精品解析：广东梅州市外语实验学校2025-2026学年第二学期七年级6月基础过关诊断试卷数学

梅州市外语实验学校 2025～2026学年第二学期七年级6月基础过关诊断试卷 数学 全卷共2页，满分为120分，用时为120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请将所选选项填涂在答题卡上．） 1. 中国古典花窗图案丰富多样，极具观赏价值．下列各图是中国古典花窗的基本图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个小于1的正数用科学记数法表示，n为负数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位,确定a值，写成的形式即可． 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算，涉及同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算及合并同类项运算，根据同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算及合并同类项运算逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（ ）个． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查感受可能性，根据摸到的黄球的可能性大，得到黄球的数量要多于白球的数量，进行判断即可． 【详解】解：∵要使摸到的黄球的可能性大， ∴黄球的数量要多于白球的数量， ∵袋子里白球和黄球共10个 ∴袋子里至少装6个黄球； 故选B． 5. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用； 根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5， ∴第三边，即第三边， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为， 故选：B． 6. 下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式中代数式的特征是解题的关键． 平方差公式的形式为，即两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数，检查各选项变形后是否符合此形式即可． 【详解】选项A：，符合形式，能运用平方差公式，符合题意要求； 选项B：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项C：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项D：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 故选A． 7. 如图，直线a，b被直线c所截，下列说法中不正确的是（　　） A. ∠1与∠2是对顶角 B. ∠1与∠4是同位角 C. ∠2与∠5是同旁内角 D. ∠2与∠4是内错角 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角、同旁内角、同位角、内错角分别分析即可．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．依据同位角、内错角以及同旁内角的特征进行判断即可． 【详解】A、∠1与∠2是对顶角，故原说法正确，不符合题意； B、∠1与∠4是同位角，故原说法正确，不符合题意； C、∠2与∠5是同位角，故原说法错误，符合题意； D、∠2与∠4是内错角，故原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角、同旁内角、同位角、内错角，掌握三线八角是解题的关键． 8. 如图，将一个边长为的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，余下的部分沿虚线剪开成一个矩形（无重叠无缝隙），则长方形的面积是（ ）． A. 1 B. a C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用大正方形面积减去小正方形的面积即可． 【详解】解：由题意知长方形的面积是边长为的大正方形面积减去边长为的小正方形的面积，即． 9. 如图，已知，且，点E，F为线段上的两点，添加以下条件，不能判定的是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定定理．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．由平行线的性质可得出，结合题意和三角形全等的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 添加，不能判定，故A选项符合题意； 添加，结合，可由“”判定，故B不符合题意； 添加，可得出， ∴，可由“”判定，故C不符合题意； 添加，可得出，可由“”判定，故D不符合题意． 故选A． 10. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③若∠1＝45°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据余角的概念和同角的余角相等判断①；根据①的结论判断②；根据平行线的判定定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④． 【详解】解：∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， 故①正确； ∵∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝90°+90°＝180°， 故②正确； ∵∠1＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∴BC∥AD． 故③正确； ∵∠2＝30°， ∴∠1＝∠E＝60°， ∴AC∥DE， ∴∠4＝∠C， 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了余角的概念和同角的余角的性质，平行线的判定定理和性质定理，熟练掌握余角的概念和同角的余角的性质，平行线的性质定理和判定定理是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在答题卡相应的位置上．） 11. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法即可答案． 【详解】解：由题意可知： 故答案为：21． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法，本题属于基础题型． 12. 如图，在一条新修公路旁有一个超市，现计划在这条公路旁的四点处选择一点修建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，则汽车站应建在点__________处． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，直线外一点到该直线上所有点的连线中，垂线段最短，据此可得答案． 【详解】解：由垂线段最短可知，为了使超市距离车站最近，则汽车站应建在点C， 故答案为：C． 13. 已知，，则____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个三角形的顶角的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时， 两腰上的高所在直线相交得到的夹角为， 由高的定义可知，高与腰垂直，因此可得两个直角都为， 根据四边形内角和为，可得顶角为： ； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时， 两腰上的高所在延长线相交得到的邻补角为， 由高的定义可知，高与腰垂直，因此可得两个直角都为， 根据四边形内角和为，可得顶角为： ； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 15. 如图，已知，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为1． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：1． 三、解答题（一）（本题共3小题，每题7分，共21分．请解答在答题卡相应的位置上．） 16. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算有理数的乘方，绝对值，算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 17. 化简求值：；其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 首先根据完全平方公式和平方差公式进行运算，再合并同类项，然后计算除法运算即可． 【详解】解：原式 ， 将，代入得： 原式 ． 18. 春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． （1）某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； （2）请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 【答案】（1） （2）方案二 【解析】 【分析】（1）列举出所有可能即可求； （2）分别求出两种方案下平均获奖的情况即可． 【小问1详解】 解：所有可能的情况有6种，①正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；②正面朝上指针指向100元，获得100元购物券；③正面朝上指针指向谢谢，不得奖；④正面朝下指针指向50元，购物券金额减半获得25元购物券；⑤正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券；⑥正面朝下指针指向谢谢，不得奖；其中一次获得50元购物券的情况有2种：分别是正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券； 故一次获得50元购物券的概率为； 【小问2详解】 解：由（1）知，方案一：一次获得100元购物券的情况只有1种，故一次获得100元购物券的概率为；一次获得25元购物券的情况只有1种，故一次获得25元购物券的概率为； 一次平均获奖（元）， 方案二：直接获奖40元， 则顾客选择方案二更合算． 四、解答题（二）（本题共3小题，每题9分，共27分．请解答在答题卡相应的位置上．） 19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个． （1）求的面积； （2）请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点P，使得最短． 【答案】（1） （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）用割补法求解； （2）①作出的三个顶点关于直线对称的对应点，依次连接即可； ②连接交于点P，则点P为满足条件的点． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①略； ②连接交于点P，则， ∴， ∴点P为满足条件的点． 20. 如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ 是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握运用各个定理、性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得：，，然后依据全等三角形的判定定理可得：，由全等三角形的性质即可证明； （2）由（1），根据全等三角形的性质可得：，结合图形，运用各角之间的关系可得：，利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 在中，， 即． 21. 王老师在讲乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．学生们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， 因为，所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当______时，有最小值是______； （2）多项式有最______（填“大”或“小”）值，该值为______； （3）已知，求的最值． 【答案】（1）； （2）大；19 （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）仿照题干提供的方法进行解答即可； （2）仿照题干提供的方法进行解答即可； （3）把等式变形为，仿照题干提供的方法进行解答即可． 【小问1详解】 解：， 因为，所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是， 【小问2详解】 解：， 因为，所以当时，的值最大，最大值是0． 所以． 所以当时，的值最大，最大值是， 【小问3详解】 解：因为， 所以， 因为，所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上．） 22. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，直接写出、、的关系为：______； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】（1） 证明：①∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2） （3） 、、的关系为：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 故、、的关系为：． 【解析】 【分析】（1）①已知这两个三角形都是直角三角形且有一组对应边相等，只需要再找一组对应角相等即可，结合已知条件，通过同角的余角相等即可证明，进而可由得证；②由①可知，利用线段的和差关系进一步分析即可证明． （2）参考（1），先证，再利用三角形全等的性质，结合图形中线段之间的和差关系分析即可． （3）参考（1），先证，再利用三角形全等的性质，结合图形中线段之间的和差关系分析即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 、、的关系为：； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 故、、的关系为：． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等和三角形全等的判定与性质，熟练掌握用证明三角形全等是解题的关键． 23. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ （2）类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； （3）解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：， 理由如下：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点，，在同一直线上； 【小问3详解】 解：如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅州市外语实验学校 2025～2026学年第二学期七年级6月基础过关诊断试卷 数学 全卷共2页，满分为120分，用时为120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请将所选选项填涂在答题卡上．） 1. 中国古典花窗图案丰富多样，极具观赏价值．下列各图是中国古典花窗的基本图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（ ）个． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 6. 下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线a，b被直线c所截，下列说法中不正确的是（　　） A. ∠1与∠2是对顶角 B. ∠1与∠4是同位角 C. ∠2与∠5是同旁内角 D. ∠2与∠4是内错角 8. 如图，将一个边长为的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，余下的部分沿虚线剪开成一个矩形（无重叠无缝隙），则长方形的面积是（ ）． A. 1 B. a C. D. 9. 如图，已知，且，点E，F为线段上的两点，添加以下条件，不能判定的是（　） A. B. C. D. 10. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③若∠1＝45°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在答题卡相应的位置上．） 11. 已知，，则_____． 12. 如图，在一条新修公路旁有一个超市，现计划在这条公路旁的四点处选择一点修建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，则汽车站应建在点__________处． 13. 已知，，则____________． 14. 已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个三角形的顶角的度数是______． 15. 如图，已知，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于____． 三、解答题（一）（本题共3小题，每题7分，共21分．请解答在答题卡相应的位置上．） 16. 计算：． 17. 化简求值：；其中，． 18. 春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． （1）某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； （2）请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 四、解答题（二）（本题共3小题，每题9分，共27分．请解答在答题卡相应的位置上．） 19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个． （1）求的面积； （2）请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点P，使得最短． 20. 如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 王老师在讲乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．学生们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， 因为，所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当______时，有最小值是______； （2）多项式有最______（填“大”或“小”）值，该值为______； （3）已知，求的最值． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上．） 22. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，直接写出、、的关系为：______； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 23. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ （2）类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； （3）解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $