9.3 随机抽样、用样本估计总体 练习-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦随机抽样与样本估计，以真题为载体系统提炼数字特征计算、图表分析方法，构建“概念-方法-应用”逻辑链，强化数据观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字特征|8题（含选择、填空）|百分位数计算（排序-定位-取值）、方差修正（误差平方和比较）、数字特征比较（极差/中位数/方差）|从数据排序到数字特征提取，形成“数据整理-特征计算-统计推断”完整链条| |抽样与直方图|4题（含解答）|分层抽样（按比例分配）、直方图参数（a值/中位数/平均数估计）|抽样方法为数据收集基础，直方图为数据可视化工具，实现“抽样-整理-估计”应用闭环|

9.3　随机抽样、用样本估计总体 一、 单选题 1 [2025石家庄一模]某同学记录了3月1日到8日每天的最高温度(单位：℃)，分别为13，9，13，10，8，8，15，14，则该组数据的80百分位数为(　　) A. 10 B. 13 C. 13.5 D. 14 2 [2025青岛一模]若样本数据1，x1，x2，…，x9的平均数为1，方差为2，则数据x1，x2，…，x9相对于原数据　(　　) A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大 3 [2025南京、盐城一模]某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是(　　) A. 极差 B. 45百分位数 C. 平均数 D. 众数 4 [2025武汉调研]某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是(　　) A. a＝0.05 B. 评分的众数的估计值为70 C. 评分的25百分位数的估计值为67.5 D. 评分的平均数的估计值为76 二、 多选题 5 [2025长沙期末]为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些样本观测数据进行适当分组后(前四组为左闭右开的区间，最后一组为闭区间)，绘制出如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是(　　) A. 样本观测数据的极差不大于50 B. 样本观测数据落在区间[65，75)上的频率为0.025 C. 样本观测数据的平均数大于中位数 D. 若将工人每天加工产品的最少数量设为55，则估计80%的工人能完成任务 6 [2025广州一模]已知某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10，则下列结论中正确的是(　　) A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 两组数据的极差相等 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 7 [2025郴州、娄底模拟]某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、中年组和老年组．每组由6位专业评委对演唱评分(满分10分)，老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 三、 填空题 8 在某校2025年秋季入学考试中，某班数学成绩的平均分为125分，方差为s.成绩分析时老师发现有三名同学的成绩录入有误，A同学实际成绩137分，被错录为118分；B同学实际成绩115分，被错录为103分；C同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为s，则s________s.(填“>”“<”或“＝”) 9 为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动．某班8位同学的成绩分别为7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是________．(写出一个满足条件的m值即可) 10 为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取了6名老学员和2名新学员的某次射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩的样本平均数为8环，方差为环2；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成绩的方差为________环2. 四、 解答题 11 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式．某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流． (1) 应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2) 在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计(单位：元)，所得频率分布直方图如图2所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数；(求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表) ②若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 图1 图2 　　　　　 12 某市开展创建全国文明城市知识竞赛，随机抽取n名参赛者的成绩统计如下表． (1) 求出n，a，b的值，并画出频率分布直方图； (2) 估计这n名参赛者成绩的众数和平均数； (3) 估计这次知识竞赛成绩的60百分位数(精确到0.01). 成绩分组 频数 频率 [50，60) 10 0.10 [60，70) 25 a [70，80) 35 0.35 [80，90) b 0.20 [90，100] 10 0.10 9．3　随机抽样、用样本估计总体 1. D　解析：由题意，得将数据从小到大排列有8，8，9，10，13，13，14，15，共8项数据，所以n＝8×0.8＝6.4.故该组数据的80百分位数为第7项数据14. 2. D　解析：设原数据的平均数为，方差为s2，变化后的数据的平均数为1，方差为s.由题意，得＝(1＋x1＋x2＋…＋x9)＝1，s2＝[(1－1)2＋(x1－1)2＋…＋(x9－1)2]＝2，则x1＋x2＋…＋x9＝9，(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x9－1)2＝20，所以1＝(x1＋x2＋…＋x9)＝1，s＝[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x9－1)2]＝，所以＝1，s2<s. 3. B　解析：对于A，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A错误；对于B，因为10×0.45＝4.5，所以10个数据的45百分位数为从小到大排列后的第5个数据．又8×0.45＝3.6，所以8个数据的45百分位数为从小到大排列后的第4个数据，即为原来的第5个数据，故B正确；对于C，去掉一个最高分与一个最低分，平均数可能变化，故C错误；对于D，去掉一个最高分与一个最低分，众数可能变化，故D错误． 4. C　解析：由题意，得10×(2a＋3a＋4a＋5a＋6a)＝1，解得a＝0.005，故A错误；评分的众数的估计值为＝75，故B错误；因为0.1<0.25，0.1＋0.2＝0.3>0.25，所以评分的25百分位数的估计值为60＋10×＝67.5，故C正确；评分的平均数的估计值为0.1×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.25×85＋0.15×95＝76.5，故D错误． 5. ACD　解析：对于A，由频率分布直方图可知，样本观测数据的极差的最大值为95－45＝50，故A正确；对于B，由频率分布直方图可知，样本观测数据落在区间[65，75)上的频率为0.025×10＝0.25，故B错误；对于C，由频率分布直方图可知，样本观测数据的平均数为10×(0.020×50＋0.040×60＋0.025×70＋0.010×80＋0.005×90)＝64.因为样本观测数据落在区间[45，55)上的频率为0.020×10＝0.2<0.5，样本观测数据落在区间[45，65)上的频率为 0.020×10＋0.040×10＝0.6>0.5，所以样本观测数据的中位数位于区间[55，65)中，设为x，则0.020×10＋0.040×(x－55)＝0.5，解得x＝62.5，所以样本观测数据的中位数为62.5，则62.5<64，故C正确；对于D，由C知，样本观测数据落在区间[45，55)上的频率为0.2，所以将工人每天加工产品的最少数量设为55，则估计80%的工人能完成任务，故D正确．故选ACD. 6. AD　解析：第一组的平均数为×(7＋7＋7＋8＋8＋9＋10)＝8，方差为×[(10－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(7－8)2]＝，极差为10－7＝3，中位数为8；第二组的平均数为×(5＋5＋8＋9＋9＋10＋10)＝8，方差为×[(5－8)2＋(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2＋(10－8)2]＝4，极差为10－5＝5，中位数为9，故A，D正确，B，C错误．故选AD. 7. ABD　解析：由题意，得甲的得分从小到大排列为7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3；乙的得分从小到大排列为8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1.因为数据个数n＝6为偶数，所以甲得分的中位数为＝8.9，乙得分的中位数为＝8.6，故A正确；甲得分的极差为9.3－7.0＝2.3，乙得分的极差为9.1－8.1＝1，故B正确；因为6×75%＝4.5，所以甲得分的上四分位数是9.2，乙得分的上四分位数是8.7，故C错误；由图象可知甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确．故选ABD. 8. <　解析：因为118＋103＋129＝137＋115＋98，所以更正前后平均分不变．又(118－125)2＋(103－125)2＋(129－125)2<(137－125)2＋(115－125)2＋(98－125)2，所以s<s. 9. 7(答案不唯一)　解析：若去掉m，则该组数据从小到大排列为6，7，7，8，8，9，10，因为7×0.25＝1.75，所以25百分位数为第二个数即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m的25百分位数为7.又8×0.25＝2，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10. 10. 　解析：记6名老学员射击环数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，8名学员的射击成绩的平均数和方差分别为，s2.由题意可知，xi＝6×8＝48，(xi－8)2＝6×＝10，则＝＝×56＝7，所以s2＝[ (xi－7)2＋(3－7)2＋(5－7)2]＝[ (xi－8＋1)2＋20]＝[(xi－8)2＋2xi－15]＋＝(xi－8)2＋xi－＝×10＋×48－＝. 11. (1) 由分层抽样可知应抽取小吃类60×(1－30%－15%－10%－5%－5%)＝21(家)，生鲜类60×15%＝9(家)， 所以应抽取小吃类21家，生鲜类9家． (2) ①由题意，得(0.002×3＋2a＋0.006)×50＝1， 解得a＝0.004. 设中位数为x. 因为(0.002＋0.004)×50＝0.3<0.5， (0.002＋0.004＋0.006)×50＝0.6>0.5， 所以(x－400)×0.006＋0.3＝0.5，解得x＝， 所以该直播平台商家平均日利润的中位数为元． 平均数为(325×0.002＋375×0.004＋425×0.006＋475×0.004＋525×0.002＋575×0.002)×50＝440， 所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元． ②×50×800＝256(个)， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为256. 12. (1) 由[70，80)组数据可得n＝＝100， 所以a＝＝0.25，b＝100×0.2＝20， 频率分布直方图如下： (2) 估计这几名参赛者成绩的众数为＝75， 平均数为55×0.1＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.2＋95×0.1＝74.5. (3) 因为0.10＋0.25＝0.35<0.6，0.10＋0.25＋0.35＝0.7>0.6， 所以60百分位数在区间[70，80)内， 所以60百分位数为70＋10×≈77.14. 学科网（北京）股份有限公司 $