精品解析：2026年黑龙江哈尔滨市风华中学校九年级下学期中考二模数学试卷

九年级数学阶段性测试 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各对数中互为倒数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年是我国多项水利、海水淡化项目集中落地的关键年份，某沿海城市新建海水淡化厂日均产能可达吨，数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 开口向上，顶点坐标为的抛物线可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第（7）个图案中阴影小三角形的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，如果，那么（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点D，连接．若，则的长是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 10. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向运动，动点同时从点出发，以的速度沿→→→的方向运动，两动点到达点停止运动．设点运动的时间为（），的面积为（），则下列关于的函数图象正确的是（     ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中的自变量的取值范围是___________． 12. 因式分解__________． 13. 不等式组的解集是_______． 14. 一个不透明的口袋中装有6个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋中随机摸取一个小球，它是黄球的概率______． 15. 定义一种新运算：．例如：，则的结果是______． 16. 一个扇形的半径为6，弧长是，则这个扇形的圆心角为________． 17. 在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是______米． 18. 如图，已知是的外接圆，是的直径，若，则的度数是__________． 19. 是直角三角形，，，则的长为____________． 20. 如图，正方形的边长为，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③当是的中点时，；④是线段上的一个动点，过点作于，连接，当时，的最小值为．其中正确结论的序号为____________． 三、解答题（其中21——22题各7分，23——24题各8分，25——27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在网格中作等腰直角，使点在格点上，； （2）在边上找到一点，使（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的长． 23. 九年级某班跳绳兴趣小组为了解全校九年级学生的跳绳情况，对该校九年级学生每分钟跳绳个数（单位：个/分）进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成组，下面是不完整的频数分布表： 组别 跳绳个数（个/分） 频数（人数） 频率 1 2 3 4 5 3 根据表中的信息，回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）写出表中，的值：________；________； （3）该校九年级有名学生，估计这些学生中每分钟跳绳个数不少于个的学生有多少人？ 24. 定义：如图1，四边形中，，，，则称四边形为直角筝形． （1）连接对角线、交于点，得到图2，请证明：垂直平分； （2）在图2中，若，点在射线上（不与点重合），点是平面内一点，以、、、为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的的度数． 25. 为庆祝端午节的到来，某校计划购买一批粽子玩偶、五彩项链．已知商场某品牌粽子玩偶的单价比五彩项链的单价多元，用元购买粽子玩偶的数量等于用元购买五彩项链的数量． （1）求粽子玩偶、五彩项链的单价； （2）学校采购时若购买粽子玩偶、五彩项链共个，且总费用不超过元，请问至少购买多少个五彩项链？ 26. 已知：的弦于点，连，，， （1）如图1，求证：； （2）如图2，直径分别交，，于点，，，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点的直线交于点，过点作于点，若，，，求的长． 27. 已知，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点在第一象限抛物线上，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，连接交轴于点，连接，，点在上，连接，，点在第一象限抛物线上，且点在上方，过作，交轴于点，交直线于点，过作于点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性测试 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各对数中互为倒数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 选项B，D中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形， 故选：A． 3. 2026年是我国多项水利、海水淡化项目集中落地的关键年份，某沿海城市新建海水淡化厂日均产能可达吨，数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数的形式为，要求满足，为原数的位数减一． 【详解】解：． 4. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形判断即可． 【详解】解：该几何体的主视图是： 5. 方程的解为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：x−2＝2x−2， 解得：x＝0， 经检验x＝0是分式方程的解， 故选D． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 6. 开口向上，顶点坐标为的抛物线可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象的性质．根据的性质进行解答即可． 【详解】解：开口向上，顶点坐标为的抛物线可以写成为，其中，只有符合要求， 故选：B 7. 如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第（7）个图案中阴影小三角形的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，进而得出即可． 【详解】解：由图可知： 第一个图案有阴影小三角形2个． 第二图案有阴影小三角形2+4=6个． 第三个图案有阴影小三角形2+8=10个， 那么第n个图案中就有阴影小三角形2+4（n-1）=4n-2个， 当n=7时，4n-2=4×7-2=26. 故选A． 【点睛】本题考查图形的变化规律，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中就有阴影小三角形4n-2个． 8. 如图，在中，，，如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【详解】解：， ， ， ． 9. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点D，连接．若，则的长是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图可知点是的中点，然后由直角三角形斜边上的中线的性质可得答案． 【详解】解：由作图知垂直平分， ∴点是的中点， ∵在中，， ∴． 10. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向运动，动点同时从点出发，以的速度沿→→→的方向运动，两动点到达点停止运动．设点运动的时间为（），的面积为（），则下列关于的函数图象正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的长、宽以及点、运动的速度，分别求出点在上运动、在上运动、在上运动的时间段，分情况求出与的函数关系式，根据函数关系式得到函数的图象． 【详解】解：动点从点出发，以的速度沿向运动， 点运动停止运动， 又，， 当运动时，点运动到点，点运动到点， 四边形是矩形， ，，， ， ， 当时，点停止运动，点在上运动， ，， 当时，点停止运动，点在上运动， 当时，如下图所示， 其中，， 四边形是矩形， ，，， ， 当时，函数图象是抛物线上的一段； ， 当时，点停止运动，点在上运动， 如下图所示， ， 当时，函数图象是直线上的一段； 当时，点停止运动，点在上运动， 如下图所示， ， ， 当时，函数图象是直线上的一段， 综上所述，， 关于的函数图象如下图所示： 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中的自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是求函数自变量的取值范围、分式有意义的条件，解题关键是熟练掌握分式有意义的条件． 根据分式中分母不能等于零，列出不等式，计算出自变量的范围． 【详解】解：根据题意得： ， ． 故答案为：． 12. 因式分解__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别解不等式组中的一元一次不等式，再由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式组解集的求法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为， 故答案为：． 14. 一个不透明的口袋中装有6个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋中随机摸取一个小球，它是黄球的概率______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一个不透明的口袋中装有6个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其他差别， ∴从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 定义一种新运算：．例如：，则的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 16. 一个扇形的半径为6，弧长是，则这个扇形的圆心角为________． 【答案】##120度 【解析】 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为， 根据弧长公式可得：， 两边同时除以得：， 解得， 即这个扇形的圆心角为． 17. 在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是______米． 【答案】0.5## 【解析】 【详解】解：由于力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，则设， 由于P(5，1)在图象上，则， ∴， ∴当时，故． 故答案为：0.5． 18. 如图，已知是的外接圆，是的直径，若，则的度数是__________． 【答案】15 【解析】 【分析】连接，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等可得的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 是直角三角形，，，则的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分为点是直角顶点和点是直角顶点两类讨论，使用三角函数求出的长即可． 【详解】解：①当点是直角顶点时，如图， 在中，； ②当点是直角顶点时，如图， 在中，； 综上所述，的长为或． 20. 如图，正方形的边长为，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③当是的中点时，；④是线段上的一个动点，过点作于，连接，当时，的最小值为．其中正确结论的序号为____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】通过证明，得，，即可判断；再证明，即可判断；证明，，求出相关线段长度，即可判断；连接，过点作于点，证明垂直平分，可得，，进而得到，当点在线段上时，可得有最小值，最小值为的长，再根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确；    ∵正方形的边长为， ∴， 当是的中点时，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； 连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，即， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 当点在线段上时，可得有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，的最小值为，故正确； 综上，正确结论的序号为①②④． 三、解答题（其中21——22题各7分，23——24题各8分，25——27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， ， ∴原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在网格中作等腰直角，使点在格点上，； （2）在边上找到一点，使（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的长． 【答案】（1）如图，即为所作， （2）如图，点即为所求，， 【解析】 【分析】（1）取格点，由勾股定理可得，，再由勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，则即为所作； （2）取格点，，连接交于点，连接，点即为所求，取格点、，连接交于点，连接，再结合等腰直角三角形的性质和勾股定理计算即可得出的长． 【小问1详解】 解：图略， 取格点，由勾股定理可得，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴即为所作； 【小问2详解】 解：图略， 取格点，，连接交于点，连接， 由网格特点可得，，， ∴， ∴，即点即为所求， ∴， 取格点、，连接交于点，连接， 由网格特点可得四边形为矩形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴． 23. 九年级某班跳绳兴趣小组为了解全校九年级学生的跳绳情况，对该校九年级学生每分钟跳绳个数（单位：个/分）进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成组，下面是不完整的频数分布表： 组别 跳绳个数（个/分） 频数（人数） 频率 1 2 3 4 5 3 根据表中的信息，回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）写出表中，的值：________；________； （3）该校九年级有名学生，估计这些学生中每分钟跳绳个数不少于个的学生有多少人？ 【答案】（1）； （2），； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用频数分布表中第二组数据结合抽样人数频数频率列式计算即可； （2）利用抽样人数频数频率计算即可； （3）用频率估计概率，找出样本中的频率，列式计算即可． 【小问1详解】 解：第二组频数，频率， 在这次调查中，一共抽取了名学生； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 ， 抽查的数据中的频率为， 估计全校学生中每分钟跳绳个数不少于个的学生有人． 24. 定义：如图1，四边形中，，，，则称四边形为直角筝形． （1）连接对角线、交于点，得到图2，请证明：垂直平分； （2）在图2中，若，点在射线上（不与点重合），点是平面内一点，以、、、为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的的度数． 【答案】（1）证明：， ∴点在的垂直平分线上； ， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． （2），，， 【解析】 【分析】（1）考查中垂线的定义；（2）关键点在于对点位置的分类讨论，分四种情况选取不同的直角顶点：①点在线段的延长线上，是直角顶点；②点在线段的延长线上，是直角顶点；③点在线段上，是直角顶点；④点在线段上，是直角顶点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 共有四种可能的情形， ①当点在线段的延长线上，如图， 此时 ， 故 ； ②当点在线段的延长线上，如图， 此时 ③当点在线段上，如图， 此时 ,平分， ④当点在线段上，如图， 此时 ， 故. 25. 为庆祝端午节的到来，某校计划购买一批粽子玩偶、五彩项链．已知商场某品牌粽子玩偶的单价比五彩项链的单价多元，用元购买粽子玩偶的数量等于用元购买五彩项链的数量． （1）求粽子玩偶、五彩项链的单价； （2）学校采购时若购买粽子玩偶、五彩项链共个，且总费用不超过元，请问至少购买多少个五彩项链？ 【答案】（1）五彩项链单价为16元，粽子玩偶单价为20元 （2）至少购买50个五彩项链 【解析】 【分析】（1）设五彩项链单价为元，则粽子玩偶单价为元，根据“用元购买粽子玩偶的数量等于用元购买五彩项链的数量”列分式方程求解； （2）设买个五彩项链，买个粽子玩偶，根据“总费用不超过元”列不等式求解． 【小问1详解】 解：设五彩项链单价为元，则粽子玩偶单价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． ， 答：五彩项链单价为16元，粽子玩偶单价为20元． 【小问2详解】 解：设买个五彩项链，个粽子玩偶， 根据题意得，， ， 答：至少购买50个五彩项链． 26. 已知：的弦于点，连，，， （1）如图1，求证：； （2）如图2，直径分别交，，于点，，，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点的直线交于点，过点作于点，若，，，求的长． 【答案】（1）设，则， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ． （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴ ． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， 在中，， 解得（舍）， ∴． ，，设，则， 在中，， ， ． 27. 已知，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点在第一象限抛物线上，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，连接交轴于点，连接，，点在上，连接，，点在第一象限抛物线上，且点在上方，过作，交轴于点，交直线于点，过作于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，由正切的定义得出，从而可得，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）直线的解析式为，把代入抛物线解析式得，过作于交于，设，则，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果； （3）过作于交于，根据同角的余角相等得出，证明，由题意可得设，则，则，，求出，从而可得，再证明得出，进而可得，，求出，则，证明为等腰直角三角形，得出，设，求出，在轴负半轴上取一点，使，连接，则垂直平分，求出，从而可得，，过作于， 设，则，，，，，设，过作于点，则，，表示出，过作于，由正切的定义得出，联立求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， ，， ，， ， ， ， ， 将代入可得， ∴． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入抛物线解析式得， 如图，过作于交于， 设，则， ． 【小问3详解】 解：过作于交于， 则，， ， ， ∵， ∴， ， 由（1）可得，，， ∴， 由题意可得设，则， ∴，，， ∴， ， ， ， ， ， ，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， ， ∴设，则， ， ， ， ． 在中，， 在轴负半轴上取一点，使，连接，则垂直平分， ∴，， ∴， 由勾股定理可得， 作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作于， 设，则，， ∴，， ， 设， 过作于点， ∴，， ， ， 过作于， ， ， ， 由①②解得，（舍）， ． 【点睛】正切是直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值；相似三角形的对应边成比例． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $