内蒙古2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（一）

**基本信息** 聚焦函数导数与概率统计综合应用，以限时训练整合知识逻辑，强化数学思维与数据观念 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数导数|6题|含图像分析、单调性判定、极值点应用、切线方程及不等式恒成立|从函数性质（单调性、极值）到图像特征，再到导数几何意义与不等式应用，形成问题解决链条| |概率统计|3题|分布列、期望方差计算及独立性检验|从随机变量分布到数字特征，结合实际问题（啤酒喜好调查）体现数据分析与模型应用| |二项式定理|1题|二项式系数比值计算|立足展开式结构，考查二项式系数性质的直接应用|

2025-2026学年第二学期内蒙古高二数学限时小卷（一） （分值72分 限时40分钟） 全 解 全 析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查导函数图象与原函数图象的关系，函数极值极值点的概念，属于基础题． 结合函数的图象，利用函数的导数的几何意义，判断选项的正误即可． 【解答】 解：由图象，可知的横坐标在函数的减区间上，的横坐标是函数的极值点， 点的横坐标在函数的增区间上， 则 故选：． 2.函数定义在区间，则“在上恒成立”是“在区间单调递增”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要也不充分条件 【答案】A  【解析】解：若在区间单调递增且可导，则在上等号在某些点处取得，不能得到， 比如在单调递增，但，以及还有不可导的情况，必要性不满足， 若在上恒成立，则在区间单调递增，充分性满足； 因此“在上恒成立”是“在区间单调递增”的充分不必要条件． 故选：． 根据函数的单调性以及充分必要条件的性质即可求解结论． 本题主要考查函数的单调性以及充分必要条件的判断，属于基础题． 3.设随机变量的分布列为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为随机变量的分布列为， 所以，解得． 故选：． 由随机变量的分布列的性质得到答案． 本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，考查运算求解能力，属于基础题． 4.已知函数，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：函数的定义域为， 且，可知为奇函数， 又， 当且仅当时等号成立， 可知函数在定义域内单调递增， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：． 分析可知函数为奇函数，且在定义域内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可． 本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知随机变量，，且，的分布列如下： 若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】解：对于，由分布列的性质可知，， 所以， 所以， 解得，故A正确； 对于，，故B正确； 对于，，故C正确； 对于，因为，所以，故D错误． 故选：． 利用分布列的性质，结合期望公式和方差公式求解． 本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于基础题． 6.已知是函数的极值点，则(    ) A. 有个零点 B. 当时， C. 曲线关于点对称 D. 过点与曲线相切的直线有条 【答案】ACD  【解析】解：由，得， 则， 解得，则， 当时，， 当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，极大值为， 满足是函数的极值点， 又，由零点存在定理得有个零点，故A正确； 由，得，，所以， 又在上单调递增，所以，故B错误； 因为 ， 所以曲线关于点对称，故C正确； 设过点的直线与曲线相切于点， 所以切线方程， 将点代入切线方程，得， 整理得，即，解得，或， 过点的直线与曲线相切于点或， 因此过点与曲线相切的直线有条，故D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若的展开式中第项与第项的二项式系数之比为：，则      ． 【答案】  【解析】解：若的展开式中第项与第项的二项式系数之比为：， 即，则． 故答案为：． 根据二项式定理相关知识可解． 本题考查二项式定理相关知识，属于中档题． 8.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是        ． 【答案】  【解析】解：由题意函数有两个极值点， 对函数求导可得，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下， 由图可知，，即实数的取值范围是． 故答案为：． 求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案． 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，是中档题． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了名品尝者，得到以下不完善的列联表． 完成以下列联表，能否有的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 女性 合计 根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取人，再从这人中随机选出人进行深入交流，记这人中喜欢喝啤酒的人数为，求随机变量的分布列、期望． 附：，． 【答案】列联表见解析；有的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，理由见解析；   分布列见解析；期望为．  【解析】补全列联表如下所示： 喜欢 不喜欢 合计 男性 女性 合计 将表格数据代入公式可得， 根据小概率值可以认定有的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关； 根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为：：， 所以名品尝者中，有人喜欢喝啤酒，有人不喜欢喝啤酒， 易知随机变量的所有可能取值为：，，， ，，， 随机变量的分布列为： ． 完善列联表，计算出卡方，与比较后得到结论； 计算出名品尝者中，有人喜欢喝啤酒，有人不喜欢喝啤酒，从而得到的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出数学期望． 本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望以及独立性检验，属于中档题． 10.本小题分 已知函数的图象在点处的切线方程为， Ⅰ用表示，； Ⅱ若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】解：Ⅰ由，得，则有 ，得； Ⅱ由Ⅰ知，， 令，， 则，． 当时，， 若，则，是减函数， ，故在上不成立； 当时，． 若，则，是增函数， ． 即，故当时，． 综上所述，所求得取值范围是．  【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，由题意可得，得； Ⅱ由Ⅰ知，，构造函数，，可得，求其导函数，然后分，两种情况求解得取值范围． 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，考查分类讨论的数学思想方法，是压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期内蒙古高二数学限时小卷（一） （分值72分 限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 2.函数定义在区间，则“在上恒成立”是“在区间单调递增”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要也不充分条件 3.设随机变量的分布列为，则(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知随机变量，，且，的分布列如下： 若，则(    ) A. B. C. D. 6.已知是函数的极值点，则(    ) A. 有个零点 B. 当时， C. 曲线关于点对称 D. 过点与曲线相切的直线有条 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若的展开式中第项与第项的二项式系数之比为：，则      ． 8.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是        ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了名品尝者，得到以下不完善的列联表． 完成以下列联表，能否有的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 女性 合计 根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取人，再从这人中随机选出人进行深入交流，记这人中喜欢喝啤酒的人数为，求随机变量的分布列、期望． 附：，． 10.本小题分 已知函数的图象在点处的切线方程为， Ⅰ用表示，； Ⅱ若在上恒成立，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $