25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过知识回顾复习一般形式、求根公式及判别式衔接旧知，以解方程填表观察规律为支架，引导学生逐步发现两根之和与积的系数关系。 其亮点在于通过探究活动培养数学眼光（抽象能力），严谨推导证明发展数学思维（推理能力），典型例题与变式题强化数学语言表达（模型意识）。采用“回顾-探究-证明-应用”流程，帮助学生构建知识体系，教师可直接用于教学提升效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.了解一元二次方程的根与系数的关系. 2.能利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题. 学习目标 BY YUSHEN 22051 2 想一想：一元二次方程的一般形式是怎样的？ 你知道它的求根公式是什么吗？ ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 ) 适用的条件： Δ = b2-4ac ≥ 0 知识回顾 BY YUSHEN 22051 想一想：当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情况如何？ Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； Δ< 0 时，方程没有实数根. 知识回顾 BY YUSHEN 22051 活动：请选择自己喜欢的方法解下列方程，并完成下表：  (1) x2-2x+1=0； (2) x2 - x-1=0；  (3) 2x2-3x +1=0. 方程 a b c x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-2x+1=0 x2 - x-1=0  2x2-3x +1=0 1 1 2 1 -1 1 1 -2 1 1 -1 2 -3 1 新知探究 BY YUSHEN 22051 观察上述表格，回答下列问题： (1)每个方程的两根之和与它的系数a、b、c有什么关系？ (2)每个方程的两根之积与它的系数a、b、c有什么关系？ 思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0 时，有两个根分别为x1，x2，那么： 你能试着证明吗？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0 时有两个根： 新知探究 BY YUSHEN 22051 根与系数关系 如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2， 那么 x1+x2 = ， x1x2 = 前提条件为： b2-4ac≥0 ． 韦达定理 归纳 BY YUSHEN 22051 () , 上述关系还可以用如下方法得出. 即 = 由此可得 , 由此 ， 新知探究 BY YUSHEN 22051 例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； (3) 5x - 1 = 4x2. 解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴ 　　　　　 典型例题 BY YUSHEN 22051 变式：已知x1，x2 是 一元二次方程 x²＋ax＋16 = 0的两个根， ，求 a 的值. 解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4×1×16 ≥ 0，即 a ≥ 8或a ≤ -8. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = - a，x1 x2 = 16. 所以 ， 解得 a = -16. 运用根与系数的关系需注意前提条件： (1)方程必须是一元二次方程； (2)一定要将方程化为一般形式； (3)方程必须有实数根，即 b2－4 ac ≥0. 新知探究 BY YUSHEN 22051 内容 变形 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别是x1，x2， 那么 一元二次方程的根与系数的关系 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是( ) A. x2 + 6x + 5 ＝ 0 B. x2 - 7x + 10 ＝ 0 C. x2 - 5x + 2 ＝ 0 D. x2 - 6x - 10 ＝ 0 B 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 解：(1)这里 a = 1，b = -3，c = -1. Δ =b2-4ac = (-3)2-4×1×(-1) = 9+4 = 13＞0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2=3 ，x1x2 = -1. 2.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1) x2-3x-1=0； (2) 3x2+2x-5=0. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 解：(2)这里 a = 3，b = 2，c = -5. Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2= ，x1x2 = . 2.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1) x2-3x-1=0； (2) 3x2+2x-5=0. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.小明和小华分别求出了方程 9x2+6x-1=0 的根. 小明：x1 = x2 = ；小华：x1 = ，x2 = . 他们的答案正确吗？说说你的判断方法. x1+x2= ， x1x2 = . 解：由题意，可得 小明和小华求得的根与算式都不符合， ∴小明和小华的答案都不正确. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.已知方程 5x2+kx-6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. x1+x2= ， x1x2 = . 解：根据根与系数的关系，得 所以另一个根为 ，k的值为-7. ∵其中一个根为2，因此可以设 x1= 2， 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $