7.2.2 复数的乘、除运算题型训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2 复数的乘、除运算 题型一 根据复数乘法运算结果求参数 1．已知，若（为虚数单位），则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】通过复数的运算法则即可求解. 【详解】，又，为实数，则，即． 故选：B． 2．设为虚数单位，若，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘方可得，，进而即得为偶数，即得． 【详解】∵， ∴， 要使，则， 则为偶数． 故选：AC． 3．已知，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据复数模长的性质与计算求解即可. 【详解】，则，解得，因为，所以． 故答案为：4 4．已知复数，满足，且的虚部比的虚部大. (1)求，； (2)设，在复平面内，将复数逆时针旋转得到复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，，根据题意列出方程组，求解即可； （2）找出复数在复平面内对应的点，再将其绕着原点逆时针旋转得到新的点的坐标，即可求出复数.. 【详解】（1）设，，， 则， 则，得或， 因的虚部比的虚部大，则， 则， （2）， 则复数在复平面内对应的点为， 将点绕着原点逆时针旋转，得， 则将复数逆时针旋转得到复数. 题型二 根据除法运算结果求参数 5．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法法则化简求解即可. 【详解】为纯虚数 故 故实数的值为 故选：B 6．已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（    ） A．若复数满足，且，则 B．若复数满足，则 C．若，则 D．若复数，满足，则 【答案】ABD 【分析】根据复数的乘方运算结合复数概念判断A；根据复数的除法运算判断B；举反例判断C；根据复数的共轭复数概念以及复数的乘法运算可判断D. 【详解】对于A选项，令，a，，则， 因为，且，所以，则，故，故A正确； 对于B选项，令，则由，得， 所以，故B正确； 对于C选项，令，，此时，，，故C错误； 对于D选项，令，， 则，所以， ，故D正确. 故选：ABD 7．已知是复数的虚数单位，且，则的值为______． 【答案】 【分析】计算出，从而求出，以及的值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 8．解答下列各题： (1)已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z； (2)已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设复数，根据为实数求得，再由为纯虚数求得. （2）由复数表示的点位于第四象限列出不等式组求解即可. 【详解】（1）（1）设复数， 因为为实数，所以，则复数， 又因为为纯虚数， 则，得， 所以复数． （2）， 由复数表示的点位于第四象限，可得，解得， 当时，复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴m的取值范围为. 题型三 根据除法运算结果求复数特征 9．复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简复数，根据复数定义即可得到虚部. 【详解】∵，∴复数的虚部为. 故选：A． 10．若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A．的虚部为3 B． C．的共轭复数为 D．是第三象限的点 【答案】BC 【分析】根据复数的运算律，求复数的代数形式，再根据虚部的定义判断A，根据复数的模的定义判断B，根据共轭复数的定义判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】∵   ， ∴   复数的虚部为，A错， 复数的模，B对， 复数的共轭复数为，C对， 复数在复平面内对应点，点在第四象限，D错. 故选：BC. 11．已知，，若复数z满足条件，则______. 【答案】 【分析】先根据题意，求出，再结合复数运算法则即可求解. 【详解】由，得， 因，所以. 故答案为：. 12．已知，(其中为虚数单位)． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) ． 【分析】(1)利用复数运算化简，然后根据纯虚数的定义求解即可；(2)利用共轭复数和复数的模的定义化简，得到不等式，然后对不等式求解即可. 【详解】(1)由，，可得， ， 因为为纯虚数， 所以； (2)因为， 所以， 由，可得，， 解得，， 故实数的取值范围为. 题型四 共轭复数的概念及计算 13．已知是虚数单位，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复数，则，代入已知条件根据复数相等求解. 【详解】设，则， 所以， 即， 由复数相等得， 解得，所以， 故选：A． 14．设，为复数，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数或零 D． 【答案】CD 【分析】举例，，判断A；分别计算等式的左边和右边判断B；利用复数的运算法则判断C；设两个复数，计算出乘积模长，再计算出模长乘积即可比较大小判断D. 【详解】举例说明：若，，则，，， 但与都是虚数，不能比较大小，故A错； ，令， 则， ，与不一定相等，B错； 设，则，故， 当时是零，当时，是纯虚数，C正确； 设， 则， =，D正确． 故选：CD 15．若，则__________． 【答案】 【分析】略 【详解】略 16．已知复数． (1)求； (2)求的最小值； (3)若的实部大于，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)1 (3) 【分析】（1）结合题意求出，再利用共轭复数的定义得到，最后得到即可. （2）利用复数的减法得到，再结合复数的模长公式求解模长，最后利用完全平方式的性质求解最小值即可. （3）利用复数的乘法运算求出，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 故. （2）因为， 所以， 由复数的模长公式得， 而，得到，即， 故当时，原式取得最小值． （3）因为， 所以， 而的实部大于，则，解得， 故的取值范围为． 题型五 求共轭复数的复数特征 17．若复数满足，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模和四则运算，即可得到答案； 【详解】 ， 复数的虚部是， 故选：C. 18．已知复数，则下列命题中正确的为（    ） A． B． C．的虚部为 D．在复平面上对应点在第二象限 【答案】AB 【分析】根据复数的定义，几何意义，以及模的公式，判断选项. 【详解】因为， 所以，故A正确；，故B正确；的虚部是-3，故C错误；在复平面上对应的点是，在第四象限，故D错误. 故选：AB 19．设复数，则的共轭复数的虚部是______． 【答案】 【分析】根据题意，计算出复数的代数形式，即可求解. 【详解】因, 所以，因此的共轭复数的虚部是. 故答案为：. 20．已知复数，. (1)求； (2)若满足为纯虚数，是z的共轭复数，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据向量除法规则去求的值； （2）先求得a的值，再去求的值. 【详解】（1） （2）因为是纯虚数 所以，，所以， 所以： 题型六 复数的平方根与立方根 21．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合选项，逐个进行验证即可得到答案. 【详解】显然0是它的一个解，不是它的解； 由于，； 所以也是它的解； 故选：C. 22．已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（    ） A．可能为纯虚数 B．，，的虚部之积为 C． D．，，的实部之和为2 【答案】ABD 【分析】根据复数的基本概念，复数的模等知识容易求解. 【详解】因为，其三个不同的复数根为：，， 当时，此时为纯虚数，故A正确； 因为三个根的虚部分别为1，，，三个虚部乘积为，故B正确； 根据模长定义，，故C不正确； 因为三个根的实部分别为0，1，1，三个实部之和为2，故D正确. 故选：ABD. 23．若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝_____． 【答案】 【分析】因为，设，则，根据根与系数关系及模求解. 【详解】因为，此时方程两根为共轭虚根， 设，则， ， . 故答案为：. 24．（1）在复数集C中解下列方程：； （2）已知，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可， （2）先由已知式子求出复数，从而可求出其共轭复数 【详解】（1）∵， ∴，. （2）， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.2 复数的乘、除运算 题型一 根据复数乘法运算结果求参数 1．已知，若（为虚数单位），则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．设为虚数单位，若，则可以是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为___________． 4．已知复数，满足，且的虚部比的虚部大. (1)求，； (2)设，在复平面内，将复数逆时针旋转得到复数，求复数. 题型二 根据除法运算结果求参数 5．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（    ） A．若复数满足，且，则 B．若复数满足，则 C．若，则 D．若复数，满足，则 7．已知是复数的虚数单位，且，则的值为______． 8．解答下列各题： (1)已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z； (2)已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限． 题型三 根据除法运算结果求复数特征 9．复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 10．若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A．的虚部为3 B． C．的共轭复数为 D．是第三象限的点 11．已知，，若复数z满足条件，则______. 12．已知，(其中为虚数单位)． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围． 题型四 共轭复数的概念及计算 13．已知是虚数单位，满足，则（   ） A． B． C． D． 14．设，为复数，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数或零 D． 15．若，则__________． 16．已知复数． (1)求； (2)求的最小值； (3)若的实部大于，求的取值范围． 题型五 求共轭复数的复数特征 17．若复数满足，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 18．已知复数，则下列命题中正确的为（    ） A． B． C．的虚部为 D．在复平面上对应点在第二象限 19．设复数，则的共轭复数的虚部是______． 20．已知复数，. (1)求； (2)若满足为纯虚数，是z的共轭复数，求. 题型六 复数的平方根与立方根 21．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 22．已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（    ） A．可能为纯虚数 B．，，的虚部之积为 C． D．，，的实部之和为2 23．若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝_____． 24．（1）在复数集C中解下列方程：； （2）已知，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $