陕西省西安中学2024-2025学年度高二上学期期中考试数学试题

西安中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 (时间：120分钟满分：100分)命题人：拓继雨 一、选择题（本题共8小题，每题3.5分，共28分。在每小题的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.已知平面α的一个法向量i=(-2,-2,1),点A(-1,-3,0)在平面ax内，若点B(m,0,2-m) 在平面c内，则m的值为( A.-2 B.0 C.1 D.2 2.已知直线4：x+-1=0和直线4(6a-2列--2=0，则g%是“a=号的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列命题中正确的是 ) A.点M(3,2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(-3,2，-1) B若直线1的方向向量为e=(1,-1,2),平面α的法向量为m=(6,4,-1),则11a C.若{a,i,c和{a+i,石-c,m都为基底，则m可以为a+c D.若直线1的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，则直线1与平面a所 成的角为30° 4.已知点4(-4，-2)，B(-4,2),C(-2,2),则△ABC外接圆的方程是(). A.x2+(y-3)2=20 B.(x+3)2+y2=5 C.x2+y+3)2=5 D.(x-3)2+y2=20 5.圆A:(x-m)2+(y+1)2=2与圆B:(x-2m)2+y2=8有且仅有一条公切线，则m=（) A.±1 B.1 C.-1 D.0 西安中学高二数学试题第1页，共4页 6.如图所示，在平行六面体ABCD-B'C"D'中，AB=I,AD=2,AA=3,∠BAD=90°， D ∠BAA=LDAA=60°，则A'C的长为（) B' A.5 B.√23 C.5 D.√ 7.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱 称为堑堵.如图，在堑堵ABC-AB,C中，AC=BC=CC,M, N分别是线段AC,BC1上的点，且AM=2MC,BN=2NC, 则下列说法正确的是() A.A,C⊥AB B.AB⊥MNC.AC⊥MN D.4C LBC &已知椭圆C:+片a>b>0,过点M(,o)作倾斜角为的直线与C交于A,B 两点，当M为线段AB的中点时，直线oM(O为坐标原点)的斜率为-，则C的离 心率为() A. B. C.5 D.6 3 二、选择题（本题共3小题，每题4分，共12分。在每小题的四个选项中，有多 项符合题目要求) 9.向量a=(（1,2,3),b=（-2,-1,1),c=(2,4,m),且ā11c,则下列说法正确的是( A.=6 B.m=6 C.(26+a)La D.m6-哥 10.已知圆C(x-1)2+y-2)}2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.则以下命题正 确的有( A.直线1恒过定点(3,0) B.y轴被圆℃截得的弦长为4√5 C.直线1与圆C恒相交 D.直线1被圆C截得弦长最长时，直线的方程为x+2y-5=0 西安中学高二数学试题第2页，共4页 11. 设椭圆的方程为兰+二=1，其中椭圆的左、右焦点分别为R,乃，与x轴相交 2516 的左、右顶点分别为A,B两点，P为椭圆上的任意一点，下列结论正确的是() A.存在点P,使得∠FPE=90°B线段PF长度的取值范围为[2,8 C.PFPF的最太值为25 D.当P不与A,B重合时，直线PM与直线PB斜率乘积恒为 5 三、填空题（本题共3小题，每题4分，共12分) 12.如下图，在三棱锥0-ABC中，设OA=a,OB=i,O0C=c,若 AN=NB,BM=2MC,则MN= (用a,b,c表示) 13.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了 一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB,若 号4B=4D=BR,△4DE和△CF都是正三角形，G为D的 中点，则异面直线GE与CF所成角的余弦值为一 G 14.设点P是圆0：x2+y2=1上的动点，过点P作圆C:x2+y2-6x-8y+21=0的两条 切线，切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最大值为 四、解答题（本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(8分)已知△ABC的三个顶点分别为A(5,0),B(L,3),C(-2,1): (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△ABC的面积. 16.(8分)(1)已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e子，短轴长为85，求椭圆 的方程； 西安中学高二数学试题第3页，共4页 (2)已知椭圆的两焦点为E(-4,0),E(4,0",点P在椭圆上，若△PF面积的最大值 为12，求此椭圆的方程. 17.（8分)在长方体ABCD-AB,C,D,中，AB=3,AD=AA=2,点E在AB上，且AE=1. (I)求直线BC,与平面AEC所成角的正弦值， 2)求点B,到平面AEC的距离. 18.（12分)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现； 平面内到两个定点AB的距离之比为定值1(1>0且2≠1)的点所形成的图形是圆， 称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xO中，A1,0,B(-2,0).点 端足盼 设点P所构成的曲线为C: (1)求点P的轨迹方程； (2)若PA=AO,求点2的轨迹C,的方程； (3)过A作两条互相垂直的直线4,12与点Q的轨迹C,分别交于M、N和P、Q四点， 求四边形MPN@面积的最大值， 19.（12分)已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0，作OA=a,OB=b,则∠AOB 叫做向量ā与6的夹角，记作(a,b)、定义ā与6的“向量积”为：axi是一个向量， 它与向量a,i都垂直，它的模a×=,例sin(a,).如图，在四棱锥P-ABcD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD,DP=DA=4,E为线段AD上一点， AD×Bd=85. (I)求AB的长； (2)若E为线段AD的中点，求二面角P-EB-A的正弦值； (3)请问线段PB上是否存在一点M,使得ADxB驴=2EM,若存在，请求出2的值。 西安中学高二数学试题第4页，共4页