内蒙古2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（三）

**基本信息** 以导数应用为核心，融合排列组合、解三角形及立体几何的期末综合限时训练，注重数学思维的逻辑推理与空间观念的几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数应用|单选1,4/多选5,6/填空8|切线方程、极值判断、单调性分析|导数几何意义与函数性质的推导关系| |排列组合|单选2|受限条件下的课程排列|分步计数原理的直接应用| |解三角形|解答9|边角关系与面积计算|正弦定理与面积公式的综合构建| |立体几何|解答10|面面垂直证明、线面角求解|线面垂直到面面垂直的判定逻辑|

2025-2026学年第二学期内蒙古高二数学限时小卷（三） （分值72分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.曲线在点处的切线方程为(    ) A. B. C. D. 2.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3.是定义在上的非负可导函数，且满足对任意正数、，若，则必有(    ) A. B. C. D. 4.曲线上的点到直线的最短距离是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.对于函数，下列说法正确的有(    ) A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 6.函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是(    ) A. 在上函数为增函数 B. 在上函数为增函数 C. 在上函数有极大值 D. 是函数在区间上的极小值点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，一条电路从处到处接通时，可构成线路的条数为        ． 8.函数在点处的切线与平行，则        ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． 求； 若，且的面积为，求的周长． 10.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点． 证明：平面平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期内蒙古高二数学限时小卷（三） （分值72分，限时40分钟） 全 解 全 析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.曲线在点处的切线方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据题意可得， 所以， 故所求的切线方程为，即． 故选：． 由导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求解切线方程即可． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题． 2.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查分步乘法计数原理的运用，要优先处理特殊的元素，即有特殊要求或受到限制的元素． 分两步进行，先排体育课，再排其他三科，分别计算其情况数目，进而由分步乘法公式计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，先排体育课，有种排法， 再排其他三科，有种排法； 则不同排法共有种； 故选C． 3.是定义在上的非负可导函数，且满足对任意正数、，若，则必有(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设，， 则， 在区间单调递减． ，， 即． 故选：． 构造函数，，通过求导利用已知条件即可得出． 恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键． 4.曲线上的点到直线的最短距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为直线的斜率为， 所以令，解得， 把代入曲线方程得： ， 即曲线过的切线斜率为， 则到直线的距离， 即曲线上的点到直线的最短距离是． 故选：． 根据题意，求出直线的斜率，再利用导数求出曲线与直线平行的切线的切点，求出切点到直线的距离即可． 本题考查了导数的几何意义和点到直线的距离公式的应用问题，是基础题． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.对于函数，下列说法正确的有(    ) A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】ACD  【解析】解：的定义域在， ， 令得， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 对于：由上可知在处取得极大值，，故A正确； 对于：由上知的单调性，时，；时，， 又， 所以有一个零点，故B错误； 对于：因为， 所以， 因为在上，，单调递减， 所以， 所以，故C正确； 对于：若在上恒成立， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， ， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以， 所以，故D正确， 故选：． 对于：求导得，分析的单调性，进而可得的极值，即可判断是否正确； 对于：由上知的单调性，时，；时，，又，即可判断是否正确； 对于：根据题意可得，又在上单调递减，则，即可判断是否正确； 对于：若在上恒成立，则在上恒成立，令，，只需，即可判是否正确． 本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题． 6.函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是(    ) A. 在上函数为增函数 B. 在上函数为增函数 C. 在上函数有极大值 D. 是函数在区间上的极小值点 【答案】AC  【解析】【分析】 本题主要考查导数与单调性及极值的关系，体现了数形结合思想的应用，属于基础题． 结合导数与单调性及极值的关系分析各选项即可判断． 【解答】 解：由图象可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，一条电路从处到处接通时，可构成线路的条数为        ． 【答案】  【解析】解：从处到处的电路接通可分两步： 第一步，前一个并联电路接通有条线路； 第二步，后一个并联电路接通有条线路， 故可构成线路的条数为条． 故答案为：． 利用分步乘法计数原理可求解． 本题主要考查分步乘法计数原理的应用，属于基础题． 8.函数在点处的切线与平行，则        ． 【答案】  【解析】解：因为，所以， 又在点处的切线与平行， 所以． 故答案为：． 根号导数的几何意义，即可求解． 本题考查导数的几何意义的应用，属基础题． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． 求； 若，且的面积为，求的周长． 【解析】解因为， 由正弦定理得， 因为，所以， 可得， 又，所以； 由知，又因为， 由余弦定理，得， 即， 由题意知，即， 联立可得， 则的周长为． 利用正弦定理将边化角，即可得解； 利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得，即可求得周长． 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题． 10.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点． 证明：平面平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】证明：底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 可知平面平面   【解析】证明：底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 可知平面平面； 解：由可知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为，， 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得，， 可得， 可得，，， 可得，， 因此直线与平面所成角的正弦值为，． 根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果． 本题考查线面垂直的判定定理的应用及性质定理的应用，面面垂直的判定定理的应用，线面所成的角的正弦值的求法，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $