6.3.2 角的比较与运算(一) 学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦角的比较与运算，涵盖度量法、叠合法比较角的大小，角的和差计算及角平分线概念。通过生活情境（门、剪刀等）类比线段比较方法，引导学生迁移旧知，搭建前后知识联系的学习支架。 资料特色在于情境导入联系生活培养数学眼光，合作探究通过活动与归纳发展推理意识，分层习题（基础、提升、中考）结合错误诊所提升运算能力，数学文化增强应用意识，助力学生理解与应用知识。

6.3.2 角的比较与运算（一） 一、学习目标 1. 掌握角的大小比较方法（度量法、叠合法）； 2. 理解角的和、差的意义，会进行角的和差计算； 3. 理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质并能进行相关计算； 4. 能运用角的和差关系解决简单的实际问题。 二、学习重难点 【重点】角的大小比较，角平分线的概念及性质，角的和差计算。 【难点】角的和差关系的灵活运用，角平分线的综合应用。 三、情境导入 【生活情境】如何比较两个角的大小？ 在日常生活中，我们经常需要比较两个角的大小。比如： • 两扇门打开的角度哪个更大？ • 两把剪刀张开的角度哪个更大？ • 两座滑梯哪个更陡？ 回想一下，我们是怎样比较两条线段的长短的？ ——度量法（用刻度尺量）和叠合法（把一端叠合比较另一端）。 那么，角的大小又该如何比较呢？是不是也有类似的方法？ 今天我们就一起来探究角的比较与运算。 四、合作探究 探究点1：角的大小比较 【活动1】怎样比较两个角的大小？你有哪些方法？ 图1：角的大小比较方法 【知识梳理】角的大小比较方法 1. 度量法：用量角器分别测量两个角的度数，根据度数的大小来比较。 角的大小关系与它们的度数的大小关系是一致的。 2. 叠合法：把一个角叠放到另一个角上，使它们的顶点重合， 其中的一边也重合，观察另一边的位置： • 若另一边落在角的内部，则这个角较小； • 若另一边落在角的外部，则这个角较大； • 若两边都重合，则这两个角相等。 注意：角的大小只与两边张开的程度有关，与边的长短无关。 【归纳】 两个角的大小关系有三种： ∠AOB > ∠COD，∠AOB = ∠COD，∠AOB < ∠COD 探究点2：角的和与差 【活动2】如图，图中有几个角？它们之间有什么关系？ 图2：角的和与差 【知识梳理】角的和与差 如图，图中有三个角：∠AOB、∠BOC、∠AOC。 它们之间的关系： 1. 和的关系：∠AOC = ∠AOB + ∠BOC （即较大的角等于两个较小角的和） 2. 差的关系： ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB （即其中一个较小角等于大角减去另一个较小角） 注意：角的和、差仍然是角，它们的度数等于相应度数的和、差。 探究点3：角平分线 【活动3】在一张纸上画一个角，把这个角的两边对折， 使角的两边重合，折痕与角的顶点形成一条射线。 观察：这条射线把原来的角分成了两个怎样的角？ 图3：角平分线 【知识梳理】角平分线 1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫做这个角的平分线。 2. 符号语言： ∵ OC平分∠AOB （已知） ∴ ∠AOC = ∠BOC （角平分线的定义） 或 ∠AOC = ∠BOC = ∠AOB 或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC 3. 反之：若∠AOC = ∠BOC，则OC是∠AOB的平分线。 4. 角的三等分线：把一个角分成三个相等的角的两条射线， 叫做这个角的三等分线。 【易错提醒】 • 角平分线是一条射线，不是线段，也不是直线； • 它从角的顶点出发，在角的内部； • 一个角的平分线只有一条。 五、典型例题 题型一：角的和差计算 【例1】如图，已知∠AOC = 72°，∠AOB = 35°， 求∠BOC的度数。 例1图 【解析】根据角的和差关系： ∵ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC （角的和的定义） ∴ ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 72° - 35° = 37° 【答案】∠BOC = 37° 【方法技巧】 解决角的和差问题的关键是： 1. 仔细观察图形，找出各个角之间的关系； 2. 利用角的和、差关系列出等式； 3. 代入已知角度进行计算。 题型二：角平分线的应用 【例2】如图，OC是∠AOB的平分线，∠AOB = 80°， 求∠AOC和∠BOC的度数。 例2图 【解析】根据角平分线的定义： ∵ OC是∠AOB的平分线 （已知） ∴ ∠AOC = ∠BOC = ∠AOB （角平分线的定义） 又∵ ∠AOB = 80° （已知） ∴ ∠AOC = ∠BOC = × 80° = 40° 【答案】∠AOC = ∠BOC = 40° 【方法技巧】 角平分线问题的解题步骤： 1. 确定哪个角被平分； 2. 根据角平分线的定义，得到两个小角相等，且等于大角的一半； 3. 代入已知条件进行计算。 题型三：角的和差与角平分线综合 【例3】（2024·四川中考改编）如图，O是直线AB上一点， ∠AOC = 50°，OD平分∠BOC，求∠BOD的度数。 图3 角的平分线计算 【解析】： ∵ O是直线AB上一点 （已知） ∴ ∠AOB = 180° （平角的定义） ∵ ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB （角的和的定义） ∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 180° - 50° = 130° 又∵ OD平分∠BOC （已知） ∴ ∠BOD = ∠BOC （角平分线的定义） = × 130° = 65° 【答案】∠BOD = 65° 【方法技巧】 综合题解题思路： 1. 先从已知条件出发，利用平角、直角等特殊角求出相关角的度数； 2. 再结合角平分线的性质进行推导； 3. 每一步都要有理有据，体现几何推理的严谨性。 六、错误诊所 【易错点1】角的大小与边的长短混淆 【错例】边长较长的角比边长较短的角大。 【诊断】角的两边是射线，可无限延伸，角的大小只与两边张开的程度有关， 与边的长短无关。 【正解】角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关。 【易错点2】角平分线概念理解错误 【错例】从角的顶点出发的一条射线叫做角平分线。 【诊断】角平分线必须满足：从顶点出发，在角的内部，且把角分成两个相等的角。 缺少任何一个条件都不是角平分线。 【正解】从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫做这个角的平分线。 【易错点3】角的和差计算时单位换算错误 【错例】30°15' + 20°45' = 50°60' = 51° 【诊断】虽然结果正确，但过程不够规范。正确的做法是： 度与度相加，分与分相加，秒与秒相加，满60进1。 【正解】30°15' + 20°45' = (30+20)° + (15+45)' = 50°60' = 51° 七、达标检测 【基础题】 1. 比较两个角的大小，常用的方法有______和______。 2. 如图，比较∠1和∠2的大小：∠1______∠2（填">"、"="或"<"）。 第2题图 3. 下列说法正确的是（　　） A．角的边越长，角越大 B．角的大小与边的长短无关 C．角的两边越短，角越大 D．角的大小由顶点的位置决定 4. 已知∠AOB = 60°，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ______°，∠BOC = ______°。 5. 如图，∠AOB是直角，OC在∠AOB内部，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则∠EOD = ______°。 第5题图 6. 计算： （1）25°30' + 42°45' = ________ （2）90° - 35°20' = ________ 【提升题】 7. 已知∠AOB = 80°，∠BOC = 30°，求∠AOC的度数。（提示：OC可能在∠AOB内部，也可能在外部） 8. 如图，∠AOB = 120°，OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，求∠AOD的度数。 9. 用一副三角板，你能画出多少个不同度数的锐角？请画图说明（提示：三角板有30°、45°、60°、90°角）。 第9题图 10. （2024·湖北中考改编）把一张长方形纸条按如图方式折叠，使点A落在点A'处，BC为折痕，BD平分∠A'BE，求∠CBD的度数。 图5 长方形纸条折叠问题 八、中考链接 【中考真题1】（2024·四川内江中考）如图，AB∥CD，∠1 = 50°，则∠2的度数为（　　） A．40°　　B．50°　　C．130°　　D．140° 真题1图 【中考真题2】（2024·湖南长沙中考）如图，O是直线AB上一点，OC平分∠AOD，且∠AOC = 70°，则∠BOD的度数为（　　） A．40°　　B．50°　　C．60°　　D．70° 真题2图 【中考真题3】（2024·北京中考）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD。若∠AOC = 120°，则∠BOD的大小为（　　） A．30°　　B．40°　　C．50°　　D．60° 真题3图 【中考真题4】（2024·江苏苏州中考改编）已知∠α和∠β互为补角，且∠α = 35°，则∠β的度数是______°。 九、数学文化 【数学史话】角度的测量与量角器的发明 测量角度是人类最古老的数学活动之一。早在古埃及时期， 人们就开始测量角度来划分土地。 量角器的发展： • 古希腊时期，数学家们开始使用简单的角度测量工具。 • 公元前2世纪，古希腊天文学家喜帕恰斯发明了星盘， 用于测量天体的高度角，这是早期的角度测量工具。 • 中国古代也有类似的工具，如圭表、日晷等， 用于测量日影的角度来确定时间和节气。 现代量角器： 我们现在使用的半圆形量角器，是经过长期发展演变而来的。 它将半圆平均分成180等份，每一份对应1度的角。 量角器的发明，使得角度的测量变得简单而准确。 思考：为什么量角器是半圆形的，而不是圆形的？ 【生活中的数学】 • 建筑设计：房屋的屋顶角度、楼梯的坡度设计； • 体育比赛：足球射门的最佳角度、铅球的最佳出手角度； • 摄影艺术：拍摄角度的选择影响照片的整体效果； • 钟表指针：时针和分针的夹角随时间不断变化； • 剪刀开合：剪刀张开的角度决定了剪切的效果。 角无处不在，它是我们理解世界的重要数学工具！ 十、小结与反思 【知识梳理】 本节课我们学习了： 1. 角的大小比较： • 度量法：用量角器测量度数，比较大小； • 叠合法：顶点重合，一边重合，看另一边的位置。 2. 角的和与差： • ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC • ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC 3. 角平分线： • 定义：从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线； • 性质：若OC平分∠AOB，则∠AOC = ∠BOC = 1/2∠AOB。 【学习反思】 1. 我掌握角的大小比较方法了吗？_______________________ 2. 我能正确找出角的和差关系吗？_______________________ 3. 角平分线的概念和性质我理解了吗？___________________ 4. 我能进行角的和差与角平分线的综合计算吗？___________ 5. 本节课我还有哪些疑问？_____________________________ 参考答案 【典型例题答案】 例1：∠BOC = 37° 例2：∠AOC = ∠BOC = 40° 例3：∠BOD = 65° 【达标检测答案】 1. 度量法，叠合法 2. > （解析：第一个角张开程度更大） 3. B 解析：角的大小与边的长短无关。 4. 30，30 解析：角平分线把角分成两个相等的角。 5. 45 解析：∠EOD = 1/2∠AOC + 1/2∠BOC = 1/2(∠AOC + ∠BOC) = 1/2×90° = 45° 6. （1）68°15' （2）54°40' 7. 分两种情况： （1）当OC在∠AOB内部时，∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 80° - 30° = 50° （2）当OC在∠AOB外部时，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 80° + 30° = 110° 8. 解：∵ OC平分∠AOB，∴ ∠BOC = 1/2∠AOB = 60° ∵ OD平分∠BOC，∴ ∠BOD = 1/2∠BOC = 30° ∴ ∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 120° - 30° = 90° 9. 可以画出5个不同度数的锐角：15°、30°、45°、60°、75° （45°-30°=15°，45°+30°=75°） 10. 解：由折叠的性质可知，∠ABC = ∠A'BC = 1/2∠ABA' ∵ BD平分∠A'BE，∴ ∠A'BD = 1/2∠A'BE ∴ ∠CBD = ∠A'BC + ∠A'BD = 1/2(∠ABA' + ∠A'BE) = 1/2×180° = 90° 【中考链接答案】 真题1：C 解析：两直线平行，同旁内角互补，∠2 = 180° - 50° = 130° 真题2：A 解析：∵ OC平分∠AOD，∴ ∠AOD = 2∠AOC = 140°， ∴ ∠BOD = 180° - 140° = 40° 真题3：A 解析：∵ OC⊥OD，∴ ∠COD = 90°， ∵ ∠AOC = 120°，∴ ∠BOC = 60°， ∴ ∠BOD = 90° - 60° = 30° 真题4：145 解析：互为补角的两个角的和为180°，∠β = 180° - 35° = 145° 学科网（北京）股份有限公司 $