云南省2025-2026学年高二下学期期末模拟数学试卷（五）

**基本信息** 高二期末模拟卷，覆盖高考全部内容，解答题融入邢麦43产量统计等现实情境，综合考查空间观念、数据意识与推理能力，贴合高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、函数、排列组合、椭圆等|基础概念与运算结合，如函数对称性考查抽象能力| |多选|3/18|直线与圆、数列分组、双曲线|选项分层设计，如双曲线题综合离心率与斜率定值| |填空|3/15|等比数列、球表面积、函数奇偶性|空间几何与函数性质结合，如球心距计算考查空间观念| |解答|5/77|统计、解三角形、立体几何、抛物线、函数|统计题结合农业产量情境（数据意识），立体几何题考查线面角（空间观念），函数题综合零点与图像交点（推理能力）|

2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（五） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，．若的图象关于直线对称，则（    ） A．0 B． C． D． 3．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在“疯狂动物城2”、“长安的荔枝”、“得闲谨制”及“开心岭”的四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（    ） A．64 B．62 C．63 D．24 4．圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A． B． C． D． 5．已知椭圆的左，右焦点分别为，不在轴上的动点在上运动，的平分线交轴于点，则（   ） A． B． C． D． 6．设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 7．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 8．已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知直线：，则下列说法正确的是（   ） A．与直线垂直 B．在轴上的截距为2 C．与圆相离 D．与直线之间的距离为 10．（多选）已知一个数列共有8项，分别为：1，3，5，7，9，11，13，15，将这8个数分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的值不可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点 C．若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值 D．设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．等比数列的首项为1、公比为2，其前6项的和的值为_________． 13．已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 14．函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．邢麦43是邢台市农业科学研究院选育的半冬性、高产抗病、中强筋小麦新品种，是冀中南水地区域主推优质高产品种之一、某研究机构对A地100亩邢麦43的亩产量（单位：）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值． (2)估计A地100亩邢麦43的亩产量的70%分位数． (3)若某地100亩邢麦43的平均亩产量不低于，则认为该地是邢麦43的优秀种植地．请估计A地100亩邢麦43的平均亩产量，并以此为依据，判断A地是否是邢麦43的优秀种植地．（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 17．如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知点为抛物线的焦点，点在上，且. (1)求的方程； (2)过上的动点作的切线，与直线交于点，过作的垂线，垂足为.当时，求点的坐标. 19．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（五） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（25-26高一下·四川泸州·期中）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、列举法表示集合、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由题意得，，，则 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，．若的图象关于直线对称，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】利用正弦曲线对称轴的公式，可得当时满足，结合题目给定的的取值范围，即可计算得到符合条件的的值. 【详解】由于正弦曲线的对称轴为， 已知的图象关于对称， 所以将 代入可得：， 整理可得：，又因为，取 ，得. 3．（25-26高二下·陕西咸阳·阶段检测）甲、乙、丙三人去看电影，每人可在“疯狂动物城2”、“长安的荔枝”、“得闲谨制”及“开心岭”的四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（    ） A．64 B．62 C．63 D．24 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步乘法计数原理，计算三人独立选择电影的选法乘积即可得到结果. 【详解】计算三人选择电影的总选法，分三步完成： 第一步，甲从4部电影中任选1部，共有4种不同的选法； 第二步，乙从4部电影中任选1部，共有4种不同的选法； 第三步，丙从4部电影中任选1部，共有4种不同的选法. 根据分步乘法计数原理，不同的选法总种数为. 4．（25-26高一下·山东临沂·期中）圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】由圆台的侧面展开图可得母线长，进而可求圆台的高，再结合圆台体积的计算公式即可求解. 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为，下底面周长为， 因为扇环所对的圆心角为180°，所以，解得， ，解得，故圆台的母线， 高， 故圆台的体积， 5．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点分别为，不在轴上的动点在上运动，的平分线交轴于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆定义及辨析 【分析】根据角平分线定理及椭圆的定义，联立求解，即可得答案. 【详解】由椭圆的方程得，，即，所以， 因为为的平分线， 所以由角平分线定理得，则，即， 由椭圆定义得，联立解得. 6．（2026·山东济南·模拟预测）设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】通过平方的方法，结合完全平方公式和向量数量积运算律计算求解. 【详解】因为， ， 所以. 7．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】由题设，则. 8．（2026·江苏南京·三模）已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、解分段函数不等式 【分析】先分区间求解的解集，结合函数单调性确定x的范围后，再代入解关于a的不等式即可. 【详解】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（25-26高二上·江西上饶·期末）已知直线：，则下列说法正确的是（   ） A．与直线垂直 B．在轴上的截距为2 C．与圆相离 D．与直线之间的距离为 【答案】AD 【知识点】已知直线垂直求参数、判断直线与圆的位置关系、直线截距式方程及辨析、求平行线间的距离 【分析】根据线线垂直、直线的截距式方程、直线与圆的位置关系、平行线间的距离公式逐项计算即可. 【详解】选项A：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以直线与直线垂直，A正确. 选项B：令，得，所以在轴上的截距为，B错误. 选项C：圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，C错误. 选项D：直线与直线平行， 由平行线间的距离公式可知，D正确. 故选：AD. 10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知一个数列共有8项，分别为：1，3，5，7，9，11，13，15，将这8个数分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的值不可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】AC 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】根据原数列的和与新数列的和相等，得出新数列的首项与公差的关系，再将各选项的值代入检验判断. 【详解】原数列各项和为. 设新数列首项为，公差为，项数为4， 所以新数列的各项和为， 化简得. 因为原数列各项均为奇数，所以每组的2个数之和一定是偶数，所以必为偶数. 将各选项代入逐一验证： 若 ，，不可能，故选项A正确； 若 ，，满足题意，故选项B错误； 若，，不可能，故选项C正确； 若，，满足题意，故选项D错误. 11．（2026·陕西西安·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点 C．若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值 D．设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于 【答案】ACD 【知识点】双曲线中的定值问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】选项A.利用求出坐标，再结合等腰三角形以及双曲线的离心率求解即可.选项B.直线与双曲线仅有一个公共点，包含与渐近线平行和相切两种情况，分析求解即可.选项C.设点，利用双曲线方程化简得到定值，同理.选项D.先求出T，结合离心率得渐近线方程，当与右顶点重合时，面积取得最大值. 【详解】A选项，当轴时，点的横坐标为，代入得． 由于点位于第一象限，故点的坐标为， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 又，则，解得（负根舍去），故A正确； B选项，直线过定点，若直线与双曲线仅有一个公共点， 则与渐近线平行或与双曲线相切，故符合条件的的值有4个，故B错误； C选项，设点的坐标为，则， 由于在上，故有， 于是，同理， 故直线，，，的斜率之积为9，C正确； D选项，令得，故，所以， 因为，所以双曲线的渐近线方程为， 故直线与渐近线平行，如果点与右顶点重合， 则的面积， 因为点P位于第一象限，所以的面积小于，D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．（25-26高二下·上海杨浦·期末）等比数列的首项为1、公比为2，其前6项的和的值为_________． 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和 【详解】依题意，等比数列首项，公比，，得. 13．（25-26高一下·重庆渝北·期中）已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出球的半径，再求球的表面积． 【详解】因为，则，可知的外接圆半径， 设该球的半径为，则，即，解得， 所以该球的表面积是. 14．（24-25高一上·四川成都·期末）函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数奇偶性的定义和对数的运算性质，结合恒成立思想，可得的值，由不等式有解，结合函数的奇偶性和单调性和双钩函数的性质得值域，求出的范围. 【详解】若函数是定义在实数集上的奇函数， 可得， 即， 即， 由，可得； 所以， 任取，设则 ， ， ， 则 所以则函数为上的增函数， 又因为函数为上的奇函数，所以函数为上的增函数， 所以不等式有解， 转化为， 即有解， 所以有解，即， 令，因，则，即， 则 ，当且仅当时取等号， 由双钩函数的单调性知：，函数单调递减， ，函数单调递增， 当时，，当时， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）邢麦43是邢台市农业科学研究院选育的半冬性、高产抗病、中强筋小麦新品种，是冀中南水地区域主推优质高产品种之一、某研究机构对A地100亩邢麦43的亩产量（单位：）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值． (2)估计A地100亩邢麦43的亩产量的70%分位数． (3)若某地100亩邢麦43的平均亩产量不低于，则认为该地是邢麦43的优秀种植地．请估计A地100亩邢麦43的平均亩产量，并以此为依据，判断A地是否是邢麦43的优秀种植地．（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 【答案】(1) (2) (3)平均亩产量为kg，地是邢麦的优秀种植地 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）根据频率分布直方图所有矩形面积和为1，列出等式求出即可； （2）先根据各组频率判断70%分位数落在，设70%分位数为，建立频率为的等量关系，即可求出70%分位数； （3）求平均亩产量即求出加权平均数，从而判断A地是否是邢麦43的优秀种植地. 【详解】（1）解：由频率分布直方图所有矩形面积和为1可得，， 解得； （2）由（1）知，则的频率为， 的频率为，的频率为， 的频率为，又， ，所以70%分位数落在内， 设70%分位数为，则，又，代入得， 解得，所以70%分位数为； （3）各组区间中点值分别为：，，，， 由（2）知各组的频率分别为：，，，， 则平均亩产量， 因为，所以A地是邢麦43的优秀种植地. 16．（贵州省部分学校2025-2026学年高二下学期6月学科素养训练数学试题）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由已知等式，利用正弦定理将边化为角的正弦，再根据角的取值范围确定； （2）已知及两边关系，代入余弦定理解出边长，最后用面积公式计算. 【详解】（1）因为，由正弦定理，得， 而，即，则，即． 又，所以． （2）由（1）知，所以．把，代入余弦定理得 ，解得，， 所以的面积． 17．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)平面，平面，． 是圆O的直径，C为圆上一点， ． 又，且平面，平面． 平面，平面平面. (2) 【知识点】求线面角、证明面面垂直 【分析】（1）先证，得到平面，最后得到平面平面. （2）先找出直线与平面所成角，然后求出的长度，最后得到其正弦值. 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点作于点， 平面，平面，， 又，平面，平面． 即为直线与平面所成角． ，，可得． . 即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为． 18．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点为抛物线的焦点，点在上，且. (1)求的方程； (2)过上的动点作的切线，与直线交于点，过作的垂线，垂足为.当时，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【知识点】抛物线定义的理解、求抛物线的切线方程 【分析】（1）根据题意，点在上，由抛物线的定义，可得，进而得到抛物线的标准方程； （2）设点，求得切线方程为，得到，再求得和的方程，联立方程组，求得，得到，结合，得到，由抛物线的定义，求得，即可求解； 【详解】（1）因为点在上，且，由抛物线定义可得， 解得，所以抛物线的方程为． （2）由抛物线，可得，设点，可得， 所以切线方程为，整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 由可得，所以的方程为， 由可得，所以的方程为． 联立和的方程有，解得， 则，因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，得，， 所以点或． 19．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】由奇偶性求参数、求对数型复合函数的值域、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】(1)由偶函数定义可直接求解m； (2)已知函数存在零点，转化成方程有解，通过计算的值域得出的范围； (3)函数与的图象有且只有一个公共点，令，则方程可化为，转化成一元二次方程有且只有一个正根讨论. 【详解】（1）因为是偶函数，所以对任意恒成立，                     即，                                               因为， 即，                                           所以对任意恒成立，                                                   解得； （2）由（1）得：， 所以，                                                     因为函数存在零点，所以， 即方程有解，                                                 令，                             因为，所以的取值范围为， 则的值域为，故实数a的取值范围是； （3）函数与的图象有且只有一个公共点， 即方程有且只有一个解， 化简得：， 即；                                                           令，则方程可化为，且方程有且只有一个正根，     ①当，即时，方程可化为， 解得，不合题意，舍去；                                               ②当时，则方程为关于的一元二次方程. （i）若方程有两个相等的正根， 则由，解得， 此时方程为,方程的根为,不合题意，舍去，                              （ii）若方程有一个正根和一个负根， 则由且，解得，                 综上所述，实数b的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $