25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过复习因式分解定义及方法导入，结合物理上抛物体落回地面问题引出方程，对比配方法、公式法后自然过渡到因式分解法，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以物理情境激发兴趣体现用数学眼光观察现实世界，通过方法对比培养推理意识和运算能力，步骤歌诀助力数学语言表达。典例覆盖不同方程类型，检测强化方法选择，助学生理解本质提升效率，教师教学逻辑清晰可直接应用。

25.2.3 因式分解法 第二十五章 一元二次方程 22051 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 学习目标 22051 【问题1】什么叫因式分解？ 【问题2】分解因式： (1)＝______________； (2)＝________________； (3)＝___________. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫分解因式. 复习导入 22051 我们经常看到大学毕业的学生，穿着学士服，将学士帽高高抛起的样子，那么抛起的学士帽什么时候落下，什么时候抬头接才不会被砸到呢？一起看看吧！ 新知讲解 22051 【问题】根据物理学规律, 如果把一个物体从地面10m/s的速度竖直上抛, 那么经过x s后的离地高度(单位: 𝑚)约为 10x−5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 设物体经过x s落回地面，此时它离地面的高度为0m，即 10x-5x2=0 自己尝试用学过的方法解这个一元二次方程. 新知讲解 22051 10x-5x2=0 解：二次项系数化为1，得 x2-2x= 配方，得x2x+12=12， (x) 2= 由此可得 x−=± 即 解：5x2-10x=0 因为=5，=－10，=0， 所以∆= 方程有两个不相等的实数根 = = 即 , . 方法一：配方法 方法二：公式法 新知讲解 22051 用配方法或公式法解方程①都不简单，你能想到别的简单方法解这个方程吗？ 是否可以尝试用因式分解？ 10x-5x2=0 x(10-5x)=0 因式分解 x=0,或(10-5x)=0 两个因式乘积为0，说明什么? 解两个一次方程，得出原方程的根 若ab＝0, 则a＝0或b＝0 新知讲解 22051 【思考】上述解方程10x-5x2=0的过程中，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，在上述解法，由10x-5x2=0到x=0或(10-5x)=0的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 将一个多项式进行因式分解，通常有三种方法： 提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则a=0或b=0. 归纳 22051 【例1】解下列方程： (1) x(x-2)+x-2=0； 解： 左边 (x-2)(x+1)=0 于是 x-2=0或x+1=0, 即 x1=2，x2=-1 解： 移项、合并同类项得 4x2-1=0 左边分解因式，得 (2x-1)(2x+1)=0 于是 2x-1 =0或2x+1 =0, 即 x1= ，x2= (2) 典例精析 22051 因式分解法的基本步骤： 一移-----方程的右边=0； 二分-----方程的左边因式分解； 三化-----方程化为两个一元一次方程； 四解-----写出方程两个解； 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 归纳 22051 【练习】下列各方程的根分别是多少？ (-2)=0; (+2)(-3)=0; (3+6)(2-4)=0; ²=. 1=0，2=2; 1=-2，2=3; 1=-2，2=2; 1=0，2=1. 巩固练习 22051 【例2】选择适当的方法解下列方程： (1) 3(+5)=5(+5)； (2) (5+1)²= 1 分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快 解： 分解因式，得 (3x-5)(x+5)=0 于是 3x-5=0或x+5 =0, 即 x1= ，x2=-5 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法 解：直接开平方，得 5+1= ±1 即 ₁=0，₂=- . 典例精析 22051 【例2】选择适当的方法解下列方程： (3) ²-12=4； (4) 3²= 4+1 分析：二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快 分析：二次项的系数不为1,且不能直接开平方或因式分解,所以适合公式法 解：配方，得 x2−12x+62=4+62 (x−6)2=40， 由此可得 x−6=± 即 解：化为一般形式3² -4-1 =0 因为=3，=－4，=-1， 所以∆==(－4)²－4×3×(-1)=28. 方程有两个不相等的实数根 = = 典例精析 22051 1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法； 2.若常数项为0( ax2+bx=0)，应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也比较简单. 【思考】学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 归纳 22051 因式分解法 原理 如果a·b=0，那么a=0或b=0. 定义 步骤 当右边=0时，将方程左边因式分解. 简记歌诀：右化零 左分解 两因式 各求解 课堂小结 22051 1.解下列方程: ①2x2−18＝0; ②x2−9x−1＝0; ③x2−11x＋10＝0; ④2(5x−1)2＝3(5x−1). 其中, 较简便的方法是( ). A. 依次用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 B. 依次用因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法 C. ①用直接开平方法, ②③用公式法, ④用因式分解法 D. ①用直接开平方法, ②用公式法, ③④用因式分解法 D 当堂检测 基础 22051 2. 选择适当的方法解下列方程： (1)2x2-4x+1=0； (2)(2x-1)2=x(3x+2)-7； 解：二次项系数化为1，得 x22x+ =0 配方，得 x2x+ + = ， (x) 2= 由此可得 x−=± 解：化简，得 4x2-4x+1=3x2+2x-7 二次项系数化为1，得 x2-6x+8=0 因式分解，得(x-2)(x-4)=0 于是 (x-2)=0或(x-4)=0 即 x1=2，x2=4 当堂检测 基础 22051 3.定义运算“*”：对于任意实数a，b都有a*b＝a2－4a＋b. (1)求3*5的值； (2)若x*4＝(2x＋1)*4，求x的值． 解：(1)3*5＝32－4×3＋5＝2　 (2)由题意得x2－4x＋4＝(2x＋1)2－4(2x＋1)＋4， ∴(x－2)2＝(2x＋1－2)2即(x－2)2－(2x－1)2＝0. ∴[(x－2)＋(2x－1)][(x－2)－(2x－1)]＝0.解得x1＝1，x2＝－1. 当堂检测 提升 22051 $