25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的概念，通过雕像设计、矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等实际情境导入，引导学生列出方程并观察共同点，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养学生用数学眼光观察现实世界，通过归纳方程特征和辨析a≠0意义发展数学思维中的推理意识，将实际问题转化为方程体现数学语言表达。采用情境创设、小组交流和分层练习，知识梳理清晰，助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学流程与丰富实例。

25.1 一元二次方程的概念 第二十五章 一元二次方程 M A T H 22051 01 能根据实际问题列出方程，掌握一元二次方程的概念及一般形式. 02 了解一元二次方程解（根）的概念. 学习目标 M A T H 22051 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程. A C B 解：列方程得 整理得　x 2 + 2x - 4 = 0．① x 2 = 2(2 - x )， 想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？ x m (2 - x ) m 等量关系： AC：BC=BC：AB 即BC2=2AC 情境导入 M A T H 22051 情景1：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒. 如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ (列出方程即可) 任务一：掌握一元二次方程的概念及一般形式. 活动1：解决下列情景问题. 探究学习 M A T H 22051 解：设切去的正方形的边长为x cm， 则盒底的长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm 根据题意得：(100－2x)(50－2x)=3600. 整理，得： 4x²－300x+1400=0. 化简，得： x²－75x+350=0. ② x 方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？ 3600cm2 100cm 50cm 探究学习 M A T H 22051 单击此处添加标题文本内容 解：设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比赛x(x-1)场. 可列方程 情景2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？(列出方程即可) 整理，得 x2-x-56=0. ③ 方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？ 探究学习 M A T H 22051 x2+2x-4=0.① x2-75x+350=0.② x2-x-56=0. ③ 问题：观察下列方程，归纳它们的共同点. 共同点: ①等式两边都是整式; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. 探究学习 M A T H 22051 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) 一元二次方程的一般形式是 ax2 称为二次项， a 称为二次项系数. bx 称为一次项， b 称为一次项系数. c 称为常数项. 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 归纳 M A T H 22051 思考：为什么一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0要规定 a≠0？b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 探究学习 M A T H 22051 活动2：将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) 2x2=5x-6； (2) (x+2)(x -1)=6 . (2) 去括号，得x2+x-2=6. 移项，得一般形式：x2+x-8=0. 其中二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-8. 解：(1) 移项，得一般形式：2x2-5x+6=0. 其中二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为6. 注意：系数和项均包含前面的符号. 探究学习 M A T H 22051 1.下列方程是一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件a≠0 巩固练习 M A T H 22051 任务二：了解一元二次方程解（根）的概念. 活动：小组交流，解决问题. 将一块矩形铁皮, 制成无盖方盒, 铁皮各角应切去多大的正方形? 解: 设切下的正方形边长为x cm. (100－2x)(50－2x)＝3600, 化简得x2－75x＋350＝0 x cm 问题：下列有些值可以使等式成立，你能找找看吗？ x＝4，x＝5，x＝60，x＝70. x 3600cm2 100cm 50cm 探究学习 M A T H 22051 问题：下列有些值可以使等式成立，你能找找看吗？ x＝4，x＝5，x＝60，x＝70. x2－75x＋350＝0 解：当x＝4时，42－75×4＋350≠0，∴x＝4不能使等式成立; 当x＝5时，52－75×5＋350＝0，∴x＝5使等式成立; 当x＝60时，602－75×60＋350≠0，∴x＝60不能使等式成立; 当x＝70时，702－75×70＋350＝0，∴x＝70使等式成立. 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 探究学习 M A T H 22051 –2和3. 注意：一元二次方程可能不止一个根. 2.下面哪些数能满足方程 x2 – x – 6 = 0 ？ –2， –1， 3 ， 4 巩固练习 M A T H 22051 针对本节课的关键词“一元二次方程”，你能说说学到了哪些知识吗？ 一元二 次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) 确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般形式. 根 使方程左右两边相等的未知数的值. 课堂小结 M A T H 22051 1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( @3@ ) B A. 3x2 - 2xy - 5y2 = 0 B. (x-1) (x+2) = 1 C. ax2 + bx + c = 0 D. 2.一元二次方程 x² - 4x + a = 0 的一个解为 x = 1，则a =______. 3 基础 随堂小练 M A T H 22051 3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2x2 = 4x x2 = 2 3x (x-1) = 5 (x-1)(x+3)=5 2x2 - 4x = 0 2 -4 0 x2 - 2 = 0 1 0 -2 3x2 - 3x - 5 = 0 3 -3 -5 x2 + 2x - 8 = 0 1 2 -8 基础 随堂小练 M A T H 22051 4.根据下列问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长. 解：(1，化成一般形式为 (2)，化成一般形式为. (3)，化成一般形式为. 提升 随堂小练 M A T H 22051 $