精品解析：甘肃兰州市学府致远学校2025-2026学年七年级下学期阶段测试数学试卷（6月）

兰州市学府致远学校2025－2026学年第二学期七年级月考试卷数学 一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 下列运动图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为守护南宁邕江流域生态环境，我市水质检测常观测水中微生物直径，某种浮游微生物的直径约为0.000036米，数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 若长度分别是a，2，3的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 7 5. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中仅有3个红球和7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 小明按照如下步骤画图：①画直线，，使得；②画点，分别在直线，上，画直线；③以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；④分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 9. 如图，，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（） A. 2 B. 3或1.5 C. 2或1.5 D. 2或3 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 12. 计算：的结果为______  ． 13. 如图，，则的度数为__________． 14. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 15. 如图，在中，AD是BC边上的中线，的周长比的周长多5cm，若cm，则AC的长为______cm． 三、解答题（共11小题，满分75分） 16. 计算． 17. 计算：； 18. 计算： 19. 补全证明过程． 如图，已知分别是的平分线，．求证：． 证明：因为（已知）， 所以（①__________）， 因为平分平分（已知）， 所以②__________， ③__________（④__________）， 所以， 所以（⑤____________________）． 20. 如图，与相交于点O，，，求证：． 21. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 22. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点在小正方形的顶点上． （1）由图中画出与关于直线成轴对称的； （2）求的面积． 23. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.601 0.599 0.602 （1）表中__________；__________； （2）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为__________（精确到0.1） （3）盒子里约有白球__________个； （4）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 24. 在如图所示的中，平分交于点D． （1）若，，求的度数； （2）过点D作于点E，若，，，求的面积． 25. 如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 26. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校2025－2026学年第二学期七年级月考试卷数学 一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 下列运动图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 2. 为守护南宁邕江流域生态环境，我市水质检测常观测水中微生物直径，某种浮游微生物的直径约为0.000036米，数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式运算中合并同类项和幂的运算性质，运用对应运算法则计算每个选项即可判断正误． 【详解】选项A：合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，， A错误； 选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， B错误； 选项C：先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，， C正确； 选项D：积的乘方等于每个因式分别乘方，， D错误． 4. 若长度分别是a，2，3的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，即， a可能是4． 5. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线．解决问题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，对顶角相等． 由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6. 不透明的袋子中仅有3个红球和7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵袋子中球的总数量为（其中红球有个）， ∴摸出红球的概率为． 7. 小明按照如下步骤画图：①画直线，，使得；②画点，分别在直线，上，画直线；③以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；④分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由邻补角的性质可得，结合角平分线可得，再进一步利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， 由作图可得，是的平分线， ， ∵， ， ． 8. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：A． 9. 如图，，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角． 先根据全等三角形性质求出，然后根据等边对等角求出，再利用平角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的平分线，高线，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了角的平分线，高线，三角形内角和定理，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 11. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（） A. 2 B. 3或1.5 C. 2或1.5 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，由于，所以当，时，，即，当，时，，即，然后分别解方程可求出对应的的值． 【详解】根据题意得， ∴当时，， 即， 解得； 当时， 即， 解得； 综上所述，的值为3或． 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 12. 计算：的结果为______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用．观察指数相同，利用幂的运算性质将原式化为积的乘方形式即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等可得，然后结合图形利用角的和差关系得出． 【详解】解： ， ． 14. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格的特点证明三角形全等是解题的关键．取格点E、F，连接，根据网格的特点，利用易证，得到，结合，即可解答． 【详解】解：如图，取格点E、F，连接， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 15. 如图，在中，AD是BC边上的中线，的周长比的周长多5cm，若cm，则AC的长为______cm． 【答案】18 【解析】 【分析】根据(AD+DC+AC)-(AB+BD+AD)=5，得到AC-AB=5，结合AB=13，代入计算即可． 【详解】∵(AD+DC+AC)-(AB+BD+AD)=5，BD=CD，AB=13， ∴AC-AB=5， ∴AC=13+5=18cm， 故答案为18． 【点睛】本题考查了中线的性质，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 三、解答题（共11小题，满分75分） 16. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解： ． 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 补全证明过程． 如图，已知分别是的平分线，．求证：． 证明：因为（已知）， 所以（①__________）， 因为平分平分（已知）， 所以②__________， ③__________（④__________）， 所以， 所以（⑤____________________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；1；2；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】略 20. 如图，与相交于点O，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质；先由平行线的性质可得，，再结合，即可判定，进而得出． 【详解】证明：， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 21. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 【答案】 证明： ， ， ， 在与中， ． 【解析】 【分析】由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 22. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点在小正方形的顶点上． （1）由图中画出与关于直线成轴对称的； （2）求的面积． 【答案】（1）解：如图所示； ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积． 23. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.601 0.599 0.602 （1）表中__________；__________； （2）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为__________（精确到0.1） （3）盒子里约有白球__________个； （4）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 【答案】（1）0.57；0.604 （2）0.6 （3）24 （4）12 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式：频率计算即可； （2）大量重复试验可以说明摸到白球概率约为； （3）用总球数乘以白球对应概率即可； （4）考虑放了个球后盒子内总球数和白球数量，利用计算即可． 【小问1详解】 解：根据频率公式得． 【小问2详解】 解：通过统计表可观察出随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在0.6左右， 故估计摸到白球的概率约为0.6． 【小问3详解】 解：白球数量=总球数摸到白球概率． 【小问4详解】 解：放了2个白球，则放了个黑球，现在盒子里共有个球， 则摸到白球的概率为，解得． 24. 在如图所示的中，平分交于点D． （1）若，，求的度数； （2）过点D作于点E，若，，，求的面积． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． （1）根据三角形内角和定理得出，进而利用角平分线的定义得出即可； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵的角平分线交于D， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点D作于点F， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴的面积的面积的面积． 25. 如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的长为 （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后根据的周长为进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵，分别垂直平分和， ，， ． ∵的周长为， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， ，， ，， ． ， 即的度数为． 26. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】（1） 证明：①∵， ∴． ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴； ②由①得， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴； （3） ． 由上述可知， ∴, ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等， 对于（1），①根据“同角的余角相等”得，再根据“角角边”可得答案； ②根据全等三角形的对应边相等得出，再根据得出答案； 对于（2），先根据“角角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（3），仿照上述过程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $