达”得85分，“仪表形象”得90分，则她的最后得分是 　 　 分． 14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，2），则点C到y轴的距离是　 　 ． 15．（4分）如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°　 　 ． 16．（4分）用若干张全等的小正六边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），形成的图案（部分）如图所示，用6个“繁星点”为顶点构成的一个正六边形称为“衍生六边形”，比如图中的六边形ABCDEF．已知某一个“衍生六边形”的各边上（含顶点），则该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”共有　 　 个． 三．解答题（共9小题，共86分） 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°．求证：∠AFC＝∠BED． 19．（8分）先化简再求值：，其中x＝3． 20．（8分）郑州绿博园内有许多特殊的树木，比如构树、广玉兰树等．某班同学前往绿博园开展实践活动，对构树叶和广玉兰树叶进行调查统计． 【数据收集与整理】同学们随机收集构树叶、广玉兰树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm）、宽x（单位：cm），分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 构树叶的长宽比 2.1 2.4 2.5 2 2.2 2.5 2.2 2.4 2.3 2.2 广玉兰树叶的长宽比 2.9 3.1 3 3.2 3 3 3.1 3.3 2.9 3 【数据分析与运用】 平均数 中位数 众数 方差 构树叶的长宽比 2.28 a 2.2 0.0256 广玉兰树叶的长宽比 3.05 3 b 0.0145 【问题解决】 （1）上述表格中：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）通过数据，同学们总结出了一些结论： ①甲同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，构树叶的形状差别比广玉兰树叶小．” ②乙同学说：“从树叶长宽比的平均数、中位数、众数来看，广玉兰树叶的长约为宽的3倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是　 　 （填序号）； （3）现在有一片长为16cm，宽为7cm的树叶，请判断这片树叶可能来自构树、广玉兰树中的哪种树 21．（8分）在等边三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为D，△CAF由△CBE绕点C按顺时针方向旋转60°得到，且点E的对应点F恰好落在BD的延长线上 （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB＝6，求菱形AECF的面积． 22．（10分）以下关于四边形ABCD的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）若AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形； （2）若∠ABC＝90°，AB＝CD，BD被AC平分 23．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1． （1）当m＝﹣3时， ①求二次函数与坐标轴的交点坐标． ②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝﹣4，求y1+y2的最小值． （2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，求证：p＜q﹣1． 24．（12分）综合与实践 【探究主题】一个圆上有n（n≥3）个点，任意连接两个点可得到圆的一条弦，经探究发现这些弦可以将圆分成若干个不重叠的部分，但一共有多少种不同的分法呢？ 【探究过程】由于上面问题比较复杂，所以我们不妨从最简单的形式入手．（一个圆上有n个点，不同的分法总数记为kn）我们先考虑最简单的几种情况： （ⅰ）当n＝3时，只有1种分法，如图①所示3＝1，将圆分成了4个不重叠的部分． （ⅱ）当n＝4时，共有2种分法，如图②和图③所示4＝2，将圆分成了6个不重叠的部分． （ⅲ）当n＝5时，共有多少种分法呢？这时要分3种情况进行讨论： 第1种情况如图④，将点C与点A连接，这样得到△ABC和四边形ACDE，此种情况共有k4＝2种不同的分法；第2种情况如图⑤，将点D分别与点A，这样只有1种分法，；第3种情况如图⑥，这样得到△ABE和四边形BCDE，由对n＝4时的分析知4＝2种不同的分法．所以． （ⅳ）当n＝6时，共有多少种分法呢？这时要分4种情况进行讨论： 第1种情况如图⑦，将点C与点A连接，这样得到△ABC和五边形ACDEF，此种情况共有k5种不同的分法；第2种情况如图⑧，将点D分别与点A，这样得到△BCD，△ABD和四边形ADEF4种不同的分法，；第3种情况如图⑨，将点E分别与点A，这样得到△AEF，△ABE和四边形BCDE4种不同的分法，；第4种情况如图⑩，将点F与点B连接，由对n＝5时的分析知，此种情况共有k5种不同的分法． 所以． 【拓展应用】根据上述探究过程，解答下列问题： （1）当n＝7时，k7＝　 　 ×k6，所以k7的值为　 　 ； （2）当n≥4时，＝　 　 （用含n的代数式表示）； （3）当n≥4时，若，则圆被分成了　 　 个不重叠的部分． 25．（14分）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点A为劣弧BC的中点，弦BC＝8，点P为射线AC上一点，AF与BC交于点D，连接AE，BE，BC与AE交于点G． （1）求证：△ABG∽△AEB； （2）若S△ACG：S△ACE＝2：5，求∠ECP的度数； （3）设S△ACG：S△ACE＝x，且tan2∠ECP＝y． ①求y关于x的函数关系式（不需写自变量取值范围）； ②如图2，若AF与BE交于点Q，作DM⊥AE于点H，当时，求x的值． 2025-2026学年福建省泉州市实验学校九年级（下）段考数学试卷（九） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，每小题4分） 1．（4分）在有理数﹣2，﹣3，2，3中（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较绝对值大的反而小，依此即可求解． 【解答】解：∵﹣3＜﹣2＜5＜2＜3， ∴在有理数﹣7，﹣3，2，最小的数是﹣6． 故选：B． 2．（4分）美术课上，同学们欣赏十二花神纹样，感受花卉与节气文化的融合．下列四种纹样图案中（　　） A．【一月】梅花 B．【五月】石榴花 C．【十一月】茶花 D．【十二月】水仙花 【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形沿着一条直线对折后直线两侧的部分能够重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一条直线，所以不是轴对称图形； 选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合． 故选：D． 3．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A． B． C． D． 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：C． 4．（4分）要使得式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0， 解得x≥8． 故选：B． 5．（4分）九（1）班为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，若小辰和小轩从中任意选择一个主题，则两人选择的主题不同的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【解答】解：令A：Deepeek，B：豆包， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能结果，其中两人选择的主题不同有6种， ∴若小辰和小轩从中任意选择一个主题，则两人选择不同主题的概率为， 故选：B． 6．（4分）把两块分别含30°角和含45°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间．若∠AEF＝35°，则∠GHD的度数为（　　） A．55° B．45° C．40° D．35° 【分析】根据题意证明EF∥HG，延长HG交AB于点N，根据平行线的性质，即可求解． 【解答】解：由条件可知EF∥HG， 如图，延长HG交AB于点N， ∴∠AEF＝∠ANH， 又∵AB∥CD， ∴∠GHD＝∠ANH＝∠AEF＝35°， 故选：D． 7．（4分）已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息（　　） A．30 B．38 C．39 D．41 【分析】根据方差的计算公式，分子中各项的系数为对应数据出现的频数，样本容量等于所有频数之和，将各频数相加即可得到样本容量． 【解答】解：在方差计算公式中，公式分母的n为样本容量，样本容量等于所有频数的和， ∴n＝13+14+3＝30，即样本容量为30． 故选：A． 8．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，作直径BD．若∠BAC＝40°（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠BDC＝∠BAC＝40°，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠BCD＝90°，即可求解． 【解答】解：∵∠BAC所对的弧是，∠BDC所对的弧是， ∴∠BDC＝∠BAC＝40°， ∵BD为直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝90°﹣40°＝50°， 故选：B． 9．（4分）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三，不足四．问人数、物价各几何？”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，物价是（　　） A．41 B．45 C．53 D．59 【分析】设物价是x，根据“人出八，盈三；人出七，不足四”，结合人数不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设物价是x， 根据题意得：＝， 解得：x＝53， ∴物价是53． 故选：C． 10．（4分）二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3）．若y1y2y3＜0，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先判断出对称轴为直线x＝1，故点B为顶点坐标．把其余两点代入函数解析中可得y1＝5a+2，y3＝12a+2，进而可判断出y2＞y1＞y3.因为y2＝2﹣4a恒为正，且y1y2y3＜0，故y3必为负，y1必为正，由此可列不等式组，解不等式组即可解决问题． 【解答】解：由二次函数y＝ax2﹣4ax+7（a＜0）可知对称轴为直线x＝2， 故点B为顶点坐标． ∵二次函数y＝ax7﹣4ax+2（a＜2）的图象还过A（﹣1，y1），C（6，y3）两点， ∴y1＝a+5a+2＝5a+4，y3＝36a﹣24a+2＝12a+2， ∵2﹣（﹣1）＜2﹣2， ∴y2＞y8＞y3． ∵y2＝2﹣4a恒为正，且y1y3y3＜0， ∴y6必为负，y1必为正， 故有，解得：﹣， 故选：B． 二．填空题（共6小题，每小题4分） 11．（4分）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作“+50元”，记作 　﹣30　 元． 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：盈利50元，记作“+50元”，记作﹣30元， 故答案为：﹣30． 12．（4分）已知一次函数y＝ax+2，如果函数值y随着自变量x的增大而增大，则写出一个符合条件的a的值：　1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据题意，得出a＞0，据此写出符合条件a的值即可． 【解答】解：由题知， 因为函数y＝ax+2中y随着自变量x的增大而增大， 所以a＞0， 则a的值可以是8． 故答案为：1（答案不唯一）． 13．（4分）4月23日是世界读书日．某校举行以“书与远方”为主题的演讲比赛．小吴同学的“演讲内容”得96分，“语言表达”得85分，“仪表形象”得90分，则她的最后得分是 　91　 分． 【分析】根据加权平均数的计算方法直接计算即可解答． 【解答】解：根据加权平均数的计算方法直接计算可得： 她的最后得分是96×50%+85×40%+90×10%＝91（分）， 故答案为：91． 14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，2），则点C到y轴的距离是　1　 ． 【分析】根据中心对称图形的性质可得y轴经过矩形ABCD对角线AC的中点，再根据中点坐标公式即可求解． 【解答】解：由条件可知y轴经过矩形ABCD对角线AC的中点， 设C点横坐标为a， ∵A（﹣1，2）， ∴， ∴a＝3， ∴点C到y轴的距离是1． 故答案为：1． 15．（4分）如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°　2π　 ． 【分析】先利用三角函数计算出BO，再利用勾股定理计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积． 【解答】解：如图，∠BAO＝30°，AO＝， 在Rt△ABO中，∵tan∠BAO＝， ∴BO＝tan30°＝5， ∴AB＝＝2， ∴圆锥的侧面积＝•2π•2•2＝2π． 故答案为7π． 16．（4分）用若干张全等的小正六边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），形成的图案（部分）如图所示，用6个“繁星点”为顶点构成的一个正六边形称为“衍生六边形”，比如图中的六边形ABCDEF．已知某一个“衍生六边形”的各边上（含顶点），则该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”共有　271　 个． 【分析】设一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有6n个“繁星点”，根据题意列出 n＝1，2，3，4…时对应的该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数，找出规律即可解答． 【解答】解：设一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有6n个“繁星点”， 当n＝1时，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为8＝3×1×2+1， 当n＝2时，该“行生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为3＝3×2×7+1， 当n＝3时，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为19＝6×3×2+6， 当n＝4时，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为37＝3×4×3+1，…， 依此类推，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为 5n（n﹣1）+1， ∵某一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有60个“繁星点”， ∴6n＝60，即n＝10， ∴该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”共有3×10×（10﹣1）+5＝271个， 故答案为：271． 三．解答题（共9小题，共86分） 17．（8分）计算：． 【分析】利用零指数幂，特殊锐角三角函数值，有理数的乘方法则计算后再算加减即可． 【解答】解：原式＝﹣1﹣+6 ＝﹣． 18．（8分）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°．求证：∠AFC＝∠BED． 【分析】先求出AF＝BE，再利用“HL”证明Rt△ACF和Rt△BDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AFC＝∠BED． 【解答】证明：∵AE＝BF， ∴AE+EF＝BF+EF， ∵AF＝AE+EF，BE＝BF+EF， ∴AF＝BE， 在Rt△ACF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△BDE（HL）， ∴∠AFC＝∠BED（全等三角形对应角相等）． 19．（8分）先化简再求值：，其中x＝3． 【分析】根据分式发混合运算法则化简求值即可． 【解答】解：原式＝（） ＝ ＝ ＝． 当x＝3时，原式＝＝． 20．（8分）郑州绿博园内有许多特殊的树木，比如构树、广玉兰树等．某班同学前往绿博园开展实践活动，对构树叶和广玉兰树叶进行调查统计． 【数据收集与整理】同学们随机收集构树叶、广玉兰树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm）、宽x（单位：cm），分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 构树叶的长宽比 2.1 2.4 2.5 2 2.2 2.5 2.2 2.4 2.3 2.2 广玉兰树叶的长宽比 2.9 3.1 3 3.2 3 3 3.1 3.3 2.9 3 【数据分析与运用】 平均数 中位数 众数 方差 构树叶的长宽比 2.28 a 2.2 0.0256 广玉兰树叶的长宽比 3.05 3 b 0.0145 【问题解决】 （1）上述表格中：a＝　2.25　 ，b＝　3　 ； （2）通过数据，同学们总结出了一些结论： ①甲同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，构树叶的形状差别比广玉兰树叶小．” ②乙同学说：“从树叶长宽比的平均数、中位数、众数来看，广玉兰树叶的长约为宽的3倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是　②　 （填序号）； （3）现在有一片长为16cm，宽为7cm的树叶，请判断这片树叶可能来自构树、广玉兰树中的哪种树 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差越大，表明这组数据波动越大，越不稳定可判断①；根据表格数据中的中位数、众数和方差可得结论； （3）求得这片树叶长宽比为，根据表格数据可得结论． 【解答】解：（1）将构树叶的长宽比从小到大排列为2，2.4，2.2，6.3，2.8，2.5， 中位数； 6出现的次数最多，所以众数b＝3． 故答案为：2.25；3； （2）方差越大，表明这组数据波动越大，构树叶方差0.0256大于广玉兰树叶方差0.0145； 广玉兰树叶长宽比平均数约为6.05，中位数为3，所以从树叶长宽比的平均数、众数来看，乙同学说法正确． 故答案为：②； （3）这片树叶长宽比为，接近构树叶长宽比的平均数2.28． 21．（8分）在等边三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为D，△CAF由△CBE绕点C按顺时针方向旋转60°得到，且点E的对应点F恰好落在BD的延长线上 （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB＝6，求菱形AECF的面积． 【分析】（1）根据旋转的性质可得△CAF≌△CBE，即可证明△CEF是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可证AE＝AF＝AC＝CE，进而可证四边形AECF为菱形． （2）根据等边三角形的性质可得AB＝AC＝6，再根据菱形的性质可得，代入，EF＝2DE即可求得EF的值，进而求得菱形AECF的面积． 【解答】（1）证明：∵△CAF是由△CBE绕点C按顺时针方向旋转60°得到的， ∴△CAF≌△CBE， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴∠EFC＝∠FEC＝60°，CE＝CF， ∴∠BEF＝∠AFC＝120°， ∴∠AFE＝∠AFC﹣∠EFC＝60°＝∠EFC， ∴ED＝DF，AC＝AF， ∴AE＝AF＝AC＝CE， ∴四边形AECF为菱形． （2）解：由条件可知AB＝AC＝6， ∵四边形AECF为菱形， ∴， 又∵∠DEC＝60°，∠EDC＝90°， ∴， ∴， ∴菱形AECF的面积为：． 22．（10分）以下关于四边形ABCD的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）若AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形； （2）若∠ABC＝90°，AB＝CD，BD被AC平分 【分析】（1）根据题意，画出反例即可； （2）根据题意，画出反例即可． 【解答】解：（1）作∠CAM＝∠C，则AM∥BC， 以C为圆心，AB为半径作圆， 如图所示， 四边形ABCD不是平行四边形； （2）以点C为圆心，AB长为半径作圆， 延长BA和BC，在BA和BC的延长线上取点M，N，CN＝CB， 连接AM与⊙C交于如图所示的D点即为符合要求的点． 所以四边形ABCD不是矩形． 23．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1． （1）当m＝﹣3时， ①求二次函数与坐标轴的交点坐标． ②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝﹣4，求y1+y2的最小值． （2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，求证：p＜q﹣1． 【分析】（1）①将m＝﹣3代入y＝x2﹣2mx+2m﹣1中，得到二次函数解析式，再当y＝0时，有x2+6x﹣7＝0，求解该方程，即可解题； ②根据题意得到b＝﹣4﹣a，利用二次函数解析式表示出y1，y2，进而得到y1+y2，再结合二次函数最值情况求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数对称轴为直线，进而推出a﹣m＜﹣1，再分别表示出p，q，进而表示出p﹣q，再结合a﹣m＜﹣1求解，即可解题． 【解答】（1）解：①当m＝﹣3时，y＝x2+3x﹣7， 当y＝0时，有x2+6x﹣7＝5， 解得x1＝﹣7，x7＝1， ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣7，6），0）； 当x＝0时，有y＝﹣7， 二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣7）； ②由a+b＝﹣6可得b＝﹣4﹣a， ∴，， ∴ ＝6（a+2）2﹣30， ∴y4+y2的最小值为﹣30； （2）证明：由抛物线解析式可知二次函数对称轴为直线， 由条件可知a+1＜m，即a﹣m＜﹣1， ∵点C（a+8，p）和D（2m﹣a， ∴p＝（a+1）8﹣2m（a+1）+5m﹣1＝a2+7a﹣2ma q＝（2m﹣a）2﹣2m（2m﹣a）+3m﹣1 ＝4m2﹣4ma+a2﹣3m2+2ma+6m﹣1 ＝a2﹣2ma+2m﹣1， ∴p﹣q＝a6+2a﹣2ma﹣（a3﹣2ma+2m﹣4） ＝a2+2a﹣8ma﹣a2+2ma﹣2m+1 ＝2a﹣3m+1＝2（a﹣m）+8， ∵a﹣m＜﹣1， ∴2（a﹣m）+5＜﹣1， ∴p﹣q＜﹣1， ∴p＜q﹣6． 24．（12分）综合与实践 【探究主题】一个圆上有n（n≥3）个点，任意连接两个点可得到圆的一条弦，经探究发现这些弦可以将圆分成若干个不重叠的部分，但一共有多少种不同的分法呢？ 【探究过程】由于上面问题比较复杂，所以我们不妨从最简单的形式入手．（一个圆上有n个点，不同的分法总数记为kn）我们先考虑最简单的几种情况： （ⅰ）当n＝3时，只有1种分法，如图①所示3＝1，将圆分成了4个不重叠的部分． （ⅱ）当n＝4时，共有2种分法，如图②和图③所示4＝2，将圆分成了6个不重叠的部分． （ⅲ）当n＝5时，共有多少种分法呢？这时要分3种情况进行讨论： 第1种情况如图④，将点C与点A连接，这样得到△ABC和四边形ACDE，此种情况共有k4＝2种不同的分法；第2种情况如图⑤，将点D分别与点A，这样只有1种分法，；第3种情况如图⑥，这样得到△ABE和四边形BCDE，由对n＝4时的分析知4＝2种不同的分法．所以． （ⅳ）当n＝6时，共有多少种分法呢？这时要分4种情况进行讨论： 第1种情况如图⑦，将点C与点A连接，这样得到△ABC和五边形ACDEF，此种情况共有k5种不同的分法；第2种情况如图⑧，将点D分别与点A，这样得到△BCD，△ABD和四边形ADEF4种不同的分法，；第3种情况如图⑨，将点E分别与点A，这样得到△AEF，△ABE和四边形BCDE4种不同的分法，；第4种情况如图⑩，将点F与点B连接，由对n＝5时的分析知，此种情况共有k5种不同的分法． 所以． 【拓展应用】根据上述探究过程，解答下列问题： （1）当n＝7时，k7＝　3　 ×k6，所以k7的值为　42　 ； （2）当n≥4时，＝　　 （用含n的代数式表示）； （3）当n≥4时，若，则圆被分成了　18　 个不重叠的部分． 【分析】（1）观察k1，k2，k3，k4，的值，得到相邻两个比值之间的关系，并找规律，用代数式表示，最终代入k7计算； （2）根据第一问找的相邻两值的比值，代入即可求解； （3），解方程求得n的值，再分析圆被分成了多少个部分即可． 【解答】解：（1）当n＝7时，要分5种情况进行讨论， 第6种情况：如解图①，将点C与点A连接，由探究知6种不同的分法． 第2种情况：如解图②，将点D分别与点A，这样得到4个三角形和1个五边形，有k5种不同的分法． 第3种情况：如解图③，将点E分别与点A，这样得到1个三角形和2个四边形，有8k4种不同的分法． 第4种情况：如解图④，将点F分别与点A，这样得到2个三角形和1个五边形，有k5种不同的分法． 第7种情况：如解图⑤，将点G与点B连接，由探究知6种不同的分法． ∴． 故答案为：3，42； （2）由题意，知，，，⋯⋯， ∴， ∴， 故答案为：； （3）令， 解得n1＝10，n5＝3（舍去）． 由题意知，当圆上有3个点时； 当圆上有4个点时，圆被分成了6＝2×4﹣2个不重叠的部分； 当圆上有5个点时，圆被分成了2＝2×5﹣7个不重叠的部分； 当圆上有6个点时，圆被分成了10＝2×7﹣2个不重叠的部分， ⋯⋯， ∴当圆上有n个点时，圆被分成了（2n﹣3）个不重叠的部分， 当n＝10时，2n﹣2＝4×10﹣2＝18． 故答案为：18． 25．（14分）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点A为劣弧BC的中点，弦BC＝8，点P为射线AC上一点，AF与BC交于点D，连接AE，BE，BC与AE交于点G． （1）求证：△ABG∽△AEB； （2）若S△ACG：S△ACE＝2：5，求∠ECP的度数； （3）设S△ACG：S△ACE＝x，且tan2∠ECP＝y． ①求y关于x的函数关系式（不需写自变量取值范围）； ②如图2，若AF与BE交于点Q，作DM⊥AE于点H，当时，求x的值． 【分析】（1）由得到∠ABG＝∠AEB，再由∠GAB＝∠BAE即可证明； （2）连接CO，由垂径定理以及弧与弦的关系可得OA⊥BC，BD＝CD＝4，AB＝AC，由勾股定理求解OD＝3，，由面积关系可设AG＝2m，AE＝5m，根据△ABG∽△AEB，得到∠EBA＝∠BGA＝∠DGA，求出，解Rt△ADG，求出∠AGD＝45°，再由∠ECP＝∠EBA＝∠DGA求解即可； （3）①可得，设AG＝ax，AE＝a，由（2）得AB2＝AE•AG，则a2x＝20，由勾股定理可得DG2＝AG2﹣AD2＝a2x2﹣4＝20x﹣4，则； ②过点M作MT⊥BC于T，先证明△ADM∽△ABQ，则，结合，可得，求出，而，设MT＝n，CT＝2n，对Rt△CTM运用勾股定理求解得到，则，证明∠TMD＝∠ABE，则，代入，即可求解． 【解答】（1）证明：∵点A为劣弧BC的中点， ∴， ∴∠ABG＝∠AEB， 又∵∠GAB＝∠BAE， ∴△ABG∽△AEB； （2）解：如图1，连接CO， ∵， ∴OA⊥BC，BD＝CD＝8， ∵直径为10， ∴⊙O半径为5，即OC＝5， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：， ∴AD＝5﹣3＝5， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， ∵S△ACG：S△ACE＝2：3， 即， 设AG＝2m，AE＝5m， ∵△ABG∽△AEB， ∴， ∴AB2＝AE•AG， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 在直角三角形ADG中，由勾股定理得：， ∴在Rt△ADG中，， ∴∠AGD＝45°， ∵∠ECP+∠ECA＝180°，∠ECA+∠EBA＝180°， ∴∠ECP＝∠EBA＝∠DGA， ∴∠ECP＝45°； （3）解：①由（2）得∠ECP＝∠EBA＝∠DGA， ∵S△ACG：S△ACE＝x，且两三角形同高， ∴， 设AG＝ax，AE＝a， 由（2）得AB2＝AE•AG， ∴a2x＝20， ∴DG5＝AG2﹣AD2＝a6x2﹣4＝20x﹣8， ∴， ∴； ②如图2，AO⊥BC，过点M作MT⊥BC于T， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵OA⊥BC，DM⊥AE， ∴∠ADM＝∠AGD＝90°﹣∠GDM， 由（1）知△ABG∽△AEB， ∴∠AGD＝∠AGB＝∠ABE， ∴∠ADM＝∠ABE＝∠ABQ， ∴△ADM∽△ABQ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， 设MT＝n，CT＝2n， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵MT∥AF， ∴∠TMD＝∠ADM， ∵∠ADM＝∠ABE， ∴∠TMD＝∠ABE， ∵∠ECP＝∠ABE， ∴， 代入， ∴， 解得：（经检验，，且符合题意）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/11 10:12:45；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $