6.2.2 线段的比较与运算 学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案围绕“线段的比较与运算”展开，涵盖比较方法、中点概念、和差计算及“两点之间线段最短”性质。通过生活情境问题导入，如比较身高、选路等，引导学生观察现实，衔接前后知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于注重数学素养培养，以情境激发几何直观与抽象能力，通过合作探究和例题推理发展推理意识，结合实际应用问题强化模型与应用意识。分层习题与错误诊所有助于巩固重点，中考链接贴近教学需求，提升学生自主学习与问题解决能力。

6.2.2 线段的比较与运算 —— 线段长短比较、线段中点及线段计算 —— 一、学习目标 1. 掌握比较线段长短的两种方法（度量法、叠合法）； 2. 理解线段中点的概念，能利用线段中点进行简单计算； 3. 理解线段的和、差关系，并能进行线段的计算； 4. 掌握「两点之间，线段最短」的性质，了解两点间距离的概念。 二、学习重难点 【重点】 • 线段长短的比较方法 • 线段中点的概念及应用 • 「两点之间，线段最短」的性质 【难点】 • 线段的和差计算 • 利用线段中点进行推理计算 • 最短路径问题的应用 三、情境导入 同学们，我们来思考几个生活中的问题： • 比较两个同学的身高，可以怎么比？ • 从A地到B地有三条路可走，你会选择哪条路？为什么？ • 要将一根木条固定在墙上，至少需要几个钉子？ 图：生活中的数学——两点确定一条直线 【观察与思考】 1. 你能想到哪些比较两条线段长短的方法？ 2. 为什么我们走路时总喜欢走直路？ 3. 如果要在一根绳子的中间打一个结，你怎么确定中间的位置？ 今天我们就来学习线段的比较与运算，解决这些问题！ 四、合作探究 探究点一：线段长短的比较 图1：线段长短的比较方法 【知识归纳】 比较两条线段长短的方法： 1. 度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，再比较大小。 （从「数」的角度比较，精确但需要工具） 2. 叠合法：将两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一侧， 根据另一个端点的位置来判断长短。 若点B在线段CD上，则 AB < CD； 若点B与点D重合，则 AB = CD； 若点B在线段CD的延长线上，则 AB > CD。 3. 观察法：直接观察，差距明显时适用，不够精确。 探究点二：线段的和差与中点 图2：线段的和、差与中点 【重要概念】 1. 线段的和： 点B在线段AC上，且A、B、C三点共线，则 AC = AB + BC。 2. 线段的差： 若点B在线段AC上，则 AB = AC - BC，BC = AC - AB。 3. 线段的中点： 若点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB， 则点M叫做线段AB的中点。 几何语言：∵ M是AB的中点 ∴ AM = MB = ½AB（或AB = 2AM = 2MB） 4. 线段的三等分点、四等分点： 类似地，把线段分成三等份的点叫三等分点， 分成四等份的点叫四等分点。 探究点三：线段的性质 图3：两点之间，线段最短 【基本事实】 两点的所有连线中，线段最短。 简单说成：两点之间，线段最短。 两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 注意：距离是长度，是一个数，不是线段本身； 线段是几何图形，它的长度才是距离。 生活中的应用： • 走路走直路更近 • 铺设管道沿直线最省材料 • 修路时架隧道缩短路程 五、典型例题 题型一：线段的和差计算 【例1】 如图，点C、D在线段AB上，AC=2cm，CD=1.5cm，DB=3cm。求图中所有线段长度的和。 例1题图 【解析】本题考查线段的和差计算。 图中共有6条线段：AC、AD、AB、CD、CB、DB。 已知：AC = 2cm，CD = 1.5cm，DB = 3cm AD = AC + CD = 2 + 1.5 = 3.5(cm) CB = CD + DB = 1.5 + 3 = 4.5(cm) AB = AC + CD + DB = 2 + 1.5 + 3 = 6.5(cm) 所有线段长度的和 = AC + AD + AB + CD + CB + DB = 2 + 3.5 + 6.5 + 1.5 + 4.5 + 3 = 21(cm) 答案：所有线段长度的和为21cm。 题型二：线段中点的应用 【例2】 已知线段AB=8cm，点M是AB的中点，点N是MB的中点，求AN的长。 例2题图 【解析】本题考查线段中点的性质。 ∵ M是AB的中点，AB = 8cm ∴ AM = MB = ½AB = ½×8 = 4(cm) 又∵ N是MB的中点 ∴ MN = NB = ½MB = ½×4 = 2(cm) ∴ AN = AM + MN = 4 + 2 = 6(cm) 答案：AN的长为6cm。 题型三：最短路径问题 【例3】 如图，河流l两旁有两个村庄A、B，要在河边建一个水泵站P，分别向A、B两村送水。水泵站P应建在什么位置，可使所用水管最短？ 例3题图 【解析】本题考查「两点之间，线段最短」的应用。 根据「两点之间，线段最短」，连接AB， 线段AB与河流l的交点就是水泵站P的位置。 因为两点之间线段最短，所以AP + PB = AB最短。 答案：连接AB，与河流l的交点即为点P。 六、错误诊所 【易错点1】混淆线段与距离的概念 病例：判断「两点之间的线段叫做两点的距离」是否正确。 错解：正确。 诊断：线段是一个几何图形，而距离是线段的长度，是一个数。 正确的说法是：「两点之间线段的长度叫做两点的距离」。 正解：错误，应该是「两点之间线段的长度叫做两点的距离」。 警示：距离是「长度」，是数量，不是图形本身！ 图：点C的两种位置情况 【易错点2】线段计算时漏解 病例：已知A、B、C三点在同一直线上，AB=5，BC=3，求AC的长。 错解：AC = AB + BC = 5 + 3 = 8。 诊断：题目没有说点C的位置，需要分两种情况讨论： ① 点C在线段AB的延长线上：AC = AB + BC = 8； ② 点C在线段AB上：AC = AB - BC = 2。 正解：AC的长为8或2。 警示：没有给出图形时，要考虑点的位置的多种可能，避免漏解！ 【易错点3】线段中点概念理解错误 病例：若 AM = MB，则点M是线段AB的中点。 错解：正确。 诊断：点M是AB的中点需要满足两个条件： ① 点M在线段AB上；② AM = MB。 如果点M不在线段AB上，即使AM = MB，M也不是AB的中点。 例如等腰三角形中，顶点到底边两端的距离相等，但顶点不是底边的中点。 正解：错误，点M不一定在线段AB上。 警示：线段的中点必须在线段上！ 七、达标检测 A组 基础巩固 1. 下列说法正确的是（　　） A. 两点之间的线段叫做两点的距离 B. 直线比射线长 C. 若点C使AC=BC，则C是AB的中点 D. 两点之间，线段最短 2. 点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是（　　） A. AC = BC B. AC + BC = AB C. AB = 2AC D. BC = ½AB 3. 已知线段AB=5cm，延长AB到C，使BC=2cm，则AC的长是（　　） A. 3cm B. 7cm C. 3cm或7cm D. 无法确定 4. 如图，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点。 第4题图 （1）若AC=6cm，BC=4cm，求MN的长； （2）若AB=10cm，求MN的长。 5. 长度为12cm的线段AB的中点为M，点C将线段MB分成MC:CB=1:2，则线段AC的长为____cm。 第5题图 B组 能力提升 6. 已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使BC=3cm，则线段AC等于（　　） A. 11cm B. 5cm C. 11cm或5cm D. 无法确定 7. 已知A、B、C三点在同一直线上，AB=10cm，M是AB的中点，N是BC的中点，若BC=4cm，则MN的长是（　　） A. 7cm B. 3cm C. 7cm或3cm D. 5cm或2cm 8. 平面上有三个点，过每两个点画一条线段，则可以画线段的条数是（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 1条或3条 9. 已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，求MN的长度。 第9题图（提示：分两种情况讨论） C组 拓展创新 10. 【探究题】 （1）如图，点C在线段AB上，M是AC中点，N是BC中点，求证：MN = ½AB。 （2）若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由。 第10题图 11. 在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=4cm，BC=3cm。如果O是线段AC的中点，求线段OB的长度。 第11题图 12. 【实际应用】如图，是天桥的侧面图，现实生活中，总有人横穿马路，却不愿从天桥通过。请用数学知识解释这一现象。 八、中考链接 【中考真题1】 已知线段a=2cm，b=3cm，下列长度的线段中，能与a、b组成三角形的是（　　） A．1cm B．3cm C．5cm D．7cm 【解析】本题考查三角形三边关系，实则考查线段的和差。 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边： 3 - 2 < 第三边 < 3 + 2，即 1 < 第三边 < 5。 只有B选项3cm符合条件。 答案：B 【中考真题2】 如图，C、D是线段AB上的两点，且D是AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【解析】本题考查线段中点及线段的和差计算。 ∵ AB=10cm，BC=4cm ∴ AC = AB - BC = 10 - 4 = 6(cm) 又∵ D是AC的中点 ∴ AD = ½AC = ½×6 = 3(cm) 答案：B 【中考真题3】 「植树时，只要定出两个树坑的位置，就能确定同一行树坑所在的直线」， 这其中体现的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【解析】本题考查直线的基本事实。 定出两个树坑的位置就能确定一行树所在的直线， 体现了「两点确定一条直线」的原理。 答案：B 九、数学文化 【数学史话】「几何」的由来 「几何」这个词最早来自希腊语，原意是「土地测量」。 在远古时代，人们在实践中积累了不少关于平面、直线、 线段长度的知识。 相传在古埃及，尼罗河每年泛滥一次，洪水给两岸的田地 带来了肥沃的淤泥，但也冲毁了田地的界限。 洪水退去后，人们需要重新丈量土地， 这样就积累了许多测量土地的知识，这就是几何学的雏形。 而「两点之间，线段最短」这个基本事实， 早在两千多年前就被古希腊数学家欧几里得记载在 《几何原本》中，作为五条公设之一被广泛应用。 在中国，古代数学家也很早就认识到了这个原理。 战国时期的《墨经》中就有「直，参也」的记载， 意思是说三点共线即为直，体现了对直线和线段的深刻认识。 如今，「两点之间，线段最短」这个简单而深刻的道理， 广泛应用于我们的生活：道路规划、管道铺设、 输电线路设计、体育赛事路线设计…… 数学就是这样，来源于生活，又服务于生活！ 十、小结与反思 【知识梳理】 • 线段比较方法：度量法（量长度）、叠合法（一端对齐看另一端）。 • 线段的和：点B在线段AC上，则AC = AB + BC。 • 线段的差：点B在线段AC上，则AB = AC - BC。 • 线段中点：M是AB中点 ⇔ AM = MB = ½AB（或AB = 2AM = 2MB）。 • 线段的性质：两点之间，线段最短。 • 两点的距离：连接两点间的线段的长度。 • 距离是「数」，线段是「形」，二者不能等同。 【方法技巧】 • 线段计算：利用线段的和、差、倍、分关系，结合中点性质。 • 分类讨论：当点的位置不确定时，要分多种情况讨论，避免漏解。 • 方程思想：通过设未知数，利用线段关系列方程求解。 • 整体思想：求两条线段和时，有时可以整体计算而不必分别求出。 • 最短路径：连接两点，线段与直线的交点即为所求。 【易错警示】 1. 两点的距离是线段的长度，不是线段本身； 2. 线段的中点必须在线段上，不是只要长度相等就是中点； 3. 没有给出图形时，要考虑点的位置的多种可能，防止漏解； 4. 直线和射线不能度量长度，只有线段可以度量。 【学习反思】 □ 我会比较两条线段的长短 □ 我能利用线段中点进行计算 □ 我理解「两点之间，线段最短」并能应用 □ 我能解决简单的线段计算问题 我的困惑：________________________________________________ 我的收获：________________________________________________ 参考答案 五、典型例题 例1：所有线段长度的和为21cm 例2：AN的长为6cm 例3：连接AB，与河流l的交点即为点P 七、达标检测 A组 基础巩固 1. D 2. B（AC+BC=AB只能说明C在AB上，不能说明是中点） 3. B（延长AB到C，说明C在B的外侧，AC=AB+BC=7cm） 4. （1）MN = MC + CN = ½AC + ½BC = 3 + 2 = 5(cm) （2）MN = ½AB = 5cm 5. 8cm（AM=MB=6cm，MC=2cm，AC=AM+MC=8cm） B组 能力提升 6. C（分C在线段AB上和AB延长线上两种情况） 7. C（分C在线段AB上和AB延长线上两种情况） 8. D（三点共线时1条，不共线时3条） 9. 分两种情况： ① C在线段AB上：MN = ½AB = 5cm ② C在线段AB延长线上：MN = ½AB = 5cm 综上，MN = 5cm C组 拓展创新 10. （1）证明：∵ M是AC中点，N是BC中点 ∴ MC = ½AC，NC = ½BC ∴ MN = MC + NC = ½(AC + BC) = ½AB （2）结论仍然成立，MN = ½(AC - BC) = ½AB 11. AC = AB + BC = 7cm，AO = ½AC = 3.5cm， OB = AB - AO = 4 - 3.5 = 0.5cm 12. 两点之间，线段最短。横穿马路的路径是线段，比走天桥的折线更短。 八、中考链接 真题1：B 真题2：B 真题3：B 学科网（北京）股份有限公司 $