专题8.1 基本立体图形与直观图 知识填空与考点专练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以空间几何体分类定义为基础，通过阶梯式训练构建“概念识别-性质应用-直观转化”的逻辑体系，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本立体图形|32题|几何体识别、命题判断、展开图最短路径|从多面体（棱柱/锥/台）到旋转体（圆柱/锥/台/球）的定义分类，形成概念网络| |直观图与斜二测画法|30题|直观图与原图形边长、面积转化|基于斜二测画法规则，实现平面图形与直观图的双向转化，强化空间想象|

专题8.1 基本立体图形与直观图 高中数学导学案 专题8.1 基本立体图形与直观图 一、知识填空 1．空间几何体的分类 多面体 旋转体 定义 由若干个____________(包括三角形)所围成的封闭体． 把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条________旋转而成的几何体． 图形 相关 概念 面：围成多面体的各个多边形； 棱：两个面的公共边； 顶点：棱和棱的交点． 轴：定直线称为旋转轴． 2．多面体 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊几何体 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是______________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的几何体叫作棱柱． 如图可记作：棱柱ABCDEF ­A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相________的面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的公共边； 顶点：侧棱与底面的公共点． 直棱柱：侧面都是________的棱柱； 正棱柱：底面是________多边形的直棱柱； 长方体：底面和侧面都是矩形的棱柱； 正方体：所有棱长都相等的长方体； 平行六面体：两个底面是平行四边形的棱柱． 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个________的三角形，这样的几何体叫作棱锥． 如图可记作：棱锥S ­ ABCD 侧面：具有一个________的三角形的面； 顶点：这个公共点； 侧棱：相邻两个侧面的公共边； 底面：除了侧面外，剩下的那一个多边形面． 正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，将底面放置后，它的顶点又在过正多边形________的铅垂线上． 棱台 过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面________的平面去截棱锥，截面和棱锥底面之间的这部分几何体叫作棱台． 如图可记作：棱台ABCD ­ A′B′C′D′ 上底面：截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边． 正棱台：由正棱锥截得的棱台． 3．旋转体 名称 定义 相关概念 图形表示法 圆柱 将________________(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆柱． 轴：边AB所在直线； 底面：由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面； 侧面：由边CD绕轴旋转而成的曲面； 母线：边CD(圆柱有无数条母线)． 图中圆柱表示为圆柱AB 圆锥 将________________(及其内部)绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥． 轴：直角边AB所在直线； 顶点：点A； 底面：由直角边BC绕轴旋转而成的圆面； 侧面：由斜边AC绕轴旋转而成的曲面； 母线：斜边AC(圆锥有无数条母线)． 图中圆锥表示为圆锥AB 圆台 将________________(及其内部)绕其垂直于底边的腰BC所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆台． 轴：腰BC所在直线； 底面：由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面； 侧面：由腰AD绕轴旋转而成的曲面； 母线：腰AD(圆台有无数条母线)． 图中圆台表示为________ 球 将圆心为O的________(及其内部)绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作球． 球面：半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面； 球的半径：原半圆的半径． 图中的球表示为球O 4．立体图形的直观图 （1）概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，立体几何中通常是在 下得到的平面图形. （2）斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝ （或135°），它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 ，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的_______. [注意]（1）画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变. （2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积是原图形的 倍. 二、考点专练 地 城 考点01 基本立体图形 【经典例题】 1．下列几何体是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 3．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（    ） A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦 4．（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 5．（多选）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（     ） A． B． C． D． 6．如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 【变式训练】 1．（多选）下列几何体中为棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 3．下列说法中正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．矩形旋转一周一定形成一个圆柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 4．下列命题正确的是_________．（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球面； ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 5．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是一长方体的一条棱，若阳马以该长方体的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（    ） A．B．C．D． 7．下列说法中，正确的为（   ） A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 8．（多选）下列关于多面体的说法错误的是（   ） A．是正棱锥是四面体是正四面体} B．是正棱柱是平行六面体是正方体} C．有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体是棱台 D．存在八面体，其八个面都是等边三角形 9．直三棱柱中，，，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 【巩固练习】 1．下列几何体中为棱锥的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（    ） A．不是棱台 B．不是圆台 C．不是棱锥 D．是棱柱 3．六棱台的顶点数和棱的条数分别为（    ） A．6， B．，6 C．， D．， 4．下列关于空间几何体的说法中，正确的个数是（    ） ①正四棱柱都是长方体；②棱台的侧棱长均相等；③一个多面体至少有4个面. A．0 B．1 C．2 D．3 5．正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体（   ） A．由两个圆锥构成 B．由一个圆锥和一个圆台构成 C．由圆台组成 D．由两个棱柱构成 6．一个正方体被一个平面所截，其截面图形不可能为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．邻边不垂直的菱形        7．如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 8．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 9．在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D．8 10．如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【强化培优】 1．如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______． 2．如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 3．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 4．如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 5．如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 6．在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，则_________. 地 城 考点02 空间几何体的直观图与斜二测画法 【经典例题】 1．水平放置的的斜二测直观图如图所示，且，，则=_____． 2．已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（    ） A．3 B．2 C． D．1 3．如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（   ）．   A． B． C．5 D． 4．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 5．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的直观图，其中，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【变式训练】 1．如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D．12 2．如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 4．已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为_________. 5．的直观图如图所示，其中轴，轴，且 ，则的面积为（ ） A． B．4 C． D．8 6．如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，，，，则原图形的面积是_________． 7．如图所示，一个水平放置 的斜二测画法画出的直观图是 ，其中 ，， 为平行四边形，则原 的面积是 ______. 8．如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（    ） A． B． C． D．4 9．如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，则原图形的面积是_________． 10．已知是水平放置的的直观图，，则的面积为（    ） A．12 B． C．6 D． 11．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（   ） A． B． C．4 D．8 【巩固练习】 1．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 2．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 3．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 4．已知某平面图形OABC的直观图是如图所示梯形，且，则原图形OABC的面积为（    ）   A． B． C．6 D．5 5．如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A． B． C． D． 7．用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则BC的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 8．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为______． 9．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形（如图所示），其中底角为，腰长为2，则原平面图形的面积是___________． 10．已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 【强化培优】 1．在四边形中，，则该四边形通过斜二测画法得到的直观图面积的最大值为___________． 2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长为（    ）   A． B． C． D． 3．如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形的直观图不是全等三角形的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题8.1 基本立体图形与直观图 高中数学导学案 专题8.1 基本立体图形与直观图 一、知识填空 1．空间几何体的分类 多面体 旋转体 定义 由若干个____________(包括三角形)所围成的封闭体． 把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条________旋转而成的几何体． 图形 相关 概念 面：围成多面体的各个多边形； 棱：两个面的公共边； 顶点：棱和棱的交点． 轴：定直线称为旋转轴． 【答案】 平面多边形 定直线 2．多面体 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊几何体 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是______________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的几何体叫作棱柱． 如图可记作：棱柱ABCDEF ­A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相________的面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的公共边； 顶点：侧棱与底面的公共点． 直棱柱：侧面都是________的棱柱； 正棱柱：底面是________多边形的直棱柱； 长方体：底面和侧面都是矩形的棱柱； 正方体：所有棱长都相等的长方体； 平行六面体：两个底面是平行四边形的棱柱． 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个________的三角形，这样的几何体叫作棱锥． 如图可记作：棱锥S ­ ABCD 侧面：具有一个________的三角形的面； 顶点：这个公共点； 侧棱：相邻两个侧面的公共边； 底面：除了侧面外，剩下的那一个多边形面． 正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，将底面放置后，它的顶点又在过正多边形________的铅垂线上． 棱台 过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面________的平面去截棱锥，截面和棱锥底面之间的这部分几何体叫作棱台． 如图可记作：棱台ABCD ­ A′B′C′D′ 上底面：截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边． 正棱台：由正棱锥截得的棱台． 【答案】 四边形 平行 平行 矩形 正 公共顶点 公共顶点 中心 平行 3．旋转体 名称 定义 相关概念 图形表示法 圆柱 将________________(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆柱． 轴：边AB所在直线； 底面：由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面； 侧面：由边CD绕轴旋转而成的曲面； 母线：边CD(圆柱有无数条母线)． 图中圆柱表示为圆柱AB 圆锥 将________________(及其内部)绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥． 轴：直角边AB所在直线； 顶点：点A； 底面：由直角边BC绕轴旋转而成的圆面； 侧面：由斜边AC绕轴旋转而成的曲面； 母线：斜边AC(圆锥有无数条母线)． 图中圆锥表示为圆锥AB 圆台 将________________(及其内部)绕其垂直于底边的腰BC所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆台． 轴：腰BC所在直线； 底面：由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面； 侧面：由腰AD绕轴旋转而成的曲面； 母线：腰AD(圆台有无数条母线)． 图中圆台表示为________ 球 将圆心为O的________(及其内部)绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作球． 球面：半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面； 球的半径：原半圆的半径． 图中的球表示为球O 【答案】 矩形 直角三角形 直角梯形 圆台 半圆 4．立体图形的直观图 （1）概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，立体几何中通常是在 下得到的平面图形. （2）斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝ （或135°），它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 ，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的_______. [注意]（1）画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变. （2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积是原图形的 倍. 【答案】平行投影 45° 保持原长度不变 一半 二、考点专练 地 城 考点01 基本立体图形 【经典例题】 1．下列几何体是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期5月数学测评试题 【详解】由图可知，A是圆柱，BD不存在全等的两个底面，不是棱柱，C是棱柱. 2．如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】C 【来源】测试卷10 空间几何体（A）-2021届高考数学一轮复习（文理通用）单元过关测试卷 【详解】依题意得，且， 又平面平面，所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱. 3．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（    ） A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦 【答案】A 【解析】可把展开图折叠起来变成一个四棱台，可知结论，也可从两个面中间是否隔一个面来确定． 【详解】因为“祝”字面和“前”字面中间隔着“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相对，同理“你”字面和“程”字面中间隔着“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相对，故选：A. 4．（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 【答案】ABD 【来源】陕西宝鸡市陈仓区天王高级中学等校2025-2026学年第二学期期中质量检测试题高一数学 【详解】只有以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体才叫圆锥，故A错误；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故B错误； 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故C正确；如下几何体不是棱柱，   故D错误. 5．（多选）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】河北承德市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】因为用一个竖直的平面去截这个几何体，则当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形， 当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，故AD正确. 6．如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 【答案】 【来源】安徽省砀山中学2025-2026学年第二学期高一第二次质量检测数学试题 【详解】将此圆柱沿剪开并展开，设点关于的对称点为，如图所示： 易知蚂蚁需经过的最短路程为,由题意可知此圆柱的底面半径，高，所以，又因为是中点，所以,所以, 在中，. 【变式训练】 1．（多选）下列几何体中为棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AB 【来源】陕西咸阳市乾县薛录高中2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题 【详解】选项A：前后两个面是互相平行的三角形，其余各面（侧面）都是四边形（矩形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是三棱柱，故A正确； 选项B：上下两个面是互相平行的四边形，其余各面（侧面）都是四边形（平行四边形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是四棱柱，故B正确； 选项C：侧棱不互相平行（有的长有的短，且方向不同），不符合棱柱侧棱互相平行的特征，故C错误； 选项D：上下底面平行但不全等（大小不同），侧棱延长后交于一点，符合棱台的定义，是四棱台，不是棱柱，故D错误. 2．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【来源】青海西宁市大通回族土族自治县朔山中学2025~2026学年第二学期第二次阶段检测高一数学 【详解】剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥. 3．下列说法中正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．矩形旋转一周一定形成一个圆柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】A 【来源】广东惠州市泰雅实验高中2025-2025学年高一下学期第二次月考数学试题 【详解】多面体中面数最少为三棱锥，四个面，故A正确； 矩形绕其一条对角线旋转一周，所形成旋转体不是圆柱，故B错误； 正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面的投影落在底面正多边形的中心，故C错误； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故D错误. 4．下列命题正确的是_________．（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球面； ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 【答案】③④⑤ 【来源】假期作业24 基本立体图形及立体图的直观图 【详解】①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台，错误；②它们的底面为圆面错误；③④⑤正确． 5．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是一长方体的一条棱，若阳马以该长方体的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【来源】河北唐山市滦南县2025-2026学年高一第二学期期中质量检测数学试卷 【详解】如图，   若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马； 若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马； 若包含的底面矩形为，则从，，，中任取一个作为顶点，都不符合阳马，故舍去. 综上可知，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是8个. 6．下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【来源】福建省泉州市鲤城北大培文学校2020-2021学年高一下学期期末数学试题 【详解】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确； 对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确； 对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确； 对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确； 故选：B. 7．下列说法中，正确的为（   ） A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 【答案】D 【来源】黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题 【详解】对于选项A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形不一定是棱柱， 可能是两个棱柱拼接而成，故A错误； 对于选项B：由棱锥的定义知，其余各面的三角形必须有一个公共的顶点，故B错误； 对于选项C：若各侧棱延长线不交于一点，则不符合棱台的定义，如图所示，正方体中取AD、BC、、的三等分点，依次连线得多面体,显然不是棱台，故C错误； 对于选项D：如图所示的正六棱锥，满足， O为底面正六边形中心，平面， 但注意到，，则有， 这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，故D正确. 8．（多选）下列关于多面体的说法错误的是（   ） A．是正棱锥是四面体是正四面体} B．是正棱柱是平行六面体是正方体} C．有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体是棱台 D．存在八面体，其八个面都是等边三角形 【答案】ABC 【来源】四川成都市树德中学2025-2026学年高一下学期5月阶段性测试数学试题 【详解】是正棱锥是四面体是正三棱锥}，A选项错误； 是正棱柱是平行六面体是正四棱柱}，B选项错误； 有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体不一定是棱台，需要满足侧棱的延长线交于一点，C选项错误； 存在八面体，正八面体由八个全等正三角形构成，D选项正确； 9．直三棱柱中，，，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题 【详解】如图，将沿旋转至与在一个平面， 当共线时，取得最小值， 在中，，则， 在中，， 在中，， 由余弦定理得，所以， 即的最小值为. 10．如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 【答案】 【详解】由题意知，且，则.将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，可知共线，则.可得，当共线时取等号.又因为，所以在中，由余弦定理得，即，所以的最小值为. 【巩固练习】 1．下列几何体中为棱锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】陕西省安市藤信高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题 【详解】根据棱锥的定义：若一个多面体满足：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这个多面体就是棱锥.A：该几何体是四面体（三棱锥），仅存在1个公共顶点，所有侧面都是共顶点的三角形，底面是多边形，符合棱锥的定义；B：该几何体是两个四棱锥底面拼接而成的正八面体，存在2个公共顶点，不符合棱锥定义；C：该几何体是三棱柱，属于棱柱，侧面都是平行四边形，不存在公共顶点，不是棱锥；D：该几何体是台体结构，侧面不一定存在公共顶点，不符合棱锥定义. 2．如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（    ） A．不是棱台 B．不是圆台 C．不是棱锥 D．是棱柱 【答案】C 【来源】河南省汝州市实验中学2018-2019学年高一上学期期末模拟数学试题 【详解】对A，根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，棱台的上下底面是相似的多边形，且侧棱的延长线交于一点. 选项A中的几何体上下底面不相似，所以不是棱台； 对B，同理，选项B中的几何体上下也不相似，所以不是圆台； 对C，选项C中的几何体符合棱锥定义（有一个多边形底面，其余各面为共顶点的三角形），因此不是棱锥的判断错误； 对D，根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.选项D中的几何体符合棱柱的定义，所以是棱柱. 3．六棱台的顶点数和棱的条数分别为（    ） A．6， B．，6 C．， D．， 【答案】C 【来源】陕西咸阳市乾县薛录高中2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题 【详解】由六棱台的性质可知，上、下底面各有6个顶点，共计个， 上、下底面各有6条边，侧棱有6条，共计条． 4．下列关于空间几何体的说法中，正确的个数是（    ） ①正四棱柱都是长方体；②棱台的侧棱长均相等；③一个多面体至少有4个面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【来源】湖南邵阳市第二中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题 【详解】对于①正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，长方体是底面为矩形的直四棱柱； 因为正方形是特殊的矩形，所以正四棱柱是特殊的长方体，①说法正确； 对于②棱台是由棱锥用平行于底面的平面截取而来，只有正棱台的侧棱才相等，一般的棱台侧棱长不一定相等，所以这个说法错误； 对于③面数最小的多面体是三棱锥（四面体）它有4个面，所以多面体至少有4个面，这个说法正确. 5．正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体（   ） A．由两个圆锥构成 B．由一个圆锥和一个圆台构成 C．由圆台组成 D．由两个棱柱构成 【答案】A 【来源】重庆市礼嘉中学2025-2026学年度高一下学期期中考试数学试题 【详解】如图所示，在正方形中，设对角线与交于点， 根据正方形的性质，可得，且， 即对角线将正方形分为两个全等的等腰直角三角形和， 根据旋转体的定义，将正方形绕旋转一周时： 1. 线段绕旋转形成以为顶点，为底面圆心，为底面半径的圆锥侧面； 2. 线段绕旋转形成以为顶点，为底面圆心，为底面半径的圆锥侧面； 3. 线段和旋转后形成的侧面与上述侧面重合， 综上可得，正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体由两个圆锥构成. 6．一个正方体被一个平面所截，其截面图形不可能为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．邻边不垂直的菱形 【答案】B 【来源】河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期5月数学测评试题 【详解】如图，其截面可能为梯形、邻边不垂直的菱形、等边三角形，不可能为直角三角形．        7．如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【来源】河北保定市部分校2025-2026学年高一年级下学期4月自测数学试题 【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接， 则线段就是绳的最短长度，此时，由， 得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为. 8．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 【答案】 【来源】湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高一年级下学期期中学情质量检测数学试题 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内． 9．在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【来源】江苏省淮阴中学教育集团淮安市新淮高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】如图1，连接，，将平面和平面展开到同一平面，如图2，连接，交于点，则，因为，所以，所以四边形为菱形，，则，所以.重合时，取等号.则的最小值是. 10．如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【来源】新疆乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷 【详解】因为，为正三角形，所以，所以，将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长，因为 , 由余弦定理得到，即， 所以，即点B的最短路线的长为. 【强化培优】 1．如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______． 【答案】 【来源】河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期5月数学测评试题 【详解】因为圆锥的底面半径为，底面圆的周长即扇形的弧长为， 又因为圆锥的母线长为，所以展开图扇形的圆心角为，展开图如图所示． 易知为半圆弧的中点，且，结合题意可知，，则，即其移动路径的最小值为． 2．如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 【答案】 【来源】安徽蚌埠市2025-2026学年高一下学期4月期中质量检测数学（人教A版）A 【详解】将不完整的圆锥侧面展开，设其圆心角为，则，解得，即， 如图在中，， 则，即这只蚂蚁行驶的最短路程是． 3．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【来源】天津市微山路中学中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试卷 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，.故选；C 4．如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【来源】甘肃省定西市漳县第一中学2025-2026学年高一上学期入学质量检测数学试卷 【详解】通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即.故选：A. 5．如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】北京首都师范大学附属中学2025-2026学年第二学期期中练习高一数学试题 【详解】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为， 则其对角线的长为的最小值， 即最小值为. 6．如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】福建厦门外国语学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题 【详解】当，即可得平面，此时是最小距离，然后把平面与平面展开成共面，如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为，此时，即此时取到最小值，因为在正方体中，， 所以，， 所以，即的最小值是 7．在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，则_________ 【答案】 【来源】吉林长春市九台区第一中学、农安县实验中学等校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试卷 【详解】根据题意，把正四棱锥的侧面和，沿展开成一个平面图形， 如图所示，可得， 因为点是上靠近的四等分点，且，可得， 在中，由余弦定理得， 即该蚂蚁爬行的最短路径长度为，所以. 地 城 考点02 空间几何体的直观图与斜二测画法 【经典例题】 1．水平放置的的斜二测直观图如图所示，且，，则=_____． 【答案】 【来源】河北邢台市质检联盟2025-2026学年高一下学期6月测评数学试题 【详解】由直观图可知，在轴上，在轴上，且（或）. 所以原图形中，在轴上，且； 在轴上，且. 所以，即. 所以 . 2．已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（    ）． A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【来源】安徽合肥市肥西县肥西宏图中学2025-2026学年高一下学期第二次段考数学试题 【详解】如图，根据直观图还原平面图形OABC，，，且. 所以． 3．如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（   ）．   A． B． C．5 D． 【答案】C 【来源】广西南宁市东盟中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷 【详解】四边形为直角梯形，且，，，，   4．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 【答案】 【来源】黑龙江齐齐哈尔市八五一零农场中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题 【详解】由斜二测画法的性质可得，原图中，，， 所以，因此周长. 5．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽芜湖皖江中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图，且其中， ， 所以 ，所以中，， ， 所以． 6．如图，是的直观图，其中，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【来源】湖北荆州市沙市五中2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷 【详解】由直观图可知，轴， 轴.，根据斜二测画法的规则， 原图形中轴， 轴.，因为在平面直角坐标系中轴轴，所以，即，所以是直角三角形. 又根据斜二测画法的长度规则，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半， 所以，.因为已知，所以，所以不是等腰三角形. 【变式训练】 1．如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D．12 【答案】D 【来源】广东广州科学城中学2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题 【详解】由题可作出如图所示： 由题意，，，， 则，故的周长为. 2．如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【详解】由题意可得还原后如下：中，， 所以，所以，，，，则. 4．已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为_________. 【答案】4 【来源】河南青桐鸣联考2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题 【详解】过作轴，垂足为，过作轴，交轴于点， 易知为等腰直角三角形，由，得，所以，故的边上的高为. 5．的直观图如图所示，其中轴，轴，且 ，则的面积为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】由题设，将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，， 故的面积为. 6．如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，，，，则原图形的面积是_________． 【答案】 【来源】安徽蚌埠禹王学校等校2025-2026学年下学期高一年级5月月考数学试卷（4卷） 【详解】由题可知，在原图形中，，，且，，如图，所以原图形的面积为． 7．如图所示，一个水平放置 的斜二测画法画出的直观图是 ，其中 ，， 为平行四边形，则原 的面积是 ______. 【答案】 【来源】上海市曹杨第二中学2025-2026学年高一第二学期5月月考数学试卷 【详解】因为为平行四边形，所以，求得的高为. 所以直观图.那么原图. 8．如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【来源】湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题 【详解】在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图， 所以原图形的面积为. 9．如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，则原图形的面积是_________． 【答案】 【来源】安徽蚌埠博雅培文实验学校等校2025-2026学年下学期高一年级5月月考数学试卷（1卷） 【详解】由题可知，在原图形中，且，如图，所以原图形的面积为． 10．已知是水平放置的的直观图，，则的面积为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】由题设，又， 所以. 11．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【来源】河北石家庄二中教育集团2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题 【详解】把直观图转化为原图四边形，如图所示， 由作图可知四边形为平行四边形，，， ,故周长为. 【巩固练习】 1．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】在直观图中，因为，，所以 在直观图中，在轴上且，所以在原图形中，在轴上，且， 在直观图中，在轴上且，，所以在原图形中，在轴上，且，并且在原图形中，，所以. 2．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】A 【来源】山东临沂市蒙阴县实验中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】由题意知，， 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，所以，且， 故，故， 所以四边形的周长为. 3．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【来源】福建省部分优质高中2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试卷 【详解】根据题意，直观图中，，所以，在等腰直角中由勾股定理得，将直观图还原为原图，如图所示， 则，，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为 . 4．已知某平面图形OABC的直观图是如图所示梯形，且，则原图形OABC的面积为（    ）   A． B． C．6 D．5 【答案】D 【来源】安徽宿州市第二中学等校2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高一数学试题 【详解】  由直观图中梯形，可知四边形为直角梯形. 所以梯形面积 5．如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】专题03 空间几何体（4大题型34题）（期末真题汇编，河南专用）高一数学下学期 【详解】由题可得轴且，轴且， 所以四边形为边长为的正方形， 所以四边形的面积为． 6．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【来源】天津市蓟州区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学试卷 【详解】在四边形中，，， 根据是平行四边形可得，四边形是矩形，且， 所以四边形的面积. 7．用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则BC的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【来源】浙江浙东北联盟2025-2026学年高一下学期5月期中练习数学试题 【详解】画出原平面图形，如下： 其中，故，， 设，则，， 平面图形的面积为， 故，解得， 故. 8．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为______． 【答案】10 【来源】专题04 空间几何体的表面积与体积（7个考点）（期末真题汇编，福建专用）高一数学下学期人教A版 【详解】在中，轴，轴， 则为等腰直角三角形，， 又，于是所对应的原图形为，边， 边上的高，所以的面积为. 9．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形（如图所示），其中底角为，腰长为2，则原平面图形的面积是___________． 【答案】 【来源】海南琼海市嘉积中学2025-2026学年高一第二学期随堂练习（二）数学试题 【详解】由题意可知：，， 则，可得， 所以原平面图形的面积是. 10．已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 【答案】 【来源】安徽省宣城市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试题 【详解】由题可知，则， 从而，所以， 还原直观图可得原平面图形为平行四边形，如图所示， 则， 所以， 所以原平面图形的周长为. 故答案为：. 【强化培优】 1．在四边形中，，则该四边形通过斜二测画法得到的直观图面积的最大值为___________． 【答案】 【来源】山西临汾第一中学校、忻州市第一中学校2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题 【详解】记四边形的面积为，其直观图的面积为，则， 因为，则， 可得， 又因为，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以． 2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长为（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【来源】贵州毕节市金沙县2025-2026学年高一下学期期中素养测评数学试题 【详解】如图所示，因为四边形是梯形，所以 所以平面图形梯形中:   由斜二测画法原则可知，，且. 所以 3．如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形的直观图不是全等三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北邯郸市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷 【详解】根据斜二测画法知在选项A，B，D中，正三角形的顶点都在轴上， 点由边上的高线确定，所得直观图是全等的； 对于选项C，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长， 但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $