云南省2025-2026学年高二下学期期末模拟考试数学卷（三）

**基本信息** 融入具身智能、康托三分集等时代与文化情境，覆盖高考全部内容，通过基础题（如中位数、向量运算）到综合题（椭圆与直线综合、导数应用）的梯度设计，培养数学眼光与逻辑思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|统计（中位数）、导数（切线方程）、排列组合|康托三分集体现数学文化，基础题巩固核心概念| |多选|3/18|圆的方程、立体几何动点问题|多选项设计考查推理严谨性，如立体几何存在性判断| |填空|3/15|双曲线离心率、数列构造|结合抛物线与双曲线交汇，考查数学语言表达| |解答题|5/77|概率统计（具身智能情境）、立体几何证明与计算、导数应用、椭圆综合|以科技热点为背景（如具身智能竞赛），综合题注重模型构建与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（三） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2026·湖南长沙·三模）一组数据：2，5，3，9，7，这组数据的中位数是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【知识点】计算几个数的中位数 【详解】先从小到大排序：2，3，5，7，9， 数据个数为奇数，取中间第3个数，中位数是5. 2．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 3．（2026·福建·模拟预测）已知单位向量，满足，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【详解】依题意， ，即 ， 所以，故． 4．（25-26高二下·江苏南通·期中）某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．288 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先排语文与数学，再通过乘法原理求解即可. 【详解】上午两节语文课连上有三种可能，同理下午两节数学课连上有三种可能， 因为英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，直接全排列，所以有种. 5．（2026高三·全国·专题练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使前次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（    ）(，) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求等比数列前n项和、数列-其他模型 【分析】根据条件推理出第次操作去掉的区间长度，然后由等比数列的前项和表示出前次操作去掉的所有区间长度之和，结合对数运算可求解出结果. 【详解】第一次操作去掉了区间长度的，剩下的区间：， 第二次去掉个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，，， 第三次去掉个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，，，， 以此类推，第次将去掉个长度为的区间，即长度和记为， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则的前项和为， 由题意知，所以， 两边同时取对数，即，解得，所以， 故选：B. 6．（25-26高二下·河北石家庄·期中）若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】对求导分析函数单调性得到最大值，得到函数取最大值时的，进而建立关于的方程并求解. 【详解】的定义域为， 易得在上单调递减，当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 则当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 即， 易得函数在上单调递增，且0，所以， 所以，解得． 7．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 8．（2026·天津滨海新区·三模）已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据抛物线准线过双曲线左焦点得出与的关系，再利用向量关系得到线段长度关系，结合双曲线的性质求出方程即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意得抛物线的准线方程为， 双曲线的左焦点（其中）， 抛物线的准线经过双曲线的左焦点，故，即， 已知，移项可得，即， 即，则， 又双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离 在中，， 由勾股定理可得， 过作轴于点，则， 由相似三角形的性质可得， 即，所以， 则点的横坐标为，纵坐标的绝对值为， 因为点在抛物线上，且， 所以，即， 整理得，因此，则， 在本题中，，则，， 则双曲线方程为，故D正确. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（2026·山东烟台·模拟预测）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 【答案】AC 【知识点】判断点与圆的位置关系、定点到圆上点的最值（范围）、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解. 【详解】点代入，， 点在圆内部，选项A正确； ， 点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误； ，以为中点的弦所在的直线的斜率为， 其方程为，即， 以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确； 过点的直线截圆的弦长为，由， 得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，即， ，解得，直线为，即， 所以直线的方程为或，选项D错误. 10．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 【答案】AC 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、空间中的点（线）共面问题、证明线面平行 【分析】利用立体几何点线面的位置关系及求体积表面积知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，若点是的中点，则， 又因为,所以. 因为面,面 所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以 故四点共面，所以选项B不正确. 对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且. 所以.故选项C正确. 对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为 长方体的外接球. 因为该长方体的长宽高分别为.所以. 所以.故选项D不正确.    11．（25-26高一下·广东广州·期中）关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数满足，则 D．若，则 【答案】BD 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】对于A，复数的共轭复数为， ，A错误； 对于B，复数对应点， 其共轭复数对应点，两点关于实轴（轴）对称，正确； 对于C，由已知的解为，， 因此由 不能推出 ，C错误； 对于D，表示以点为圆心、半径为1的圆，圆心到原点的距离为， 因此圆上的点到原点的距离最小值为，最大值为， 即，D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．（25-26高二下·河北衡水·期末）已知双曲线（）右焦点F也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M，且MF垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 【答案】/ 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】由题意可得右焦点为，又因为MF垂直于轴，把代入抛物线， 可得，又因为公共点M在第一象限，所以，即，把代入 双曲线可得，，又因为，解得， 所以，即. 13．（2026·陕西渭南·三模）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，若此时，则________． 【答案】7 【知识点】求等比数列前n项和、数列新定义 【分析】通过构造辅助等比数列推导数列总和的正确递推通项，求出构造次数，归纳首个插入数的变化规律完成求解. 【详解】设第次构造后数列的总和为，单次构造新增插入数字的和为. 初始数列总和. 由插入规则，单次插入数字和为原数列所有相邻两项之和， 可得，. 联立化简得，变形为， 因此，是以为首项、为公比的等比数列， ，， 前次插入所有数字的总和满足， 结合题设，可得，，， 解得，即. 归纳首次插入数规律：第次，第次，第次，……，第次. 因此，第次构造时，. 14．（2026高一·全国·专题练习）若，且，则______． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式、给值求值型问题 【分析】用换元法，设，化简方程求出，进而得出的正余弦值，化简即可． 【详解】由题意，，设，即， ， ， 即， ， ， ，得，则有， 由，可知， ， ，， ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（25-26高一下·吉林辽源·期中）设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小; (2)若，，求的面积. 【答案】(1) ； (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理将条件化为角的关系，化简得，即得结果； （2）由三角形面积公式结合（1）得解. 【详解】（1），由正弦定理得， 在中，， ，即. （2）由（1）得，所以的面积为. 16．（2026·陕西·一模）年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）先求出“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件的概率，进而求出“3人中最多2人通过第一轮”的概率； （2）先由乘法公式求出三人通过第二轮的概率，再利用全概率公式计算求解； （3）求出的可能取值为，计算各可能值的概率，进而求出分布列及期望． 【详解】（1）“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”， 每人通过第一轮的概率为，且相互独立，故全部通过的概率为：， “3人中最多2人通过第一轮”的概率为：． （2）小明通过第二轮的概率为：， 小华通过第二轮的概率为：， 小方通过第二轮的概率为：， 从3人中任选1人，每人被选中概率为，由全概率公式： ． （3）的可能取值为，三人通过第二轮的事件相互独立， ， ， ， ， 分布列为： 0 1 2 3 期望为：． 17．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直棱柱中，底面为直角梯形，，，且，，.又平面，.点分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系： ，，，，，，，． 因为分别为，的中点，所以，． 有，底面的法向量为. 因为，所以 又不在平面内，所以平面． (2) (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）空间向量法计算两平面夹角的余弦值； （3）空间向量法计算点到平面的距离； 【详解】（1）略 （2） 平面的一个法向量为，平面中，， ，，取，． 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 所以两平面夹角的余弦值为． （3）由（2）可知平面的一个法向量为， 点到该平面的距离为． 18．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以 (3)． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）通过构造函数，利用导数求出在时的最小值即可； （3）由函数在上是增函数，可得，构造，利用导数求出的单调性即可. 【详解】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）略. （3）因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． 19．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于两点，的最大值与最小值之和为7． (1)求椭圆的标准方程． (2)设过点且与直线垂直的直线交椭圆于，两点，点，分别是弦，的中点． ①若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点； ②在①的条件下，当两直线和的斜率为何值时，的面积取得最大值？ 【答案】(1) (2)①证明见解析② 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）先确定椭圆过焦点的弦长的最大值和最小值，结合二者之和为7建立方程，求解得到即可得到椭圆方程； （2）①设出直线方程​，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦中点、的坐标，再推导直线的方程，整理为点斜式形式即可判断定点； ②先写出三角形面积关于的表达式，通过换元、利用函数单调性求最值，进而得到对应直线斜率 【详解】（1）由题意，当为椭圆的通径时，的值最小； 当为椭圆的长轴时，的值最大，为． 把代入椭圆的方程，得，结合，解得， 所以的最小值为． 由题意，得 解得所以椭圆的标准方程为． （2） ①证明：由题意，设直线的方程为，则直线的方程为． 设，． 由消去，整理得． ，则． 由题意，得， 所以，则． 将点坐标中的用代换，得弦的中点． 解，得，所以，所以直线的方程为． 当时，直线的斜率， 所以直线的方程为，整理得， 所以直线过点． 综上，直线过定点． ②由题意，得的面积 ． 设 ，则，． 由对勾函数的性质，得函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最大值，为，即面积的最大值为． 此时，两直线和的斜率分别为和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（三） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．一组数据：2，5，3，9，7，这组数据的中位数是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 3．已知单位向量，满足，则（   ） A． B．0 C． D． 4．某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．288 5．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使前次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（    ）(，) A． B． C． D． 6．若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 7．已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 10．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 11．关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数满足，则 D．若，则 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知双曲线（）右焦点F也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M，且MF垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 13．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，若此时，则________． 14．若，且，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小; (2)若，，求的面积. 16．年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 17．如图，在直棱柱中，底面为直角梯形，，，且，，.又平面，.点分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 18．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于两点，的最大值与最小值之和为7． (1)求椭圆的标准方程． (2)设过点且与直线垂直的直线交椭圆于，两点，点，分别是弦，的中点． ①若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点； ②在①的条件下，当两直线和的斜率为何值时，的面积取得最大值？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $