云南省2025-2026学年高二下学期期末模拟数学试卷（六）

**基本信息** 2025-2026学年云南省高二期末数学模拟卷，覆盖高考全部内容，以“温良恭俭让”传统文化概率题、水质检测优化统计题为情境，融合数学眼光、思维与语言，梯度设计适配高二期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、数列、函数比较、概率、向量、立体几何|概率题结合传统文化，抽象数量关系| |多选|3/18|直线方程、三角函数图像、抛物线|三角函数图像分析考查几何直观| |填空|3/15|椭圆方程、数列求和、函数零点|函数零点问题考查逻辑推理| |解答|5/77|统计案例、立体几何、解三角形、双曲线、导数|统计题分析水质检测优化，导数题探究极值点范围，体现综合应用|

2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（六） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（25-26高一下·云南红河·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】并集的概念及运算 【分析】由题设及并集定义可得答案． 【详解】由并集定义可得：． 2．（25-26高一下·陕西榆林·期中）若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】先利用复数模的几何意义，将复数转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心到定点的距离加半径求解即可. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）等差数列中，，，则（    ） A．0 B． C．15 D．20 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算 【详解】因为为等差数列，且， 所以由下标和性质有，即，解得. 4．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【详解】由指数函数的性质可得，， 由对数函数的性质可得， . 5．（2026·安徽六安·模拟预测）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题、排列组合综合 【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种. 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种. 所以不同的分配方案有种. 6．（2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【详解】，两边平方得， 即， 又，为单位向量且不共线，故， 解得，（舍去）； 若，则， 解得. 7．（24-25高一上·四川成都·期末）扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】弧长的有关计算 【详解】如图，连接，取的中点为，连接， 由题意可得，，， 设，在 中，，  又，   所以由可得， 即 .      8．（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多面体与球体内切外接问题、余弦定理解三角形、球的表面积的有关计算、求二面角 【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为.    2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（2026·陕西商洛·三模）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线截距式方程及辨析、求平行线间的距离 【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 10．（贵州省部分学校2025-2026学年高二下学期6月学科素养训练数学试题）舞龙表演时，龙身上下起伏的姿态可以近似看作下图，若此图象为函数（，，）图象的一部分，则（     ） A． B． C． D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 【答案】ABD 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【详解】由图象可知，B选项正确； 最小正周期，又，A选项正确； 由五点法知，解得，C选项错误； 所以. 所以的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，D选项正确. 11．（25-26高二下·云南大理·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 【答案】ACD 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、求平面轨迹方程 【分析】先联立抛物线与直线方程，利用韦达定理得到交点坐标关系，再根据各选项要求，结合中点公式，焦半径公式、弦长公式等进行推理判断. 【详解】 已知抛物线为，其焦点为，直线的方程为， 联立抛物线与直线方程可得：，化简可得：， 由题意可得直线与抛物线交于两点，所以， 设，则由韦达定理可得：， 代入直线的方程可得：，所以利用中点公式可得：， 在A选项中，若直线的方程为：，则，所以，A选项正确， 在B选项中，，B选项错误， 在C选项中，，所以，C选项正确， 在D选项中，， D选项正确.    3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．（25-26高二下·上海静安·期末）已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】先设出椭圆的标准方程，再根据题设条件可求基本量，从而可求椭圆的标准方程. 【详解】由题意可得，椭圆长轴为6，短轴为4，焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为, 则，即, 所以椭圆的标准方程为. 13．（2026·河北邢台·三模）已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】根据给定条件，利用的关系变形给定等式，再利用构造法求出通项即可. 【详解】数列{an}的前n项和为，， 由，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 14．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】利用换元法，将多层复合方程拆解为外层和内层方程，通过分析外层方程根的分布，反推参数的取值范围. 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 设该方程的两根为（），要使有4个不同实根，需满足： 有两个不同的实根，这两个根均大于. 即有两个不同实根，则 设，要使的两根均大于，需满足： 其中. 同时，当时，， 若，则是方程的一个根，此时仅有1个根， 有2个根，总根个数为3，不符合题意. 当时，（二重根），此时有2个不同实根，总根个数为2，不符合题意. 综上，的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）某环境监测站对一款水质检测设备进行算法优化，规定检测误差率低于3%的检测结果为合格．技术人员分别采集该设备优化前、优化后对同一批水样的检测数据并加以统计，得到如下列联表： 单位：份 设备 检测结果 合计 合格 不合格 优化前 82 18 100 优化后 98 2 100 合计 180 20 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联？ (2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该设备算法优化后的水样1000份，记其中检测结果为合格的份数为，求使事件“”的概率最大时的值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联 (2) 【知识点】卡方的计算、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）计算卡方统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝“算法优化与检测准确性无关”的零假设； （2）先确定Y服从二项分布，通过相邻两项概率的比值列不等式求解概率取最大值时的k值. 【详解】（1）提出零假设：设备算法优化与检测结果的准确性无关联. 由列联表可知，， 得到， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即能认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联. （2）由题意，优化后检测结果合格的概率，则， 要使最大，需满足，， 即，解得， 由于，所以. 16．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)因为圆O直径，则， 又，，平面， 则平面，结合平面，则平面平面； (2) 【知识点】证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）通过证明平面，结合题设可完成证明； （2）取中点为，连接DF，再作，由题可得为二面角平面角，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）取中点为，连接，因是正三角形，则， 又平面平面．平面平面，平面， 则平面，结合平面，可得. 如图，作，因，平面，则平面， 结合平面，可得，从而可得为二面角平面角. 因正三角形边长为2，则.因，则, 作，则，注意到，为AC中点，从而. 又易得，则. 17．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式可得答案； （2）利用余弦定理和向量公式，结合三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴. （2）由（1）及余弦定理得，即①， 又因为，则， 则， 即， 所以②， 由得， 所以. 18．（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)由题意知．设直线， 与双曲线方程联立得． ， 设、，则， 故直线、的斜率之积为 ． (3)存在， 【知识点】双曲线中的定值问题、双曲线向量共线比例问题、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据离心率的定义及求解即可. （2）设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理求解即可. （3）根据向量垂直的坐标表示得到，即，结合即韦达定理求解即可. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c． 由题意知．故， 所以，双曲线C的方程为． （2）略 （3）由题意知，得． 设，则． 即． 又，即，解得． 所以， 因此在x轴上存在定点，使得恒成立． 19．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求整数的最大值； (3)设有两个极值点，求的范围． 【答案】(1)； (2)3； (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）对给定不等式分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最小值即可. （3）利用极值点的意义求出，再构造函数并利用导数求出值域即可. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）对任意的，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以整数的最大值是3. （3）函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得方程有两个不等的正根， 则，即，且， ，令函数， 求导得，函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（六） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．等差数列中，，，则（    ） A．0 B． C．15 D．20 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 6．不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 7．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（    ）    A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10．舞龙表演时，龙身上下起伏的姿态可以近似看作下图，若此图象为函数（，，）图象的一部分，则（     ） A． B． C． D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 11．已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 13．已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 14．已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 4、 解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某环境监测站对一款水质检测设备进行算法优化，规定检测误差率低于3%的检测结果为合格．技术人员分别采集该设备优化前、优化后对同一批水样的检测数据并加以统计，得到如下列联表： 单位：份 设备 检测结果 合计 合格 不合格 优化前 82 18 100 优化后 98 2 100 合计 180 20 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联？ (2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该设备算法优化后的水样1000份，记其中检测结果为合格的份数为，求使事件“”的概率最大时的值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 17．在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求． 18．已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 19．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求整数的最大值； (3)设有两个极值点，求的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $