精品解析：内蒙古部分学校2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试卷

高二数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 若复数是方程的根，其中，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 5. 圆上的点到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，这是一个正方体的平面展开图，将其还原成正方体后，下列直线中与直线平行的是（ ） A. B. C. D. 7. 在菱形中，设向量，则向量（ ） A. B. C. D. 8. 方程的正整数解共有（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 各项系数之和为 C. 第3项的二项式系数最大 D. 常数项为 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递增 C. 在上的值域为 D. 将函数图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标不变，可以得到的图象 11. 已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（ ） A. B. 的长轴长为4 C. 的最小值为 D. 的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据8，6，2，7，8，9，10的极差为______． 13. 在锐角中，角的对边分别是．若，则__________． 14. 已知一个圆锥的母线长为6，则当该圆锥的体积取最大值时，该圆锥的侧面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，且． （1）求的通项公式； （2）求的最小值； （3）求数列的前项和． 16. 小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． （1）求； （2）求； （3）若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 17. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点． （1）证明：四点共面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上存在极小值． （3）判断在上是否存在零点，并说明理由． 19. 已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． （1）求C的方程． （2）若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． （3）设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合集合中元素的性质利用集合交集运算直接求解即可. 【详解】因为集合表示奇数组成的集合， 又，所以. 故选：B 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程得，代入双曲线离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线，所以， 所以离心率为． 故选：B 3. 下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，与的解析式不同，不是同一函数； 对于B，的定义域为， 的定义域为或，二者定义域不相同，不是同一函数； 对于C，的定义域为，而的定义域为，不是同一函数； 对于D，，二者定义域均为，解析式也相同，是同一函数． 故选：D 4. 若复数是方程的根，其中，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将代入方程化简得，利用复数相等列式求得，即可得解. 【详解】将代入方程，得，得， 所以，即，则． 故选：D 5. 圆上的点到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心及半径，再利用点到直线距离公式，结合圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为． 设圆心到直线的距离为，则， 所以圆上的点到直线的距离的最小值是． 故选：A 6. 如图，这是一个正方体的平面展开图，将其还原成正方体后，下列直线中与直线平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将给定的正方体的平面展开图还原成正方体，再结合正方体的结构特征判断. 【详解】将正方体平面展开图还原成正方体，如图： 直线与直线平行，直线与直线都成异面直线. 故选：A 7. 在菱形中，设向量，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用向量线性运算得，利用列式求解即可. 【详解】设，则． 在菱形中，，则， 所以，所以，所以． 故选：A 8. 方程的正整数解共有（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 【答案】C 【解析】 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题： 将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法? 由隔板法可得，方程的正整数解共有组． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 各项系数之和为 C. 第3项的二项式系数最大 D. 常数项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式系数和的性质列式求得，判断A，令得各项系数之和判断B，根据二项式系数的性质判断C，求出展开式的通项，令得，代入即可求常数项判断D. 【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得，解得，A正确． 令，则各项系数之和为，B正确． 因为，所以第4项的二项式系数最大，C错误． 的展开式的通式为， 令得，故所求的常数项为，D正确． 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递增 C. 在上的值域为 D. 将函数图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标不变，可以得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，进而逐项判断即可. 【详解】 ， 对于A，，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，当时，，由在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，所以， 所以，所以在上的值域为，故C错误； 对于D，将函数图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4倍可得函数 的图象，即的图象，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（ ） A. B. 的长轴长为4 C. 的最小值为 D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算求得，然后由求得判断A，将点B的坐标代入椭圆方程，结合列式求解判断B，根据焦半径的性质判断C，结合椭圆的定义利用三点共线最短求解判断D. 【详解】设，因为，所以， 因为，所以，解得，A正确． 因为点在上，所以解得则的长轴长为，B正确． 的最小值为，C错误． 因为， 当且仅当共线时等号成立，所以的最大值为，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据8，6，2，7，8，9，10的极差为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据极差的概念直接求解即可. 【详解】样本数据8，6，2，7，8，9，10的最大值与最小值分别为10，2，则所求极差为． 故答案为：8 13. 在锐角中，角的对边分别是．若，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的关系求出，再利用余弦定理列方程可求得结果. 【详解】因为为锐角三角形，，所以， 所以由余弦定理得， 化简整理得解得或（舍去）． 故答案为：8 14. 已知一个圆锥的母线长为6，则当该圆锥的体积取最大值时，该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设该圆锥的底面半径为，高为，则，进而圆锥的体积，利用导数研究其最大值时的，代入圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】设该圆锥的底面半径为，高为，则，则， 所以该圆锥的体积，则， 当时，，当时，，所以， 此时，该圆锥的侧面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，且． （1）求的通项公式； （2）求的最小值； （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求解即可. （2）利用基本不等式求解最小值即可，注意验证等号能否成立. （3）结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和方法求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，得． 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 【小问3详解】 因为， 所以． 16. 小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． （1）求； （2）求； （3）若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2） （3） 3 4 5 【解析】 【分析】（1）根据独立事件乘法概率公式求解即可. （2）结合组合数及对立事件概率公式，根据独立事件乘法概率公式求解即可. （3）求出及随机变量的取值，利用条件概率分别求出对应的概率，进而求解分布列，代入数学期望公式求解即可. 【小问1详解】 表示连续取球3次且3次都取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． 【小问2详解】 表示连续取球4次，且前3次中有2次取到红球，第4次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． 【小问3详解】 表示连续取球5次，且前4次中有2次取到红球，第5次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． 由题意随机变量可取， 根据条件概率可得， ， 则的分布列为 3 4 5 所以． 17. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点． （1）证明：四点共面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接．因为分别为的中点， 所以易得， 所以，所以四点共面． （2）证明：因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，平面， 则，又因为，平面， 所以平面．因为平面，所以． 连接，因为分别为的中点，所以， 因为，所以易得四边形为正方形，则，所以， 因为，平面，所以平面． （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线性质得，利用基本事实得，利用平面性质即可证明. （2）利用直棱柱性质及线面垂直的判定定理得平面，则有，再由正方形性质得，进而利用线面垂直的判定定理证明即可. （3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，． 由（2）易得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上存在极小值． （3）判断在上是否存在零点，并说明理由． 【答案】（1） （2）， 因为的图象是一条连续不断的曲线， 所以在上必存在一个异号零点， 即存在正数，使得，且当时，， 当时，， 所以在处取得极小值，即在上存在极小值． （3）在上无零点． 理由如下： 当时，，可得． 令函数，则， 当时，单调递增． 又，所以， 从而，所以在上无零点． 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程求解即可. （2）根据零点存在定理得在上必存在一个异号零点，然后根据极小值的概念判断即可. （3）根据对数函数和正弦函数的性质得，然后令函数，利用导数法求得，从而，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以． 又因为，所以所求切线方程为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． （1）求C的方程． （2）若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． （3）设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）将代入，结合，则，得到C的方程为； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，求出的面积，进而利用求出半径； （3）由角平分线得到，设，，结合，得到方程，联立与得两根之和，两根之积，代入上式，求出，从而求出直线AB过定点． 【小问1详解】 因为抛物线C：经过点，所以， 解得或， 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为． 【小问2详解】 设，． 由得，，则 ， ． 因为点到直线AB的距离， 所以的面积， 所以． 【小问3详解】 是，定点坐标为， 因为EF平分，所以， 设，， 则， 因为，，所以， 整理得， 则， 即．① 将代入，得， 则 代入①可得， 因为，所以，即， 所以直线方程为， 所以直线AB过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $