内蒙古2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（四）

**基本信息** 聚焦高二数学核心模块，以限时训练整合概率统计、导数应用、二项式定理及排列组合，强化知识逻辑与运算推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率统计|2题|随机变量分布列、事件概率计算|随机变量概念→概率公式应用| |导数应用|5题|切线方程、单调性讨论、不等式证明|导数概念→几何意义→单调性判定→不等式恒成立| |二项式定理|2题|展开式系数计算、性质判断|二项式定理→系数计算→二项式系数性质| |排列组合|1题|不同/相同元素分配|排列组合原理→分类讨论实际问题|

2025-2026学年第二学期内蒙古高二数学限时小卷（四） （分值76分，限时40分钟） 全 解 全 析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知随机变量的分布列为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题设， 所以． 故选：． 利用分布列求，再应用期望的性质求即可． 本题考查了期望的性质，属于基础题． 2.曲线在点处的切线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为，所以， 得到在处切线的斜率为， 所以所求切线方程为：，即为． 故选：． 利用复数的几何意义即可求得结果． 本题考查导数的几何意义的应用，属基础题． 3.的展开式中的系数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 由二项的展开式的通项为，进而可求得展开式的的系数，得到答案． 本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于较易题． 【解答】 解：由题意，二项式的展开式的通项为， 所以的展开式中， 的系数为：． 故选：． 4.已知函数的定义域为，，对任意，恒成立，则的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：令， 因为对任意，恒成立， 所以，故在上单调递增， 又，所以当时，，即， 所以的解集为． 故选：． 结合不等式特点考虑构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可求解不等式． 本题主要考查了单调性在不等式求解中的应用，属于基础题． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数，则(    ) A. 为奇函数 B. 是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 【答案】AC  【解析】解：选项A，， 显然是奇函数，故A正确； 选项B，， 易得在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，故B错误； 选项C，由知，，， 故曲线在点处的切线方程为， 即，故C正确； 选项D，由上知在处取得极大值， 由，得或， 所以若在上存在最大值， 则满足，故D错误． 故选：． 求得，根据奇函数定义判定；对函数求导，根据导数判定其单调性，得出极值可判定；由导数的几何意义求得切线方程可判定；由函数的极大值判定的范围，从而判定． 本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，属中档题． 6.在的展开式中，下列说法正确的是(    ) A. 二项式系数最大的项为 B. 常数项为 C. 第项与第项的系数相等 D. 含的项的系数为 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于较易题． 利用二项式系数的性质及展开式的通项公式，依次判断选项即可得到结果． 【解答】 解：因为，所以二项式系数最大的项为，，A正确； 因为展开式的通项为， 令，得常数项为，B错误； 第项为，第项为， 所以第项与第项的系数相等，C正确： 含的项为，其系数为，D错误． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设，为两个随机事件，已知，，，则        ． 【答案】  【解析】解：因为，， 所以， 因为 ， 所以． 故答案为：． 条件概率公式计算即可得． 本题主要考查了条件概率公式的应用，属于基础题． 8.若不等式，对任意实数恒成立，则实数的取值范围为        ． 【答案】  【解析】解：当时，函数是减函数，此时不等式不能恒成立， 则必有， 当时，不等式恒成立， 当时，，此时不等式恒成立， 当时，不等式等价， 即， 设，， 则， 由得，即， 由得，即， 即当时，函数取得极小值同时也是最小值， 则， 故实数的取值范围是， 故答案为： 结合指数函数的性质，利用分类参数法进行求解，构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值即可． 本题主要考查函数最大的求解，利用参数分离法，构造函数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．注意要对进行分类讨论． 四、解答题：本题共2小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 回答下列问题 把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ 有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？ 某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【答案】      【解析】解：把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有，，，和，，，两类， 分配方式为，，，时，共有种分法； 分配方式为，，，时，共有种分法， 由分类加法计数原理可得共有种分法； 个相同的口罩，每位同学先拿一个， 剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成份， 每一种分法所得份给到个人即可， 所以不同的发放方法有种； 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 由分类加法计数原理可得共有种选法． 根据题意利用分组分配法，把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有，，，和，，，两类即可姐； 利用隔板法可解； 利用直接分类法可解． 本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 10.本小题分 已知函数． 讨论函数的单调性； 证明：当时，； 若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】若，函数在定义域内单调递增；若，函数在内单调递增，在内单调递减  当时，可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则， 令，，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则， 所以当时，   【解析】解：根据题意可知：的定义域为，且， 若，那么，可知函数在定义域内单调递增； 若，令，解得；令，解得， 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 综上所述：若，函数在定义域内单调递增； 若，函数在内单调递减，在内单调递增． 证明：当时，可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则， 令，，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则， 所以当时，． 令，， 原题意等价于不等式对恒成立， 因为，且， 则，解得， 若，令，，那么， 令，，那么导函数在内单调递增， 可得，可知在内单调递增， 那么，即， 可知在内单调递增，则，即， 可知在内单调递增，则，符合题意； 综上所述：实数． 求导，分类讨论参数的正负性，结合导数的符号判断原函数单调性； 根据中单调性可得，令，，利用导数证明不等式； 令，，根据端点效应可得，并代入检验即可． 本题考查利用导数求解函数单调性和单调区间，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期内蒙古高二数学限时小卷（四） （分值76分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知随机变量的分布列为，则(    ) A. B. C. D. 2.曲线在点处的切线的方程为(    ) A. B. C. D. 3.的展开式中的系数是(    ) A. B. C. D. 4.已知函数的定义域为，，对任意，恒成立，则的解集为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数，则(    ) A. 为奇函数 B. 是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 6.在的展开式中，下列说法正确的是(    ) A. 二项式系数最大的项为 B. 常数项为 C. 第项与第项的系数相等 D. 含的项的系数为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设，为两个随机事件，已知，，，则        ． 8.若不等式，对任意实数恒成立，则实数的取值范围为        ． 四、解答题：本题共2小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 回答下列问题 把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ 有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？ 某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 10.本小题分 已知函数． 讨论函数的单调性； 证明：当时，； 若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $