内蒙古2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（二）

**基本信息** 聚焦函数、数列、概率等核心模块，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，强化知识间的综合应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导数|4题（单选2、3，填空7，解答10）|图像识别、最值求解、切线方程|从函数图像直观到导数工具应用，构建“性质-求导-应用”逻辑链| |概率与统计|2题（解答9，填空8）|条件概率计算、线性回归预测|结合实际情境，体现“古典概型-条件概率-模型预测”的应用逻辑| |数列与三角|2题（单选4，多选6）|等比数列求和、三角函数性质|数列聚焦公式应用，三角注重周期与单调性，强化知识迁移|

2025-2026学年第二学期内蒙古高二数学限时小卷（二） （分值74分 限时40分钟） 全 解 全 析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条； 从地不经过地到地的路线有条． 根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条． 故选：． 根据分类加法和分步乘法计数原理可得． 本题主要考查分类加法和分步乘法计数原理分的应用，属于基础题． 2.函数的大致图象是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， 由得或，由得， 所以在和上递增，在上递减， 故A选项符合，其余均不符合． 故选：． 求导，解不等式和，得函数的单调性，可选出符合的图象． 本题主要考查由函数解析式求函数图象，属于中档题． 3.函数在区间的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为， 所以， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间的最小值是． 故选：． 先由导函数求出函数在区间上的单调性， 本题考查了导数的综合，属于基础题． 4.设等比数列的前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题知等比数列的公比， 所以根据等比数列的性质得：，，，成等比数列， 因为，所以设，则， 所以，，所以， 又，所以，所以． 故选：． 由等比数列的性质可得，，，成等比数列，设，由等比数列和条件可得，，从而即可求得． 本题考查等比数列的前项和的性质，属于基础题． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列命题正确的有(    ) A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】CD  【解析】解：对于，，故A错误． 对于，，故B错误． 对于，，若，则即，故C正确． 对于，，故，故，故D正确． 故选：． 根据导数的定义可判断的正误，根据导数的四则运算可判断的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断的正误． 本题主要考查了导数的定义及函数的求导公式的应用，属于中档题． 6.已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是(    ) A. B. 函数的最大值为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增 【答案】ACD  【解析】解：因为， 由题意可得，，即，A正确； 的最大值为，B错误； 因为，即的图象关于对称，C正确； 当时，，此时函数单调递增，D正确． 故选：． 先结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断． 本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若函数的图象在点处的切线方程是，则       ． 【答案】  【解析】解：因为的图象在点处的切线方程是， 所以，且， 所以． 故答案为：． 利用导数的几何意义得，将代入切线方程得 本题考查导数的几何意义的应用，属基础题． 8.已知电商平台统计的连续天某商品的点击量单位：万次如下： 样本号 第天 点击量 并计算得，，，，建立点击量关于天数的线性回归方程，预测第天的点击量为      ． 【答案】万次  【解析】解：由已知可得，，， 得， 则， 所以关于的回归直线方程为， 当时，，故预测第天的点击量约为万次． 故答案为：万次． 根据条件，求出关于的回归直线方程，即可求解． 本题考查经验回归方程及其应用，考查运算求解能力，是基础题． 四、解答题：本题共2小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有个红球和个白球，乙袋中有个红球和个白球从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验若多次试验直到摸出红球，则试验结束假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为． 求首次试验结束的概率； 在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整． 求选到的袋子为甲袋的概率； 将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 【答案】  ；方案二  【解析】解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， 所以； 由可得，所以， 所以； 由得， 所以方案一中取到红球的概率为： ， 方案二中取到红球的概率为： ， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大． 根据全概率公式，即可求解； 根据贝叶斯公式，条件概率公式，全概率公式，即可求解． 本题考查条件概率的求解，全概率公式的应用，属中档题． 10.本小题分 设函数． Ⅰ求曲线在点处的切线方程； Ⅱ求在区间上的最大值和最小值． 【答案】解：Ⅰ由题意知，，即切点为， 由已知， 则， 曲线在点处的切线方程为，即； Ⅱ，得或， 在，，单调递增． 在，，单调递减， 的极小值点为，， 因为，，故在区间上的最大值为，最小值为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期内蒙古高二数学限时小卷（二） （分值74分 限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是(    ) A. B. C. D. 2.函数的大致图象是(    ) A. B. C. D. 3.函数在区间的最小值是(    ) A. B. C. D. 4.设等比数列的前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列命题正确的有(    ) A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 6.已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是(    ) A. B. 函数的最大值为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若函数的图象在点处的切线方程是，则       ． 8.已知电商平台统计的连续天某商品的点击量单位：万次如下： 样本号 第天 点击量 并计算得，，，，建立点击量关于天数的线性回归方程，预测第天的点击量为      ． 四、解答题：本题共2小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有个红球和个白球，乙袋中有个红球和个白球从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验若多次试验直到摸出红球，则试验结束假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为． 求首次试验结束的概率； 在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整． 求选到的袋子为甲袋的概率； 将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 10.本小题分 设函数． Ⅰ求曲线在点处的切线方程； Ⅱ求在区间上的最大值和最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $