25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，涵盖求根公式推导、根的判别式应用及方程求解。通过回顾配方法经验导入，引导学生从具体到一般推导公式，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点是问题驱动探究过程，完整推导培养数学思维（推理意识），结合雕像设计实际问题体现数学眼光（应用意识）。例题覆盖Δ不同情况，步骤规范，小结系统，助力学生结构化认知，教师可直接使用提升教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2.2 公式法 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.经历一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念. 2.会用根的判别式判断一元二次方程根的情况. 3.会熟练应用公式法解一元二次方程. 学习目标 BY YUSHEN 22051 探究:能否用配方法得出 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的解？ 我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题. 将ax 2 + bx + c = 0 移项，得：ax 2 + bx = - c 二次项系数化为1，得： 配方，得： 即： ① 新知探究 BY YUSHEN 22051 因为a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 式子b2-4ac 的值有以下三种情况： (1) b2-4ac > 0 这时 ，由①得 方程有两个不等的实数根 新知探究 BY YUSHEN 22051 因为a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 式子b2-4ac 的值有以下三种情况： (2) b2-4ac = 0 这时 ，由①得，方程有两个相等的实数根 (3) b2-4ac＜0 这时 ，由①可知 ，而 x 取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根. 新知探究 BY YUSHEN 22051 ax2 + bx + c = 0(a≠0) Δ＞ 0 Δ= 0 Δ＜ 0 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 问题：不难发现，我们是通过式子 b2 - 4ac来判断ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的解，是如何通过b2 - 4ac来判断的呢？ 一般地，式子 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ= b2-4ac. 新知探究 BY YUSHEN 22051 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，当Δ ≥ 0时，它的实数根可写为 . 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 求根公式 注意：①首先要将方程化为一般式； ②判定b2 - 4ac ≥ 0后，才可以用求根公式求解. 归纳 BY YUSHEN 22051 小试牛刀：你能用公式法解方程x2－3x＝1吗？ 解：移项，得x2－3x－1＝0． a＝1，b＝－3，c＝－1． Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－1)＝13＞0． ∵Δ＞0，∴x＝ ， ∴原方程的根是x1＝ ，x2＝ ． 新知探究 BY YUSHEN 22051 解：(1)a = 1， b= - 4，c = - 7 . Δ= b2 - 4ac= ( - 4 )2 - 4 × 1 × ( - 7 ) = 44 ＞ 0 ， 方程有两个不等的实数根 即 例1：用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0； （2）2x2－2 x＋1＝0； （3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x． 典型例题 BY YUSHEN 22051 解：(2)a = 2， b= ，c = 1 . Δ = b2 - 4ac= - 4×2×1 = 0 ， 方程有两个相等的实数根 例1：用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0； （2）2x2－2 x＋1＝0； （3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x． 典型例题 BY YUSHEN 22051 解：(3)方程化为5x2－4x－1＝0. a＝5，b＝－4，c＝－1. Δ = b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36 > 0. 方程有两个不等的实数根 即 例1：用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0； （2）2x2－2 x＋1＝0； （3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x． 典型例题 BY YUSHEN 22051 解：(4)方程化为x2－8x＋17＝0. a ＝ 1，b＝-8，c＝17. Δ = b2－4ac＝(-8)2－4×1×17 ＝ - 4 < 0. 方程无实数根． 你能总结公式法解一元二次方程的一般步骤吗？ 例1：用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0； （2）2x2－2 x＋1＝0； （3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x． 典型例题 BY YUSHEN 22051 公式法解一元二次方程的一般步骤 1.把方程化成一般式，并写出a，b，c的值； 2.求出∆的值； 若∆≥0 3.代入求根公式； 4.写出方程的根. 若∆＜0 方程无实数根 方法总结 BY YUSHEN 22051 回顾本章引言：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长? C B 腰部以上的身长与腰部以下的身长满足如下等量关系式： 即 设雕像腰部以下身长 为 m，依题意得 整理，得 新知探究 BY YUSHEN 22051 C B 用公式法解这个方程，得 即 如果结果保留小数点后两位，那么, 关于这两个根，只有 符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为m. 新知探究 BY YUSHEN 22051 一般地，式子 b2－4 ac 叫作一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)根的判别式. 判别式与一元 二次方程根的 情况的关系 公式法 一元二次方程根 的判别式 求根公式 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　) A. x2－6x＝0 B. x2－9＝0 C. x2－6x＋6＝0 D. x2－6x＋9＝0 D 2. 若一元二次方程x²－2x＋c = 0无实数根，则实数c的取值范围为 ______. c＞1 3.已知关于x的一元二次方程x²－2x＋k = 0有两个不相等的实数根. 请写出一个满足题意的k的值： ． k = -1(答案不唯一) 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.解下列方程： (1) x2+x-6=0        (2) x2-  (3) 3x2-6x-2=0 (4) 4x2-6x=0       (5) x2+4x+8=4x+11       (6) x(2x-4)=5-8x  解：(1)x1=2，x2=-3. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 5.在等腰△ABC 中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长. 解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 由配方法解得b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 19 $