精品解析：湖南长沙市望城区第六中学2026届高三全真模拟适应性考试数学试题

绝密★启用前 2026届高三全真模拟适应性考试 科目：数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3.本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 这一组数据：的中位数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是不共线的向量，且，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线上的点到抛物线焦点F的距离为5，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 6. 已知函数，，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. -1 D. 7. 已知数列的前n项和为，且，则满足的最大正整数n的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 下列有关排列数、组合数的等式中，，错误的是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式的运算结果是实数的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 若平面平面ABCD，则 B. 四棱锥的体积最大值为 C. 点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 11. 已知是曲线上的动点，点，内切圆的圆心记为，直线与直线交于点，则（ ） A. 关于直线对称 B. 存在点，使得（为坐标原点） C. 为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________. 13. 函数的值域为___________． 14. 某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在2小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为，派出技能题的概率为．若某选手答对素养题的概率为，答对技能题的概率为，各轮答题正确与否相互独立．记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，记，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点. （1）求证:； （2）若二面角的大小为 且三棱锥M-DFG的体积为 设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求B； （2）若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 17. 某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中. （1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； （2）在模型二的前提下： ①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）. ②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望. 18. 对于双曲线，我们称与互为“交换双曲线”；对于椭圆，我们称与互为“交换椭圆”. （1）若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，且过点，求双曲线E的标准方程； （2）在（1）的条件下，设双曲线E的左顶点为A，斜率为2的直线与双曲线E的右支交于B，C两点，且B，C均不在x轴上.试判断的垂心是否在双曲线E上，并说明理由； （3）已知椭圆W的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为.封闭曲线上任一点满足：当时，点D在椭圆W上；当时，点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形关于直线对称且各顶点均在曲线上，求证：矩形的面积小于5.20.（注：） 19. 已知a为实数，记. （1）当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； （2）若函数为偶函数，且对于任意，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围； （3）求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026届高三全真模拟适应性考试 科目：数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3.本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 这一组数据：的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】要找这组数据的中位数，首先需要把数据从小到大排序： ， 这组数据一共有7个，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数， 也就是． 2. 已知是不共线的向量，且，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】C 【解析】 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出集合、后，借助补集定义及交集定义即可得. 【详解】由，即，解得，故， 由，可得，即或，故， 故. 故选：B. 4. 函数在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程. 【详解】因为，则， 当时，则，所以， 所以切点为，切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：D 5. 已知抛物线上的点到抛物线焦点F的距离为5，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合抛物线的准线方程，即可求得答案. 【详解】由抛物线的定义可得，点P到抛物线焦点F的距离等于点P到准线的距离， 抛物线的准线方程为， 所以，解得. 6. 已知函数，，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分析的单调性及最值，根据指对互化，利用函数同构得，结合的单调性及取值情况，得到的关系，从而可得，结合的最小值，求得的最小值. 【详解】函数的定义域为，. 当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值. 又当时，，且， 若，，则， 所以，即. 所以. 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 7. 已知数列的前n项和为，且，则满足的最大正整数n的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】由于，故为等比数列，，公比， 故，． 因为，所以，即， 当时，不等式不成立，故有，此时的差恒大于1， 只需，即得，，解得． 因为，所以n的最大值为12． 8. 下列有关排列数、组合数的等式中，，错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用组合数性质计算判断C；利用组合数性质及二项式定理计算判断D． 【详解】选项A：由组合数性质知，，故A正确； 选项B：当时，，故B错误； 选项C： ，故C正确； 选项D：因为， 所以 ，故D正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式的运算结果是实数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数加减乘除运算法则逐一计算即可求解. 【详解】A项中，，故A正确； B项中，，故B错误； C项中，，故C正确； D项中，，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 若平面平面ABCD，则 B. 四棱锥的体积最大值为 C. 点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：因为平面平面，平面平面， 因为是中点，，所以， 所以，所以，平面， 所以平面，平面，所以，故A正确； 对于B：由已知梯形的面积为， ，直角斜边上的高为， 当平面平面时，四棱锥的体积取最大值，故B错误； 对于C：如图1，取的中点，则，平行且相等，四边形是平行四边形， 所以点的轨迹与点的轨迹形状完全相同，过点作的垂线，垂足为，， 点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆弧，从而的中点的轨迹长度为，故C错误； 对于D：如图2，的外接圆的半径为，是的中点，外接圆的半径为2， 是圆与圆的公共弦，，设三棱锥外接球心为O，半径为， 则， 因为，所以，所以的最小值为2， 所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故D正确． 11. 已知是曲线上的动点，点，内切圆的圆心记为，直线与直线交于点，则（ ） A. 关于直线对称 B. 存在点，使得（为坐标原点） C. 为定值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对曲线方程中互换，得出方程不变，从而得出，判断选项A；对曲线方程进行变形，利用基本不等式结合两点间距离公式计算判断选项B；根据两点间距离公式计算得出，从而判断选项C；利用选项C结论，结合内心的性质求出比例关系，判断选项D． 【详解】对于A，由方程中互换后方程不变可得曲线关于直线对称，故A正确； 对于B，设，由，得， 当且仅当时，等号成立， ，从而，故B错误； 对于C， ，故4，是定值，故C正确； 由选项C可知，是以为焦点，4为长轴长，为焦距的椭圆， 是的内心，在上， 由三角形内角平分线定理得，变形得， 是的角平分线，则，令， 在中，，即，① 在中，，即，② 三点共线，则， 则， 将①除以②，可得， ，由等比性质，可得， 即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆与抛物线的定义及几何性质，结合等腰直角三角形的边角关系推导椭圆参数的数量关系，进而求解离心率. 【详解】如图，因为是，的公共焦点，是的另一个焦点，所以的准线经过点. 根据对称性，不妨令在第一象限，因为是等腰直角三角形，所以. 过作准线的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，则. 又，所以. 设，则，则的离心率为. 13. 函数的值域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将函数平方，转化为关于的函数，再利用换元法，转化为关于的函数，利用导数求出的值域，进而得出函数的值域． 【详解】因为，所以，所以定义域为， 由题可知，， 令，不妨设， 则， 令，解得或， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 又， 所以，即， 所以． 14. 某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在2小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为，派出技能题的概率为．若某选手答对素养题的概率为，答对技能题的概率为，各轮答题正确与否相互独立．记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，记，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设事件 “一轮答题中系统派出素养题”，事件“该选手在一轮答题中答对”，根据全概率公式求出，设事件“第n轮答题结束时挑战未终止”，则当时，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，求解即可. 【详解】设事件 “一轮答题中系统派出素养题”，事件“该选手在一轮答题中答对”， 依题意，， 因此， 所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为． 设事件“该选手在第n轮答对”，由于各轮答题正确与否相互独立，所以， 设事件“第n轮答题结束时挑战未终止”，当时，第n轮答题结束时挑战未终止的情况有两种： ①第n轮答对，且第轮结束时挑战未终止； ②第n轮答错，且第轮答对，且第轮结束时挑战未终止， 因此第n轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为， 则，而各轮答题正确与否相互独立， 因此， 即当时，，当时，， ，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点. （1）求证:； （2）若二面角的大小为 且三棱锥M-DFG的体积为 设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 在原正方形中，分别是，的中点， ，，， 平面，平面， 平面， 平面， . 【小问2详解】 ，， 就是二面角的平面角，即， 如图，以为原点，为轴，为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， ， 原正方形边长为，，分别是，的中点， ，，，， ，， ，即， ，， ，即， 是的中点， ，即， 设，即，三棱锥的体积为， ，, ， 平面，， ， ， ，解得，即， 平面过直线且与直线平行， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，可得，，即， 平面在的平面上， 平面的法向量， 平面与平面所成角，. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求B； （2）若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，则角B可求； （2）结合直角三角形性质和正弦定理求出，列方程求得，再由两角和的正弦公式得，代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以 ， 由正弦定理可得， 所以，所以， 又，则，所以， 则，，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，，在中，由正弦定理得，， 所以. 又，，，所以， 故，即. 又，所以，所以. 又， 所以的面积为. 17. 某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中. （1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； （2）在模型二的前提下： ①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）. ②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望. 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分为取到“黑红”和“红红”两种情况，分别对两种模型第二次取到的球是红球的概率进行计算即可； （2）①先算出第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为， 则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和； ②利用数学期望的定义和①中的概率公式可得到的表达式，再利用错位相减法计算得出期望值. 【详解】（1）记在模型一下，第二次取到红球的概率为，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况， 则； 记在模型二下，取到红球的概率为，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况， 则； （2）①设第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为， 则， 则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和，即 ， 利用等比数列求和公式即可得 ； ②由题可知，的取值依次为， 当时，， 由数学期望的定义和①中的概率公式可知， ， 设， 由错位相减法可得， 所以. 18. 对于双曲线，我们称与互为“交换双曲线”；对于椭圆，我们称与互为“交换椭圆”. （1）若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，且过点，求双曲线E的标准方程； （2）在（1）的条件下，设双曲线E的左顶点为A，斜率为2的直线与双曲线E的右支交于B，C两点，且B，C均不在x轴上.试判断的垂心是否在双曲线E上，并说明理由； （3）已知椭圆W的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为.封闭曲线上任一点满足：当时，点D在椭圆W上；当时，点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形关于直线对称且各顶点均在曲线上，求证：矩形的面积小于5.20.（注：） 【答案】（1） （2）的垂心在双曲线E上，理由如下： ，设直线的方程为：，设，， 联立可得：， 直线与双曲线E的右支交于B，C两点， 所以，解得：， 又因为， ， 设垂心为，所以直线的方程为：， 又因为，所以直线的方程为：， 联立可得：， 则 因为，所以， ， 因为，所以，所以，又因为在， 所以，所以， 又因为：.故的垂心在双曲线E上. （3）证明如下： 由长轴为，可得，由离心率，得， 所以， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则方程为， 则椭圆的“交换椭圆”方程为， 所以曲线的方程为， 因为矩形关于对称，设在椭圆W上， 则在“交换椭圆”上，则， 又直线平行直线，则直线PN的斜率为1， 所以直线PN的方程为，即， 联立，得， 所以，得， 所以， 所以面积， 因为点P在椭圆W上，所以， 令， 代入可得 ， 取，此时等号成立， 且当时，， ， ，满足， 故矩形的面积小于5.20. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，设出双曲线的方程，代入点坐标，求出，即可得答案. （2）分别表示出直线、直线的方程，两式联立求出，再代入双曲线的方程验证即可证明. （3）求出椭圆的方程与其“交换椭圆”的方程，设，根据矩形的性质，可得的表达式，根据直线平行直线，求出直线PN的方程，与椭圆W联立，根据韦达定理，可得N点坐标，根据弦长公式，可得表达式，进而可得面积S的表达式，根据椭圆W的参数方程，结合三角函数的性质，即可得证. 【小问1详解】 由“交换双曲线”的定义可知，即， 所以设双曲线的方程为，又因为过点， 所以，双曲线E的标准方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知a为实数，记. （1）当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； （2）若函数为偶函数，且对于任意，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围； （3）求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当，利用函数奇偶性可知，代入求得时的解析式，从而得到分段函数解析式； （2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式得，利用分离常数法，求导求出的单调性求得的取值范围； （3）先证明充分性，通过求导得出，，由于的图像是连续曲线，由零点存在性定理可知函数有且只有一个零点，再证明函数在处取到最小值，最后再证明必要性． 【小问1详解】 当时，， 所以当时，. 所以. 【小问2详解】 当函数为偶函数时，， 则，即，则， 所以，显然函数在上为增函数，且， 故时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 结合函数为偶函数，所以等价于， 则或，即或对恒成立. 设，，则，所以在上单调递增， 则，， 可知或，解得或， 则实数t的取值范围为. 【小问3详解】 充分性：当时，在上为增函数， 且， ，设在时恒大于零， 故在为增函数，故，故. 又由于的图象是连续曲线， 由零点存在性定理，可知存在，使得，由在上为增函数， 可知函数有且只有一个零点， 且当时，为减函数， 当时，为增函数， 则函数在处取到最小值. 必要性：当存在正数，使得函数在处取到最小值，必有， 当时，在上为增函数，不存在最小值，故， 所以在上为增函数， 由于，所以，即，故. 因此，“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $